北师大版高二数学2026期末测试卷

北师大版高二数学2026期末测试卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

北师大版高二数学2026期末测试卷

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.已知向量a=(1,k)，b=(2,-1)，若a⊥b，则k的值为

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

3.抛掷两个骰子，记事件A为"两个骰子的点数之和大于9"，事件B为"至少有一个骰子的点数为6"，则P(A|B)等于

A.1/6

B.1/3

C.1/2

D.2/3

4.已知函数f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递减，则a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

5.若圆(x-1)^2+(y+2)^2=r^2与直线3x+4y-5=0相切，则r的值为

A.5

B.√29

C.√13

D.3

6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n，则{a_n}的通项公式为

A.2n-1

B.2^n-1

C.2n

D.2^n

7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2-bc，则角A的大小为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

8.已知函数f(x)=sin(x+π/3)，则f(x)的周期为

A.2π

B.π

C.3π/2

D.π/2

9.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0，其中a、b为实数，则a的值为

A.-2

B.2

C.-1

D.1

10.在等比数列{a_n}中，a_1=3，a_4=81，则a_7的值为

A.243

B.729

C.19683

D.6561

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的对称轴方程为__________。

2.已知向量a=(2,1)，b=(-1,k)，若向量a+b与向量a-b垂直，则k的值为__________。

3.从5名男生和4名女生中任选3人参加比赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为__________。

4.若函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为__________。

5.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=4，则圆C的圆心坐标为__________。

6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为__________。

7.已知函数f(x)=cos(2x+π/4)，则f(x)的图像关于__________对称。

8.若复数z=2+3i的模为|z|，则|z|^2的值为__________。

9.在等差数列{a_n}中，a_1=5，d=2，则a_10的值为__________。

10.已知某校高三年级有500名学生，其中男生300名，女生200名，现随机抽取3名学生，则抽到至少1名男生的概率为__________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的有

A.f(x)=x^3

B.f(x)=e^x

C.f(x)=log_2(x)

D.f(x)=-x^2

2.已知向量a=(1,2)，b=(k,1)，若向量a与向量b的夹角为钝角，则k的取值范围是

A.k<2

B.k>2

C.k<-1/2

D.k>-1/2

3.下列命题中，正确的有

A.若A⊂B，则P(A)≤P(B)

B.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)

C.若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)

D.若事件A的概率为1，则事件A是必然事件

4.下列函数中，是以π为周期的有

A.f(x)=sin(2x)

B.f(x)=cos(x/2)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=sin(x)+cos(x)

5.下列数列中，是等差数列的有

A.a_n=2n-1

B.a_n=3^n

C.a_n=n^2

D.a_n=5n+1

6.下列方程中，表示圆的有

A.x^2+y^2=1

B.x^2+y^2+2x-4y+1=0

C.x^2+y^2-2x+4y-4=0

D.x^2+y^2+2x+4y+5=0

7.下列不等式中，成立的有

A.log_3(5)>log_3(4)

B.2^7>3^5

C.arcsin(0.8)>arcsin(0.6)

D.tan(60°)>tan(45°)

8.下列复数中，为纯虚数的有

A.z=3i

B.z=-2i

C.z=1+i

D.z=0

9.下列数列中，是等比数列的有

A.a_n=2^n

B.a_n=3^n

C.a_n=(-1)^n

D.a_n=1

10.下列命题中，正确的有

A.命题"p或q"为真，则p、q中至少有一个为真

B.命题"p且q"为假，则p、q中至少有一个为假

C.命题"非p"为真，则p为假

D.命题"若p则q"为假，则p为假

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x+1在x=0处取得极值

2.若向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a与向量b共线

3.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率为1/2

4.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为π

5.复数z=1+i的模为√2

6.等差数列{a_n}中，若a_1=1，d=2，则a_5=9

7.圆(x-1)^2+(y+2)^2=4的圆心坐标为(1,-2)

8.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则角A为锐角

9.数列{a_n}中，若a_n=n(n+1)，则{a_n}为等差数列

10.命题"p且q"为真，则p、q都为真

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数f(x)的图像的顶点坐标

2.已知向量a=(2,1)，b=(-1,k)，若向量a+b与向量a-b垂直，求k的值

3.从5名男生和4名女生中任选3人参加比赛，求选出的3人中至少有1名女生的概率

4.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求a的值

5.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=4，求圆C的圆心坐标和半径

6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosA的值

7.已知函数f(x)=cos(2x+π/4)，求f(x)的图像的对称轴方程

8.已知复数z=2+3i，求复数z的模

9.在等差数列{a_n}中，a_1=5，d=2，求a_10的值

10.已知某校高三年级有500名学生，其中男生300名，女生200名，现随机抽取3名学生，求抽到至少1名男生的概率

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则f'(1)=0，即3*1^2-a=0，解得a=3。

2.B

解析：向量a=(1,k)，b=(2,-1)，若a⊥b，则a·b=1*2+k*(-1)=0，解得k=2。

3.C

解析：两个骰子的点数之和大于9的基本事件有(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)，共6种。至少有一个骰子的点数为6的基本事件有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6)，共11种。事件B包含的基本事件数为11，事件A包含的基本事件数为6，事件AB包含的基本事件数为6（即事件B中同时满足事件A的点数之和大于9的情况），所以P(A|B)=P(AB)/P(B)=6/11。但题目选项中没有6/11，可能是题目或选项有误，按标准计算应为6/11。

4.A

解析：函数f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递减，则0<a<1。

5.C

解析：圆(x-1)^2+(y+2)^2=r^2的圆心为(1,-2)，半径为r。圆心到直线3x+4y-5=0的距离d=|3*1+4*(-2)-5|/√(3^2+4^2)=|-8|/5=8/5。因为圆与直线相切，所以d=r，即r=8/5。但题目选项中没有8/5，可能是题目或选项有误，按标准计算应为8/5。

6.A

解析：由a_n+a_{n+1}=2S_n，得a_{n+1}+a_{n+2}=2S_{n+1}。两式相减得a_{n+2}-a_n=2a_{n+1}，即a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n。所以{a_n-a_{n-1}}为常数列，设为d。则a_n=a_1+(n-1)d。由a_1=1，a_2+a_1=2S_1=2a_1，得a_2=1。所以a_2-a_1=0，即d=0。因此a_n=a_1=1。但题目选项中没有1，可能是题目或选项有误，按标准计算应为1。

7.D

解析：由a^2=b^2+c^2-bc，根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(-bc)/(2bc)=-1/2。所以角A=arccos(-1/2)=120°。但题目选项中没有120°，可能是题目或选项有误，按标准计算应为120°。

8.A

解析：函数f(x)=sin(x+π/3)的周期与sin(x)相同，为2π。

9.A

解析：由z^2+az+b=0，代入z=1+i，得(1+i)^2+a(1+i)+b=0，即(1+2i-1)+(a+ai)+b=0，即2i+(a+b)+ai=0。所以实部a+b=0，虚部2+a=0。解得a=-2，b=2。

10.A

解析：等比数列{a_n}中，a_1=3，a_4=81。所以q^3=a_4/a_1=81/3=27，解得q=3。所以a_7=a_1*q^6=3*3^6=3*729=2187。但题目选项中没有2187，可能是题目或选项有误，按标准计算应为2187。

二、填空题答案及解析

1.x=2

解析：函数f(x)=x^2-4x+3的图像的对称轴方程为x=-b/(2a)=-(-4)/(2*1)=2。

2.k=-2

解析：向量a+b=(2-1,1+k)=(1,1+k)，向量a-b=(2-(-1),1-k)=(3,1-k)。若向量a+b与向量a-b垂直，则(1,1+k)·(3,1-k)=1*3+(1+k)*(1-k)=0，即3+1-k^2=0，解得k^2=4，k=±2。因为题目没有说明k的取值范围，所以k可以是2或-2。

3.8/9

解析：从5名男生和4名女生中任选3人参加比赛，总的基本事件数为C(9,3)=9!/(3!6!)=84。选出的3人中没有女生的情况数为C(5,3)=5!/(3!2!)=10。所以选出的3人中至少有1名女生的情况数为84-10=74。所以概率为74/84=37/42。但题目选项中没有37/42，可能是题目或选项有误，按标准计算应为37/42。

4.a=e-1

解析：函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则f'(1)=0，即e^1-a=0，解得a=e。

5.(2,-1)

解析：圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=4，所以圆心坐标为(2,-1)，半径为√4=2。

6.cosA=3/5

解析：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则△ABC为直角三角形，且∠C=90°。所以cosA=b/c=4/5。但题目选项中没有4/5，可能是题目或选项有误，按标准计算应为4/5。

7.x=-π/8+kπ/2，k∈Z

解析：函数f(x)=cos(2x+π/4)的图像的对称轴方程为2x+π/4=kπ+π/2，解得x=-π/8+kπ/2，k∈Z。

8.|z|^2=13

解析：复数z=2+3i的模为|z|=√(2^2+3^2)=√13。所以|z|^2=(√13)^2=13。

9.a_10=25

解析：在等差数列{a_n}中，a_1=5，d=2，则a_10=a_1+(10-1)d=5+9*2=5+18=23。但题目选项中没有23，可能是题目或选项有误，按标准计算应为23。

10.19/25

解析：某校高三年级有500名学生，其中男生300名，女生200名。现随机抽取3名学生，抽到至少1名男生的对立事件是抽到的3名学生都是女生。抽到3名女生的概率为C(200,3)/C(500,3)=200!/(3!197!)/500!/(3!497!)=(200*199*198)/(500*499*498)=392000/124251000≈0.00316。所以抽到至少1名男生的概率为1-0.00316≈0.99684。但题目选项中没有0.99684，可能是题目或选项有误，按标准计算应为0.99684。

三、多选题答案及解析

1.ABC

解析：f(x)=x^3在(0,+∞)上单调递增，因为f'(x)=3x^2≥0。f(x)=e^x在(0,+∞)上单调递增，因为f'(x)=e^x>0。f(x)=log_2(x)在(0,+∞)上单调递增，因为f'(x)=1/(xln2)>0。f(x)=-x^2在(0,+∞)上单调递减，因为f'(x)=-2x<0。

2.AC

解析：向量a=(1,2)，b=(k,1)，若向量a与向量b的夹角为钝角，则a·b<0，即1*k+2*1=k+2<0，解得k<-2。同时k不能等于2，否则向量a与向量b共线，但共线不一定夹角为钝角。所以k<-2。

3.ABCD

解析：若A⊂B，则A中所有元素都属于B，所以P(A)≤P(B)。若事件A与事件B互斥，则A∩B=∅，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)。若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)。若事件A的概率为1，则事件A是必然事件。

4.CD

解析：f(x)=sin(2x)的周期为π/2。f(x)=cos(x/2)的周期为4π。f(x)=tan(x)的周期为π。f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为2π。所以是以π为周期的有tan(x)和sin(x)+cos(x)。

5.AD

解析：a_n=2n-1是等差数列，公差为2。a_n=3^n不是等差数列。a_n=n^2不是等差数列。a_n=5n+1是等差数列，公差为5。

6.AB

解析：x^2+y^2=1表示以原点为圆心，半径为1的圆。x^2+y^2+2x-4y+1=0可化为(x+1)^2+(y-2)^2=4，表示以(-1,2)为圆心，半径为2的圆。x^2+y^2-2x+4y-4=0可化为(x-1)^2+(y+2)^2=9，表示以(1,-2)为圆心，半径为3的圆。x^2+y^2+2x+4y+5=0可化为(x+1)^2+(y+2)^2=0，表示一个点(-1,-2)，不是圆。

7.AC

解析：log_3(5)>log_3(4)成立，因为对数函数log_3(x)在(0,+∞)上单调递增。2^7=128，3^5=243，所以2^7<3^5，不等式不成立。arcsin(0.8)>arcsin(0.6)成立，因为反正弦函数arcsin(x)在[-1,1]上单调递增。tan(60°)=√3，tan(45°)=1，所以tan(60°)>tan(45°)成立。

8.AB

解析：z=3i是纯虚数。z=-2i是纯虚数。z=1+i不是纯虚数。z=0不是纯虚数。

9.AD

解析：a_n=2^n是等比数列，公比为2。a_n=3^n是等比数列，公比为3。a_n=(-1)^n不是等比数列，因为公比不是一个常数。a_n=1是等比数列，公比为1。

10.ABCD

解析：命题"p或q"为真，则p、q中至少有一个为真。命题"p且q"为假，则p、q中至少有一个为假。命题"非p"为真，则p为假。命题"若p则q"为假，等价于p为真且q为假，所以p为假。

四、判断题答案及解析

1.错

解析：f'(x)=3x^2-3。f'(0)=0，但f''(0)=6*0-3=-3<0，所以x=0处取得极大值，不是极小值。

2.错

解析：向量a=(1,2)，b=(3,4)，a·b=1*3+2*4=11。若a与b共线，则存在λ使得a=λb，即(1,2)=λ(3,4)，解得λ=1/3。所以a与b不共线。

3.错

解析：一副扑克牌有52张，红桃有13张。所以抽到红桃的概率为13/52=1/4。

4.错

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。所以周期为2π。

5.对

解析：|z|=√(1^2+1^2)=√2。

6.错

解析：a_1=1，d=2。a_5=a_1+4d=1+4*2=9。

7.对

解析：圆(x-1)^2+(y+2)^2=4的圆心坐标为(1,-2)。

8.错

解析：a^2=b^2+c^2，根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=0。所以角A=90°，是直角，不是锐角。

9.错

解析：a_n=n(n+1)=n^2+n。所以a_{n+1}-a_n=(n+1)^2+n+1-(n^2+n)=2n+2。所以{a_n}不是等差数列。

10.