北师大版数学九年级上册期中模拟测试能力卷附答案

北师大版数学九年级上册期中模拟测试能力卷一、选择题（每题3分，共30分）1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A． B．4 C．2 D．2．关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（）A．2或3 B．3或 C．或2 D．或3．图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（）A． B．C． D．4．对于一元二次方程下列说法：①若a+b+c=0，则方程必有一根为x=1；②若c是方程的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；③若两根为x1，x2且满足则方程必有实根④若x0是一元二次方程的根，则其中正确的()A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③④5．如图，矩形中，点与轴正半轴的夹角为．若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2026秒时，矩形的对角线交点的坐标为（）A． B． C． D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，分别以AC，AB为边向外作正方形ACDE，正方形ABMN，连结NE，则NE的长为()A．10 B．9 C． D．7．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（）①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④△DEF面积有最大值为．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④8．如图，在正方形中，，点，分别在边，上运动，满足，连结，过点作直线的垂线，垂足为，当的长最大时，的长为（）A． B． C． D．9．如图，矩形和正方形面积相等，点B在边上，点G在上，交于M点，，，若，则（）A． B． C． D．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF.下列结论：(②四边形PECF的周长为8；③EF的最小值为2；④AP⊥EF.正确结论的为()A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③二、填空题（每题3分，共18分）11．一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有种．12．如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，直线分别与，交于点M，N．若，则的长为．13．如图，四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，连结CE，作点B关于CE的对称点B'，连结B'C，B'E，连结BB'并延长交AD于点F，交CE于点G，连结AB'并延长交CD于点H，给出下面四个结论：①F为AD的中点；②AH⊥BF；③连结AG，则∠AGE≠∠AGF；④连结AG并延长交BC于点P，则CP=2BP．上述结论中，正确结论的序号是．14．等腰的一边长为，另外两边的长恰好是方程的两个根，则的值为．15．如图，在正方形中，点E是中点，连接，点F为上一点，．若，则的面积为．16．【阅读材料】过矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，会得到面积相等的两个矩形，如图（1），S矩形AEOM＝S矩形CFON．【解决问题】如图（2），点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM．若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝．三、解答题（共6题，共72分）17．在正方形ABCD中，点P在对角线AC上，点E，F分别在边BC，CD上，且PE⊥PF于点P.（1）特例发现：如图1，当点P在对角线AC，BD的交点处时，求证：PE=PF；（2）探究证明：如图2，当点P不在对角线AC，BD的交点处时，判断PE与PF的数量关系，并说明理由：（3）拓展运用：在（2）的条件下，若EC=4，CF=2，连接EF，请直接写出PE的长.18．（1）已知四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，△EAF的两边AE，AF分别与边CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°.①【特殊情况】如图1，当点E是线段BC的中点时，直接写出线段AE，AF之间的数量关系▲；②【类比探究】如图2，当点E是线段BC上任意一点时(点E不与B，C重合)，求证：BE=CF；（2）【拓展运用】如图3，四边形ABCD是一个菱形花园，AB=10m，∠ABC=60°，现计划用篱笆围成一块三角形区域AEF，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=60°.为了节约材料，所需的篱笆长度(即△AEF的周长)最短，求出所需的篱笆长度(即△AEF的周长)的最小值，并说明理由.19．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”.通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2-4ac一定为完全平方数.现规定为该“快乐方程”的“快乐数”.例如“快乐方程”x2-3x-4=0的两根均为整数，其“快乐数”F（1，-3，-4）=，若有另一个“快乐方程”px2+qx+r=0（p≠0）的“快乐数”F（p，q，r），且满足r•F（a，b，c）=c•F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”.（1）“快乐方程”x2-4x-12=0的“快乐数”为；（2）若关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m为整数，且1＜m＜6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；（3）若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与x2-（n+2）x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值是.20．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛.当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个.小组赛采取单循环赛制（即每只队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛.积分规则：胜一场得2分，负一场得0分.小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论.具体如下：（1）已知该校八年级共有10个班级参加比赛.小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分；（2）若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分.求本次比赛参赛队伍个数；（3）当参赛队伍总数为奇数个时.小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由.21．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E为边AD上任意一点，AD=nAE.【尝试初探】（1）如图1，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于点N，求证：AE=CN；（2）过点E作EM⊥BD于点M，延长EM交BC于点N，连接BE，若△BEN是等腰三角形，求n的值；（3）如图2，若F是CD上一点，且DC=nDF，连接EF交BD于点G，求的值(用含n的代数式表示).22．在矩形ABCD中，E是边AB上一点(不与端点重合)，以BE为边在矩形ABCD内部构造矩形BEGF，使得连接DG.（1）如图1，当m=1时，求的值；（2）如图2，将矩形BEGF绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<30°)，连接AE，当时，求的值；（3）如图3，矩形BEGF在旋转的过程中，当点G落在BC边上时，D，G，F三点共线.若求AE的长.

答案1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】1012．【答案】213．【答案】①②④14．【答案】10或1815．【答案】16．【答案】617．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴PB=PC=PD，AC⊥BD.∴△BPC，△CPD都是等腰直角三角形.∴∠PBE=∠PCF=45°.∵PE⊥PF，∴∠BPC=∠EPF=90°.∴∠BPC-∠EPC=∠EPF-∠EPC，即∠BPE=∠CPF.在△PBE和△PCF中∴△PBE≌△PCF(ASA).∴PE=PF.（2）解：过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M，N.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠PCM=∠PCN.∴四边形PMCN是矩形.∴PM∥CN.∴∠MPC=∠PCN.∴∠MPC=∠PCM.∴PM=CM.∴四边形PMCN是正方形.∴PM=PN，∠MPN=∠EPF=∠PME=∠PNF=90°.∴∠MPN-∠MPF=∠EPF-∠MPF，即∠EPM=∠FPN.在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN(ASA).∴PE=PF.（3）18．【答案】（1）解：①AE=AF.②证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC，∠BCD=120°.∴△ABC是等边三角形，F∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，∴∠ACD=60°，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，又∵∠B=∠ACF，∴△BAE≌△CAF(ASA)，∴BE=CF.（2）解：由(1)知△BAE≌△CAF，∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，∴△AEF的周长=EF+AE+AF=3AE，如图，作AH⊥BC，垂足为H，∴当AE最小时，△AEF的周长最小，则当AE⊥BC时，AE最短，即点E与点H重合∵AB=10，∠ABC=60°，∴∠HAB=30°，∴BH=5，∴△AEF的周长的最小值∴当AE⊥BC时，所需的篱笆长度最短，最短为15米.19．【答案】（1）-16（2）解：关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0是“快乐方程”

且是一个完全平方数

（3）0或320．【答案】（1）40（2）因为参赛队伍总数为偶数个，所以A组，B组队伍数一样多.所以设A组、B组队伍数均为x队，

则解得∴，（不符，舍）则队答：本次比赛参赛队伍个数为16队（3）能.因为参赛队伍总数为奇数，

所以设A组有y队，则B组有队.所以解得∴，（不符，舍）所以则队答：参赛的队伍数为19队是，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分21．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD.∵M是BD的中点，∴BM=DM，∵∠DME=∠BMN.∴△EDM≌△NBM(ASA)，

∴DE=BN.∵在矩形ABCD中，AD=BC，∴AD-DE=BC-BN，即AE=CN（2）解：若△BEN是等腰三角形时，需分情况：①如解图①，当BE=BN时，∵EM⊥BD，∴∠EBM=∠NBM=∠ADB，∴BE=DE，∵在Rt△ABD中，∠A=90°，AD=2AB，∵∠EDM=∠BDA，∠A=∠EMD=90°.∴△EDM∽△BDA，即②如解图②，当EB=EN时，∠EBC=∠ENB.∵∠C=∠EMB=90°=∠NMB，∴∠ENB=∠BDC=∠ABD.∴∠ABD=∠EBC，∵∠ABE+∠EBN=∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ABE=∠CBD=∠ADB.∵∠A=∠A，∴△ABE∽△ADB，∵AD=2AB，∴AD=4AE，即n=4；③如解图③，当NE=NB时，∠NEB=∠NBE=∠AEB.∵EM⊥BD，∴∠EMB=∠A=90°.又∵BE=BE.∴△EBM≌△EBA(AAS)，∴AE=ME.由①知，△EDM∽△BDA，BD=AB.又∵AE+ED=AD=nAE，综上所述，n的值为或4或（3）解：如解图④，过点A作AQ∥EF交DC于点Q，交BC的延长线于点H，交BD于点P，作平行线，并利用平行线分线段成比例求解∵AD=nAE，∴DE=(n-1)AE，∴DG=(n-1)PG.设FQ=k，则DF=(n-1)k，DQ=nk，∵DC=nDF，∴DC=n(n-1)k，∵AD∥BC，∵AD=BC，∵AD∥BC，易得22．【答案】（1）解：如图，连接BG、BD，延长FG交AD于点H，

当m=1时，

∴AB=BC，BE=BF，

∴矩形ABCD和矩形BEGF是正方形，

∴BE//FG，AD//BC//EG，∠A=90°

∴四边形AEGH是矩形，

∴AE=HG

∵BG、BD是正方形ABCD和正方形BEGF的对角线，

∴∠GBC=∠DBC=45°

∴B、G、D三点共线，

∴∠ADB=45°，

在Rt△DHG中，（2）解：如图，连接BG、BD，

∵矩形ABCD和矩形BEGF，

∴∠BAD=∠BEG=90°，AD=BC，EG=BF，EG//BF

∵

∴，，

∴∠ADB=∠EGB=30°

∴∠ABD=∠EBG=60°

∴∠ABE