北师大版数学 第1章 丰富的图形世界（高效培优单元自测·提升卷） 试卷 含答案

第一章丰富的图形世界（高效培优单元自测·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（2026·四川乐山·中考真题）下面几何体中，是球体的是（

）A． B． C． D．2．（25-26七年级上·河南焦作·期中）有一个棱柱由5个面围成，那么它有（

）条棱A．8条 B．9条 C．10条 D．12条3．（2026·广东深圳·三模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“扬”字所在面相对的面上的汉字是（

）．A．统 B．化 C．文 D．弘4．（2026·河北邯郸·二模）在课题学习中，小明同学用纸板制作了一个如图1所示的无盖正方体包装盒展开图，然后折成如图2所示的无盖正方体盒子放置在桌子上，则贴在桌面上的底面是展开图中的（

）A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．⑤号面5．（2026·黑龙江·模拟预测）在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（

）A．11个 B．10个 C．9个 D．8个6．（2026·河南洛阳·三模）如图是正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与点重合的点为（

）A．点 B．点 C．点 D．点7．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．8．（2026·河南南阳·一模）小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（

）A．6 B．8 C．10 D．159．（25-26六年级上·山东烟台·期中）有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，小明、小红、小刚三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问：这个正方体数字对面各是什么数字？下列说法错误的是（

）A．2的对面是6 B．1的对面是5 C．6的对面是3 D．4的对面是210．（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（

）①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）添一个小正方体，要使图中从左面看到的形状不变，有______种不同的摆法．12．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则这个圆柱的高和底面直径之比为______．13．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图是一个三棱柱从三个方向看所得到的形状图．若从正面看的高为，从上面看三角形的边长都为，则这个几何体的侧面积为_________．14．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）如图是由4个棱长为的正方体搭成的，将这个图形表面涂上蓝色．其中3个面涂上蓝色的正方体有1个，5个面涂上蓝色的正方体有_______个．15．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________．16．（25-26六年级上·山东烟台·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则______．三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）（25-26六年级下·山东滨州·期中）考考你的想象力如下三个图形，若沿着虚线旋转一周，则分别形成了什么物体？18．（6分）（25-26七年级上·贵州安顺·期末）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．(1)图中共有几块小正方体；(2)请在上面方格纸中分别画出该几何体的左视图和俯视图．19．（6分）（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数．(1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图；(2)若小正方体的棱长为，求该几何体的体积．20．（6分）（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是某种几何体表面的展开图．(1)该几何体是：________（填写几何体名称）：(2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积．21．（8分）（25-26七年级上·江西景德镇·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题：(1)该几何体的名称是____________棱柱，共有____________个面；(2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是____________；（填序号）①六边形；②七边形；③八边形；④九边形．(3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少？22．（8分）（25-26七年级上·河南平顶山·期末）观察下列图形，解决相关问题：(1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）；(2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留）（已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高）23．（10分）（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周．(1)两次旋转所形成的几何体都是______；(2)若（w是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示：x12345mn①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____；②当x逐渐增大时，的变化情况：___________________；③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积的最大值．24．（10分）（25-26七年级上·福建泉州·期末）【项目式学习】项目主题：礼品盒的探究．项目内容：学会用数学的眼光看世界，学习小组开展了一次礼品盒的探究之旅．探究一：图1的三个几何体是常见的礼品盒模型．（1）请分别写出每种礼品盒对应的几何体名称：①正三棱柱；②____________；③____________；探究二：打开礼品盒顶盖后，看到里面分别装着圆柱形礼品，如图2分别是三个礼品盒拿走顶盖后从上面看到的形状图．（2）学习小组绘制了图2-1中礼品盒的表面展开图，其中能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是_______．（请把正确的序号填在横线上）探究三：经测量发现，每个圆柱形礼品高，底面圆的半径．（3）现对图2-2和图2-3中礼品盒（有盖）的表面进行贴膜塑封，求两个礼品盒贴膜塑封的总面积．（结果保留，礼品盒高等于圆柱形礼品高，礼品盒的厚度和贴膜接缝处忽略不计．）25．（12分）（25-26六年级下·全国·单元复习）综合与实践新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：操作探究：（1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分：多面体顶点数面数棱数四面体44六面体86八面体812十二面体1230通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；探究应用：（2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱；（3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．多面体顶点数面数棱数四面体446六面体8612八面体6812十二面体201230

第一章丰富的图形世界（高效培优单元自测·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（2026·四川乐山·中考真题）下面几何体中，是球体的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、是柱体，不符合题意；B、是锥体，不符合题意；C、是球体，符合题意；D、是锥体，不符合题意．2．（25-26七年级上·河南焦作·期中）有一个棱柱由5个面围成，那么它有（

）条棱A．8条 B．9条 C．10条 D．12条【答案】B【详解】解：∵任意棱柱都有2个底面，∴该棱柱的侧面数量为，即该棱柱为三棱柱．∵三棱柱的上下底面各有3条棱，侧面有3条棱，∴总棱数为条．3．（2026·广东深圳·三模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“扬”字所在面相对的面上的汉字是（

）．A．统 B．化 C．文 D．弘【答案】A【分析】根据正方体展开图中，相对面不相邻，“隔一相对”的原则进行判断即可．【详解】解：根据正方体的立体展开图中，从图中可知这是“”型展开图（第一行个正方形，第二行个正方形，第三行个正方形），对于“”型的展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∴在本题的展开图中：与“扬”字相隔一个正方形的是“统”字．4．（2026·河北邯郸·二模）在课题学习中，小明同学用纸板制作了一个如图1所示的无盖正方体包装盒展开图，然后折成如图2所示的无盖正方体盒子放置在桌子上，则贴在桌面上的底面是展开图中的（

）A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．⑤号面【答案】A【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此得与①号面相对是空的，即可作答．【详解】解：∵正方体表面展开图“141”型中，与①号面相对是空的，∴贴在桌子上的底面对应的是展开图的①号面．5．（2026·黑龙江·模拟预测）在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（

）A．11个 B．10个 C．9个 D．8个【答案】B【分析】根据该几何体从三个方向看到的形状图中所提供的信息进行分析解答即可．【详解】解：根据从上面看可知，该物体的最下面一层有7个正方体小货箱，由从正面看和从左面看的图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱，∴组成该物体的正方体小货箱有：（个）．6．（2026·河南洛阳·三模）如图是正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与点重合的点为（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】C【详解】解：把图形围成立方体如图所示：所以与顶点重合的点是.7．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可．【详解】解：如图，根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积，观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成，∴阴影部分的面积为．8．（2026·河南南阳·一模）小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（

）A．6 B．8 C．10 D．15【答案】A【详解】解：，∴这个盒子的容积为．9．（25-26六年级上·山东烟台·期中）有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，小明、小红、小刚三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问：这个正方体数字对面各是什么数字？下列说法错误的是（

）A．2的对面是6 B．1的对面是5 C．6的对面是3 D．4的对面是2【答案】A【分析】根据图形，4与1、6、3、5相邻，可以判断出4与2是相对面，3与1、2、4、5相邻，可以判断出3与6是相对面，然后得出1与5是相对面，然后即可进行选择．【详解】解：图1：正面为1，上面为6，右面为4；图2：正面为3，上面为2，右面为1；图3：正面为4，上面为5，右面为3；由图1和图2可得，和1相邻的是6、4、2、3，所以可以确定1的对面是5；由图2和图3可得，和3相邻的是1、2、4、5，可以确定3的对面是6；所以剩下4的对面是2．综上，A选项错误．10．（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（

）①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤【答案】D【分析】根据几何体的特点判断解答即可．【详解】解：①长方体：将正方体盒子水平放置，装部分水时，水形成的几何体就是长方体，可能．②正方体：要让水成为正方体，需要把正方体盒子完全装满水才能得到，题目说明是“一定量的水”，且未装满，因此不可能．③圆柱体：水静止时水面是平面，正方体盒子的所有面都是平面，因此水形成的几何体所有面都是平面，而圆柱体有曲面，不可能．④三棱锥：将正方体一个顶点朝下放置，让水面刚好过该顶点相邻三条棱的各一点，水就形成三棱锥，可能．⑤三棱柱：将正方体侧放，让水面经过正方体一组相对的平行棱，水就能形成三棱柱，可能．综上，可能的是①④⑤，答案选D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）添一个小正方体，要使图中从左面看到的形状不变，有______种不同的摆法．【答案】4【分析】可以摆在第1行的小正方体的两侧，也可以摆在第2行的左右两侧，据此即可解答．【详解】解：添加一个小正方体，使它从左面看不变，可以摆在第1行的小正方体的两侧，也可以摆在第2行的左右两侧，共有4种摆法．12．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则这个圆柱的高和底面直径之比为______．【答案】【分析】圆柱侧面沿高展开为正方形时，正方形的边长分别等于圆柱的底面周长和圆柱的高，因此圆柱的高等于底面周长.设出圆柱底面直径，即可求出高与底面直径的比.【详解】设圆柱的底面直径为，则圆柱的底面周长为，因为圆柱侧面沿高展开是正方形，所以圆柱的高等于底面周长，即，因此圆柱的高和底面直径之比为．13．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图是一个三棱柱从三个方向看所得到的形状图．若从正面看的高为，从上面看三角形的边长都为，则这个几何体的侧面积为_________．【答案】【分析】根据图形可得侧面展开图是矩形，求出矩形的面积即可．【详解】解：，∴这个几何体的侧面积为．14．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）如图是由4个棱长为的正方体搭成的，将这个图形表面涂上蓝色．其中3个面涂上蓝色的正方体有1个，5个面涂上蓝色的正方体有_______个．【答案】3【分析】观察立方体即可得出5个面涂上蓝色的正方体的个数．【详解】解：由图可得，5个面涂上蓝色的正方体有3个．15．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________．【答案】【分析】根据七巧板的结构特征，确定各块图形面积占总面积的比例，识别图中阴影部分由哪些图形组成，利用总面积计算各部分面积之和即可．【详解】解：设图大正方形的面积为，∴，根据七巧板的性质，平行四边形的面积为，小正方形的面积为，小等腰直角三角形的面积为观察图可知，阴影部分由一个平行四边形、一个正方形和两个小等腰直角三角形组成，∴阴影部分的面积为：．16．（25-26六年级上·山东烟台·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则______．【答案】【分析】本题考查了从不同方向看几何体；在上面看到的图形中标出相应的位置小立方体的数量可能的情况即可．【详解】解：需要小立方块最多时，如图所示，从图中可得：；当需要小立方块最少时，如图所示，从图中可得：；．故答案为：．三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）（25-26六年级下·山东滨州·期中）考考你的想象力如下三个图形，若沿着虚线旋转一周，则分别形成了什么物体？【答案】球、茶杯、葫芦【分析】由平面图旋转得到立体图形，据此即可解答．【详解】解：半圆旋转一周得到一个球；半边茶杯旋转一周得到一个茶杯；半边葫芦旋转一周得到一个葫芦．18．（6分）（25-26七年级上·贵州安顺·期末）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．(1)图中共有几块小正方体；(2)请在上面方格纸中分别画出该几何体的左视图和俯视图．【答案】(1)13；(2)见解析．【分析】（1）由图可得答案；（2）根据三视图的定义画图即可．【详解】（1）解：由图可知，第一层有8块，第二层有5块，∴图中共有（块）；（2）解：左视图2行正方形从上往下的个数依次为2，3；俯视图3列正方形从上往下的个数依次为4，3，1，如图：19．（6分）（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数．(1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图；(2)若小正方体的棱长为，求该几何体的体积．【答案】(1)见解析(2)该几何体的体积为【分析】（1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方体数目分别为3，2，2；从左面看有3列，每列小正方体数目分别为1，3，2．据此可画出图形．（2）根据题意可得出几何体的小正方体个数，即可求解．【详解】（1）解：如图所示（2）解：该几何体的小正方体个数为个，故该几何体的体积为．20．（6分）（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是某种几何体表面的展开图．(1)该几何体是：________（填写几何体名称）：(2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积．【答案】(1)长方体(2)该几何体的体积为，表面积为【分析】本题主要考查了长方体展开图识别以及长方体体积和表面积的计算．（1）通过展开图的特征，即可判定该几何体是长方体；（2）根据长方体的体积公式和表面积公式计算即可．【详解】（1）解：通过展开图的特征，可知该几何体是长方体；（2）长方体的长为：，体积为；表面积为；

因此，该几何体的体积为，表面积为．21．（8分）（25-26七年级上·江西景德镇·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题：(1)该几何体的名称是____________棱柱，共有____________个面；(2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是____________；（填序号）①六边形；②七边形；③八边形；④九边形．(3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少？【答案】(1)六；8(2)①②③(3)【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键．（1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可；（2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）；（3）棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和．【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共8个面；（2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形，八边形，不可能是九边形；故答案为:①②③；（3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为，．答:所需丝带的长为．22．（8分）（25-26七年级上·河南平顶山·期末）观察下列图形，解决相关问题：(1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）；(2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留）（已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高）【答案】(1)(2)【分析】（1）旋转得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形．（2）由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为，代入到圆柱和圆锥的体积公式中即可求解．【详解】（1）解：将左侧的平面图形绕直线旋转一周得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形，故答案为：．（2）解：由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为，∴圆锥的体积为，圆柱的体积为，∴这个几何体的体积为．23．（10分）（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周．(1)两次旋转所形成的几何体都是______；(2)若（w是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示：x12345mn①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____；②当x逐渐增大时，的变化情况：___________________；③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积的最大值．【答案】(1)圆柱(2)①6，，②先增大，后减小③【分析】本题考查了点、线、面、体、因式分解、配方法求最值，熟练掌握圆柱的体积公式解题的关键．（1）根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱；（2）①根据，计算即可；②列出表格分析数据的变化情况；③表示出，结合配方法解题即可．【详解】（1）解：根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱；故答案为：圆柱；（2）解：①当时，，解得，∴；当时，，，∴；当时，，，∴；故答案为：6，，；②，表格补全如下：12345可以发现，当逐渐增大时，先增大，后减小；故答案为：先增大，后减小；③则当时，有最大值．24．（10分）（25-26七年级上·福建泉州·期末）【项目式学习】项目主题：礼品盒的探究．项目内容：学会用数学的眼光看世界，学习小组开展了一次礼品盒的探究之旅．探究一：图1的三个几何体是常见的礼品盒模型．（1）请分别写出每种礼品盒对应的几何体名称：①正三棱柱；②____________；③____________；探究二：打开礼品盒顶盖后，看到里面分别装着圆柱形礼品，如图2分别是三个礼品盒拿走顶盖后从