专题04指数函数与对数函数（期中真题汇编）高一数学上学期人教A版

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）专题04指数函数与对数函数5大高频考点概览考点01指数考点02指数函数考点03对数考点04对数函数考点05函数的应用（二）考点01指数（25-26学年高一上·河南南阳·期中）1．已知实数满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16（25-26学年高一上·北京丰台·期中）2．______（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）3．（1）计算（式中字母均为正数）：.（2）用分数指数幂表示（式中字母均为正数）：.（3）已知，求的值.考点02指数函数（25-26学年高一上·河南南阳·期中）4．设甲：；乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件（2026·辽宁丹东·调研）5．下列函数中在定义域上是增函数的为（

）A．B．C．D．（25-26学年高一上·福建南平·期中）6．已知函数且的图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．7．已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）8．使得不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）9．关于x的不等式恒成立，则实数a的值为（

）A．-1 B．0 C．1 D．2（25-26学年高一上·山东济南·期中）10．函数的图象必经过定点___________．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）11．已知函数(1)讨论的奇偶性（直接写出奇偶性，不用证明）；(2)当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围；(3)若是奇函数，对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围.考点03对数（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）12．（

）A．1 B．2 C．3 D．9（2026·辽宁丹东·调研）13．设是奇函数，当时，，则（

）A． B． C． D．3（25-26学年高一上·福建南平·期中）14．（1）计算：.（2）已知，求的值.（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）15．计算_____.（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）16．计算：__________．（2026·辽宁丹东·调研）17．_____.（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）18．（1）计算：；（2）设a是非零实数，已知，求的值.（25-26学年高一上·河南南阳·期中）19．计算:(1)；(2).考点04对数函数（2026·辽宁丹东·调研）20．设，，，则（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·福建南平·期中）21．已知，则（

）A． B．C． D．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）22．已知，则实数的大小顺序为（

）A． B．C． D．（2026·辽宁丹东·调研）23．若的反函数为，则（

）A．B．C．是单调递减函数D．的递增区间为（25-26学年高一上·福建南平·期中）24．某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：）（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）25．已知函数，若，则的取值范围是_______．考点05函数的应用（二）（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）26．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（

）A．110 B．116 C．119 D．122（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）27．函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）28．若关于的方程有两根，（），则下列选项正确的有（

）A．的取值范围是B．若，则的取值范围是C．若，则的取值范围是D．若，则或（2026·北京房山·一模）29．函数的零点所在的区间（

）A． B． C． D．（2026·辽宁丹东·调研）30．若函数在区间上有零点，则的取值范围为（

）A．B．C．D．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）31．已知函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（

）A． B． C． D．1（25-26学年高一上·云南昆明·期中）32．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站20km处建仓库，则和分别为1万元和16万元，设两项费用之和为S（单位：万元）.(1)写出S关于x的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使S最小？并求出最小值.（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）33．党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）.(1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？（2026·北京房山·一模）34．为改善学生进行体育活动的环境，学校要建造体育馆．在建造体育馆时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为20年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是3万元．每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）的函数关系是（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为2.5万元．20年的总维修费用为15万元．记为20年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本＋使用20年的能源消耗费用＋使用20年的总维修费用）．(1)求的解析式；(2)当隔热层的厚度为多少厘米时，20年的总费用最小，并求出最小值．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）35．某企业计划生产某款空调，预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产5千台空调时需另投入资金万元.现每台空调售价为8000元，且当年内生产的空调当年全部销售完.(1)求该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；(2)当产量为多少千台时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少万元？（注：利润销售额-成本）（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）36．某厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比例，仓储费与运费与工厂和仓库之间的距离成反比例，当工厂和仓库之间的距离为6km时，运费为18万元，仓储费为2万元.(1)分别求出工厂和仓库之间的距离与运费、仓储费之间的关系式；(2)当工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元.（25-26学年高一上·四川成都·期中）37．某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完.(1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）；(2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？（25-26学年高一上·福建南平·期中）38．设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数，已知函数.(1)直接写出的单调区间（无需证明）；(2)若关于的方程有四个不相等的实数根，求的取值范围；(3)若对于任意的，关于的方程都有四个不相等的实数根，求的取值范围.（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）39．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为______.答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）《专题04指数函数与对数函数（期中真题汇编）高一数学上学期人教A版》参考答案：1．C【分析】结合指数运算法则与基本不等式计算即可得.【详解】，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.故选：C.2．【分析】由根式与指数幂的关系及指数幂的运算性质化简求值.【详解】.故答案为：3．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据指数运算直接化简即可；（2）根据分数指数幂和根式的关系化简可得；（3）已知条件平方求出，然后再次平方可得.【详解】（1）（或）.（2）.（3）因为，所以，即.因为，所以4．B【分析】由指数函数单调性得到，但不能保证两者非负，故充分性不成立，必要性成立，得到答案.【详解】，但不一定得到，例如为负数，充分性不成立，，必要性成立，故甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选：B5．D【详解】对于A，根据幂函数的图象和性质可得，在上单调递增，又为偶函数，所以在上单调递减，故A错误；对于B，由指数函数图象和性质可得，为减函数，故B错误；对于C，由二次函数图象和性质可得，在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D，由幂函数的图象和性质可得为增函数，故D正确.6．AD【分析】根据指数函数的图像和函数图像变换结论判断.【详解】当时，函数的图像由函数的图像向下平移个单位得到，如图，若，，函数的图像经过第一，二，三象限，与已知矛盾，若，，函数的图像经过第一，三，四象限，与已知矛盾，若，，函数的图像经过第一，二，四象限，与已知矛盾，若，，函数的图像经过第二，三，四象限，符合条件，故选：AD.7．A【分析】利用分段函数的单调性进行求解即可．【详解】若在上为增函数，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A．8．B【分析】确定已知不等式的充要条件，分别求解四个选项得不等式，结合充分不必要条件判断即可得结论.【详解】使得不等式成立充要条件为且，若，则可得或或；若，则；若，则；若，则且；综上可得，得不等式成立的一个充分不必要条件是.故选：B.9．C【分析】由不等式恒成立，得恒成立，从而求得.【详解】因为函数是增函数，所以当时，；当时，；当时，.所以不等式恒成立，等价于恒成立.所以.故选：C.10．【分析】根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可.【详解】当，即时，，所以定点坐标为故答案为：11．(1)当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.(2)(3)【分析】（1）首先求出函数的定义域，分、两种情况讨论，分别求出相应的，即可得解；（2）参变分离可得，当时，能成立，令，结合复合函数的单调性说明的单调性，进而得到其值域，即可得解；（3）由（1）可得，即可判断函数的单调性，依题意可得，求出的范围，即可得到，再分和两种情况讨论，分别求出的取值范围.【详解】（1）因为，定义域为，则，若，即，所以，所以，解得，即当，为偶函数；若，即，所以，所以，解得，即当时，为奇函数；综上可得，当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.（2）不等式可化为，即当时，能成立.令，令，则在上单调递增，所以在上单调递增，所以，时，，所以在上的值域是，所以的取值范围为.（3）由（1）可知，，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，若对任意的时，不等式恒成立，则有，当时，，所以，所以，所以，所以恒成立，当时，有，化简得，解得或，当时，有，化简得，解得或，综上：的取值范围是.12．B【分析】利用对数的运算性质即可求解.【详解】由题意得.故选：B.13．D【分析】由奇函数性质可得，结合对数运算法则得到答案.【详解】，因为为奇函数，故，所以.故选：D14．（1）；（2）10【分析】（1）根据根式、指数、对数运算求得正确答案.（2）利用平方的方法求得正确答案.【详解】（1）原式.（2）因为，所以，则，又，所以，故.15．【分析】根据指数幂运算公式和对数运算性质计算即可.【详解】故答案为：.16．##0.5【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则，对各项进行化简，然后进行计算．【详解】，，，．故答案为：．17．3【详解】.18．（1）；（2）【分析】（1）利用对数的概念、指数幂的运算和对数运算性质计算即可；（2）结合立方和公式、平方差公式和完全平方公式，利用指数幂的运算性质求解即可.【详解】（1）..（2）因为，所以，所以，则，，所以.19．(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解；（2）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，准确计算，即可求解.【详解】（1）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：.（2）解：由对数的运算法则和换底公式，可得：.20．B【详解】因为在上单调递增，所以，所以.21．D【分析】根据指数函数的单调性可得，由对数运算可得，进而可得结论.【详解】因为，又在上单调递增，又，所以，又，可得.故选：D.22．B【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】由函数单调递增，则，由单调递增，则，由单调递减，则，即，所以.故选：B.23．ABC【分析】对于A，由得反函数，可计算的值；对于B，由和，可估算出和的取值范围，从而判断出大小关系；对于C，为复合函数，先计算出定义域，再根据同增异减的原则，可判断出的单调性；对于D，为复合函数，先计算出定义域，再根据同增异减的原则，可判断出的递增区间．【详解】因是的反函数，故，定义域为；对于A，，故A正确；对于B，由于，，所以，故B正确；对于C，对于复合函数，其定义域为，由于单调递增，单调递减，所以单调递减，故C正确；对于D，的定义域为，因单调递增，在单调递减，在上单调递增，所以的递增区间为，故D错误．24．50【分析】根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果.【详解】由，可得，故．当时，，即，当时，，两式相除可得故答案为：50.25．【分析】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论.【详解】当时，不等式为，即，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以；由于，则当时，函数在上单调递减，所以，解得，所以；综上，的取值范围是.故答案为：.26．B【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.【详解】由题知当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116.故选：B.27．C【分析】根据零点存在定理求解即可.【详解】因为，，且为增函数，所以的零点所在的区间为.故选：C.28．AC【分析】根据判别式为正判断A，根据根的分布得关于参数的不等式，求出解可判断BC，根据根的方程得关于的方程，求出解后判断D.【详解】对于A，由，得，所以A正确.对于B，若，则，解得，所以B错误.对于C，若，则，解得，所以C正确.对于D，因为，，所以.由，得或.因为，所以，故D错误.故选：AC.29．C【分析】根据给定函数，构造函数并确定单调性，利用零点存在性定理推理判断.【详解】函数的定义域为，而，当时，，令函数，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，又，因此函数的零点在上，所以函数的零点在上.故选：C30．A【详解】因为的图象是开口向上的抛物线，且，根据零点存在定理可知，若在区间上有零点，则需满足，解得，因此的取值范围为.31．C【分析】根据函数解析式求解可得，结合对称性可得函数关于对称，从而由零点的唯一性可得的值.【详解】因为，则，则函数关于对称，要使得函数的图象与轴有且只有一个交点，根据对称性可得，所以.故选：C.32．(1)(2)应该把仓库建在距离车站5千米，费用最小为万元【分析】（1）由题意可设，，由于时，，代入求解即可；（2）由基本不等式求解最小值即可.【详解】（1）由题意可设，，由于时，，所以代入解得：，，所以.故：.（2），当且仅当，即等号成立.应该把仓库建在距离车站千米，费用最小为万元.33．(1)，(2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元【分析】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求.（2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值.【详解】（1）由题设，由图知，故，故.又，，所以，，所以，故，故，故．（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元则，令，则，所以当时，，此时.故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.34．(1)，；(2)当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小费用为33万元.【分析】（1）根据题意得到方程，求出，从而得到，并求出的解析式；（2）在（1）的基础上，变形后由基本不等式求出最值，得到答案.【详解】（1）由题意得，当时，，解得，所以，故，；（2），当且仅当，即时，等号成立，故当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小费用为33万元.35．(1)(2)当年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【分析】（1）根据已知数据，先求得参数；再根据关于的关系，即可求得函数关系式；（2）利用二次函数和对勾函数的性质，分类讨论和时的最大年利润，即可求出最后答案.【详解】（1）由题意知，当时，，所以a=300.当时，；当时，.所以；（2）当时，，所以当x=25时，W有最大值，最大值为5990；当时，，当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为5990<8990，所以当年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.36．(1)工厂和仓库之间的距离与运费、仓储费之间的关系式分别为，且；(2)工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，为12万元.【分析】（1）根据已知，设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，则，应用待定系数法求参数，即可得；（2）根据已知及（1）有运费与仓储费之和且，应用基本不等式求其最小值，即可得结论.【详解】（1）设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，依题意，设，时，，则，解得，，且；（2）设运费与仓储费之和为万元，由（1）且，因，由，当且仅当，