吉林省吉林市蛟河市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题附答案

九年级上学期期中数学试题一、单项选择题（每小题3分，共18分）1．下面是国内常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．关于的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根3．抛物线与轴的交点坐标是（）A． B． C． D．4．如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将畚箕绕点顺时针旋转后平放在地面，则箕面绕点旋转的度数为()A． B． C． D．5．如图，点A，B，C在上，，的度数是（）A． B． C． D．6．如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（）A． B．C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）7．在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则a的值为．8．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是．9．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则的度数为．10．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．11．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-20每小题8分，21题10分，22题12分，共85分）12．解方程：．13．如图，在中，，．将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．14．如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点．15．如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接．（1）求证：是等边三角形；（2）当，时，试判断的形状16．已知关于x的方程．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为，若，求m的值．17．某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米．x（米）01234y（米）2.04.05.25.65.2请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求喷泉的落水点距水枪的水平距离．18．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．19．晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据：测量主题测量碗口的直径测量工具一张矩形纸条和刻度尺测量方案将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度实物图及测量示意图测量说明CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动测量数据，，纸条宽度．请你根据上述方案和数据计算出碗口直径．20．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为．（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围．（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质．（3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）21．阅读理解回顾初中阶段各类方程的解法可以知道：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解．类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解为，，．再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，；∵且，∴，不是原方程的解，原方程的解为．【问题】（1）方程的解是______；（2）方程的解是______；【拓展】请你利用转化思想解二元二次方程组：；【应用】如图，矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，再沿草坪边沿，走到点处，把拉直并在点处固定，然后沿草坪边，走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处；求的长．22．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点在线段上运动时，求线段的长度；（用含m的式子表示）（3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值；（4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．

答案1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】8．【答案】9．【答案】10．【答案】11．【答案】12．【答案】x2+2x-5=0x2+2x=5，x2+2x+1=6，（x+1）2=6，x+1=±，x1=-1+，x2=-1-13．【答案】解：是由旋转得到，，，14．【答案】证明：∵，

∴．

在和中，

∵

∴，

∴，

∴，即C是的中点15．【答案】（1）证明：∵绕点按顺时针方向旋转得到，

∴，

，

，

∴是等边三角形.（2）解：是等腰直角三角形，

理由如下：∵是等边三角形

∴，

∵，

，

，

，

，

，

∴是等腰直角三角形．16．【答案】（1）证明：根据题意可知：，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得：∴，解得17．【答案】（1）解：由题可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；可设抛物线的函数表达式为．

将代入，

得，

∴抛物线的表达式为．（2）由题可知，当喷泉落水时．即，解得，（舍去）．所以喷泉的落水点距水枪的水平距离为米．18．【答案】解：（1）如图所示，△DCE为所求作；（2）如图所示，△ACD为所求作；（3）如图所示△ECD为所求作．19．【答案】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置．

过O点作交于点E，延长交于点F．连接

由矩形纸条可得，

∵

∴，即E，O，F三点共线，

∵纸条宽度．

∴

∵，，，

∴，

设，

则，

则

∵半径相等，

∴

∴

解得，

∴，

答：碗口直径为.20．【答案】（1）解：当点在上时，即，则，，

∴；

当点在上时，即，

则，

∴，

综上可知：关于的函数表达式为；（2）解：列表：描点，连线如图，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（3）解：由图象可知：，，

解得：（负值已舍去），，

∴当时的取值范围或．21．【答案】【问题】（1），，；

（2）；

【拓展】

由②得③，

把③代入①得，

整理得：，

解得：，，

把：，分别代入方程②得，，

，

∴原方程组的解为或；

【应用】∵四边形是矩形

∴，

设，则

∵

，

∴

∴

两边平方，得

整理，得

两边平方并整理，得

解得.

经检验，是方程的解

答：的长为.22．【答案】（1）解：∵抛物线过A，C两点，

∴代入抛物线解析式可得，

解得，

∴抛物线解析式为；

令，

可得，

解，，

∵点B在点A右侧，

∴点B坐标为，

设直线解析式为，

把B、C坐标代入可得，

解得，

∴直线解析式为；（2）解：∵轴，点P的横坐标为m，

∴，，

∵P在线段上运动