第一章 空间向量与立体几何 空间向量的数量积及最值（题型专练）（答案版）高二数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何空间向量的数量积及最值题型01求空间向量的夹角【例3】【答案】【详解】设，依题意，，解得同理可得，则，因此，所以．【变式3-1】【答案】A【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为3，则，，，，所以，，故，所以向量与夹角的余弦值为.

【变式3-2】【答案】【分析】根据垂直关系可得平面，，根据空间向量数量积求得，，根据夹角公式即可得结果.【详解】因为平面平面，，且平面平面，平面，可得平面，又因为平面，则，即，，，则，，且，，，因为，则，即，又因为，可得，所以向量与夹角的余弦值为.故答案为：.【变式3-3】【答案】(1)(2)【分析】选取基底向量，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值.【详解】（1）设，由题意可得，，所以，所以，即的长为；（2）因为，所以，又，所以，所以直线与所成角的余弦值为.▌题型02求空间向量的模【例2】【答案】C【详解】由向量加法得，所以.【变式2-1】【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解.【详解】

以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，所以，所以，所以．【变式2-2】【答案】(1)(2)【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可；（2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解，【详解】（1）.（2）依题意，，则.【变式2-3】【答案】D【分析】根据，平方后求解即可．【详解】点是的重心，以为起点，则，，，故选：D．题型03计算空间向量数量积【例1】【答案】A【详解】，故选项A正确．【变式1-1】【答案】C【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案.【详解】由题意，所以.【变式1-2】【答案】C【分析】把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解.【详解】因为分别是的中点，所以，所以.故选：C【变式1-3】【答案】C【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】因为，，所以.故选：C.▌题型04由空间向量夹角求参数【例4】【答案】【详解】若共线则存在实数使得，则，即，方程组无解，即不存在实数使得共线.所以若与的夹角为锐角，则，解得.故实数的取值范围是.【变式4-1】【答案】C【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D.【详解】对于A：因为，且，所以，即，方程组无解，故不存在使得，故A错误；对于B：若，则，解得，故B错误；对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确；对于D：因为，，若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误；故选：C【变式4-2】【答案】BD【分析】利用空间向量平行建立方程，求解参数判断A，利用空间向量垂直求解方程判断B利用夹角为钝角并结合空间向量数量积的坐标运算可判断C，利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D即可.【详解】由题意得向量，对于A，若，则，解得，故A错误；对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，若为钝角，则且，解得且，故C错误，对于D，若在上的投影向量为，即，则，解得，故D正确．故选：BD．【变式4-3】【答案】B【分析】以为原点建系，根据得出即可判断.【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，因为，所以，则，则，故，因为为钝角，所以，即，又一元二次函数，，所以恒成立，故，得，故只有B选项满足题意.故选：B

▌题型05求投影向量【例5】【答案】(1)，，(2)(3)【详解】（1），，，，又，，.因此，，.（2），.，..因此向量与所成夹角的余弦值为.（3）在上的投影向量为.【变式5-1】【答案】【详解】根据向量坐标的计算公式，，根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为，即.【变式5-2】【答案】C【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案.【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得，则所求的投影向量为在上的投影向量，易得，则，所以在上的投影向量为.故选：C.【变式5-3】【答案】B【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为.【详解】因为在正方体中，,所以正三角形，过点作，垂足为.则，所以向量在上的投影向量为.故选：B▌题型06利用数量积证明垂直关系【例6】【答案】C【分析】根据空间向量共线与垂直的坐标表示，逐一检验即可.【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误；对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误；对于C，当时，，，故C正确；对于D，当时，，，故D错误.【变式6-1】【答案】B【详解】由于，故，故，，故的竖坐标为.【变式6-2】【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可；（2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可.【详解】（1）因为，，所以是等边三角形，所以，又因为N是的中点，所以,在中，.（2）由已知，所以，所以.【变式6-3】【答案】(1)(2)由题意得，

则，故.【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解；（2），由数量积的运算律证明即可.【详解】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底，且，

，则，故.（2）略▌题型07求空间向量数量积的最值【例7】【答案】【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围.【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱，如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，其中，，又，，所以，，，当，且或1时，取得最大值1，当，且时，取最小值，所以的取值范围为.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，又，，所以的取值范围为.【变式7-1】【答案】C【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得到向量和，利用向量的数量积化简得到，结合，即可求解.【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由正方体的棱长为2，且为上底面上一点，可设，其中，且，所以，则，因为，可得，所以取得最小值为，最大值为，所以取值范围为.故选：C.【变式7-2】【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解.（2）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解.【详解】（1）依题意，．（2）取中点，则．而，则，所以．【变式7-3】【答案】D【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长，所以，所以，又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以所以，所以，所以的最大值是.▌题型08求空间向量模的最值【例8】【答案】0【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标,，当时，，．，．从而当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为．【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，，，，，所以当时，，．因为，，所以，所以，，．所以，所以，．当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为．所以．故答案为：0，

【变式8-1】【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，根据，利用向量数量积的坐标表示得到，最后利用二次函数的性质求解即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设，，其中，，则，，，，据此可得，，，由空间中两点之间距离公式可得，当时，，当时，，结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为.故选：B.【变式8-2】【答案】【分析】过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量坐标运算求出，，再由两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点，所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，因为，设，，，所以，所以，所以，，所以，当时，有最小值，当时，有最大值，所以的取值范围是.故答案为：.【变式8-3】【答案