2026-2027学年湖北省武汉市光谷汤逊湖学校高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年湖北省武汉市光谷汤逊湖学校高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（）A.45° B.135° C.45°或135° D.120°2.若复数，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，且，则实数m=（）A.-5 B.-3 C.5 D.34.样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（）A.16 B.17 C.23 D.245.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为（）A.（0，4）

B.[0，4]

C.（0，2）

D.[0，2]6.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况、统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例；得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（）A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，且与的夹角为60°，与的夹角为90°，与的夹角为120°，则体对角线AC1的长度为（）A. B. C. D.8.如图，在三棱锥S-ABC中，SB=SC=AB=AC=BC=a,SA=b,则异面直线SB与AC所成角的余弦值是（）A.

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法错误的有（）A.连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件

B.已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件

C.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件

D.如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件10.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.若向量与空间任意向量都不能构成基底，则

B.若非零向量满足，则有

C.若是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面

D.若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底11.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，则（）A.异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

B.直线AD1与平面ABCD所成角的余弦值为

C.三棱锥D1-ABC的外接球的半径为

D.三棱锥D1-ABC的内切球的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若事件A与事件B互斥，且P（A∪B）=0.6，P（B）=0.2，则=

.13.定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组（x,y,z）为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是（1，0，3）.则向量在基底下的坐标是

.14.单位圆O的内接△ABC，满足2=，则=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周”科普活动，设置了两个活动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品.

方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶、咖啡、热带水果、特色农产品）和2张“生物医药知识卡”（涵盖中药材种植、生物制造产业），参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即一张绿色食品知识卡、一张生物医药知识卡），则挑战成功.

方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功.

（1）求参观者在方案一中挑战成功的概率；

（2）如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为，且每道题的回答相互独立.你觉得他的选择是否合理？请通过计算说明你的理由.16.(本小题15分)

2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，航天员叶光富、李聪、李广苏开始了他们的太空征程.为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取2000名学生进行了航天知识竞赛，将成绩（满分：150分）整理后分成五组，从左到右依次记为[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）补全频率分布直方图，并估计这2000名学生成绩的平均数、求85%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数为94，方差为1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数为124，方差为2，求这200人中分数在区间[90，130）的学生成绩的方差.

17.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（1）求角C的值

（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.

（3）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC的周长取值范围.18.(本小题17分)

已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，平面ABCD外一点P在平面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，△PDB是等边三角形.

（1）求证：AC⊥平面PBD；

（2）求直线PC与平面ABCD所成角的大小；

（3）求点D到平面PBC的距离.19.(本小题17分)

已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数f（x）=psinx+qcosx的“和谐向量”为非零向量，的“和谐函数”为f（x）=psinx+qcosx.记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为T.

（1）已知θ∈R，f（x）=2cosx+cos（x+θ），若函数f（x）为集合T中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围；

（2）已知，设（λ＞0，μ＞0），且的“和谐函数”为φ（x），其最大值为S，求.

（3）已知M（-2，3），N（2，6），设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为m（x），，试问在y=g（x）的图象上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】ABD

10.【答案】AC

11.【答案】AD

12.【答案】0.6

13.【答案】（4，1，6）

14.【答案】

15.【答案】

小明的选择合理

16.【答案】解：（1）[70，90]频率为1-0.0125×20-0.0075×20-0.005×20-0.005×20=0.4，

所以该组数据的纵坐标为，

补齐的直方图如图：

平均数为0.0125×20×60+0.02×20×80+0.0075×20×100+0.005×20×120+0.005×20×140=88，

因为前三组的频率之和0.0125×20+0.02×20+0.0075×20=0.8，而前四组的频率之和0.0125×20+0.02×20+0.0075×20+0.005×20=0.9，

所以第85%分位数为第四组数据的中点即120；

（2）设第三组的平均数是，权重为ω1，方差为，设第四组的平均数是，权重为ω2，方差为，两组的平均数是，方差为s2，

由直方图可知则，，

则===106，

根据分层抽样方差公式得：s2=ω1[]+ω2[]=×（1+122）+=217.4．

17.【答案】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，

整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，∵C∈（0，π），sinC≠0，sin（A+B）=sinC，

∴，又0＜C＜π，∴；

（2）由余弦定理得，∴（a+b）2-3ab=7，

∵，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5，

∴△ABC的周长为；

（3）由正弦定理得，可得，

=，

∵△ABC为锐角三角形，且，

则，∴，∴，∴，

∴，∴△ABC的周长取值范围是．​​​​​​​

18.【答案】因为点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，

所以PO⊥平面ABCD，

又AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，

因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，

又PO∩BD=O，且PO，BD⊂平面PBD，

所以AC⊥平面PBD

19.【答案】解：（1）f（x）=2cosx+cos（x+θ）=2cosx+cosxcosθ-sinxsinθ=-sinθsinx+（2+cosθ）cosx,

所以函数f（x）的“和谐向量”向量，

，

因为cosθ∈[-1，1]，所以4cosθ+5∈[1，9]，

所以的取值范围为[1，3]；

（2）设，

则，

所以φ（x）=2（λcosα+μcosβ）sinx+2（λsinα+μsinβ）cosx

=2λ（cosαsinx+sinαcosx）+2μ（cosβsinx+sinβcosx）

=2λsin（x+α）+2μsin（x+β）

≤2λ+2μ，

此时存在x0，满足，当且仅当x=x0时取等号，其中k1，k2∈Z，

所以α-β=2（