2025年春季学期大学高等数学（上）期末冲刺测试卷：高数应用题解析

2025年春季学期大学高等数学（上）期末冲刺测试卷：高数应用题解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$。(1)求函数$f(x)$的单调区间和极值点。(2)设曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与直线$y=-x+4$垂直，求此切线方程。二、一个矩形铁皮的长为$8a$，宽为$4a$，现在从四个角各截去一个边长为$x$的正方形，然后将其沿虚线折起，制成一个无盖的盒子。(1)求盒子的体积$V$作为$x$的函数表达式。(2)当$x$取何值时，盒子的体积$V$最大？并求出最大体积。三、求由抛物线$y^2=8x$和直线$x=2$所围成的平面图形的面积。四、一个物体作直线运动，其速度函数为$v(t)=3t^2-12t+9$(米/秒)，其中$t$为时间（秒）。(1)求物体在$t=0$到$t=4$期间的总位移。(2)求物体在$t=0$到$t=4$期间所经历的路程。五、已知某产品生产$x$件的总成本函数为$C(x)=100+2x+\frac{1}{4}x^2$(元)，收入函数为$R(x)=6x-\frac{1}{2}x^2$(元)。(1)求边际成本函数$MC(x)$和边际收入函数$MR(x)$。(2)求边际利润函数$MP(x)$，并确定产量$x$为多少时边际利润为零。(3)若已知生产成本不超过1000元，求可获得的最大利润。试卷答案一、(1)$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。列表分析：|$x$|$(-\infty,0)$|$0$|$(0,2)$|$2$|$(2,+\infty)$||:--------|:------------|:----|:--------|:----|:------------||$f'(x)$|$+$|$0$|$-$|$0$|$+$||$f(x)$|$\nearrow$|极大值|$\searrow$|极小值|$\nearrow$|单调增区间：$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$；单调减区间：$(0,2)$。极大值点：$x=0$，极大值$f(0)=2$。极小值点：$x=2$，极小值$f(2)=0$。(2)曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线斜率为$f'(1)=3(1)^2-6(1)=-3$。直线$y=-x+4$的斜率为$-1$。因为两直线垂直，所以它们的斜率乘积为$-1$，即$(-3)\times(-1)=3\neq-1$。说明题目条件有误，或设切线方程为$y-f(1)=m(x-1)$，则$m=-3$。$f(1)=1^3-3(1)^2+2=0$。切线方程为$y-0=-3(x-1)$，即$3x+y-3=0$。二、(1)折起后盒子的长为$8a-2x$，宽为$4a-2x$，高为$x$。$V(x)=(8a-2x)(4a-2x)x=-4x^3+24ax^2-32ax$，定义域为$(0,4a)$。(2)$V'(x)=-12x^2+48ax-32a$。令$V'(x)=0$，得$-4(3x^2-12ax+8a)=0$，即$3x^2-12ax+8a=0$。解得$x=\frac{12a\pm\sqrt{(12a)^2-4\cdot3\cdot8a}}{2\cdot3}=\frac{12a\pm4a}{6}=2a$或$\frac{2a}{3}$。$V''(x)=-24x+48a$。$V''(2a)=-24(2a)+48a=0$，不能判定。$V''(\frac{2a}{3})=-24(\frac{2a}{3})+48a=-16a+48a=32a$。因为$a>0$，所以$V''(\frac{2a}{3})>0$，$x=\frac{2a}{3}$为极小值点。在定义域$(0,4a)$内，$x=2a$为唯一驻点，且由$V(0)=V(4a)=0$知，$x=2a$为最大值点。最大体积$V(2a)=-4(2a)^3+24a(2a)^2-32a(2a)=-32a^3+96a^3-64a^3=0$。此时$8a-2x=8a-4a=4a$，$4a-2x=4a-4a=0$。宽为零，不能形成盒子。重新审视$V'(x)=-4(3x-4a)(x-2a)$。在$(0,2a)$上，$3x-4a<0,x-2a<0$，$V'(x)>0$，$V(x)$单增。在$(2a,4a)$上，$3x-4a>0,x-2a>0$，$V'(x)<0$，$V(x)$单减。故$x=2a$处取得极大值，也是$(0,4a)$内的最大值。最大体积为$V(2a)=0$。此结果表明，对于给定的长宽，此铁皮无法折成体积大于0的盒子。三、方法一：对$y$积分。抛物线与直线交点：$y^2=8x$,$x=2$。代入得$y^2=16$，$y=\pm4$。面积$S=\int_{-4}^{4}(2-\frac{y^2}{8})\,dy=2\int_{0}^{4}(2-\frac{y^2}{8})\,dy$$=2\left[2y-\frac{y^3}{24}\right]_{0}^{4}=2\left(2(4)-\frac{4^3}{24}\right)=2\left(8-\frac{64}{24}\right)=2\left(8-\frac{8}{3}\right)=2\cdot\frac{24-8}{3}=2\cdot\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$。方法二：对$x$积分。面积$S=\int_{0}^{2}(\sqrt{8x}-(-\sqrt{8x}))\,dx=2\int_{0}^{2}\sqrt{8x}\,dx=4\sqrt{2}\int_{0}^{2}\sqrt{x}\,dx$$=4\sqrt{2}\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{2}=4\sqrt{2}\cdot\frac{2}{3}(2)^{3/2}=\frac{8\sqrt{2}}{3}\cdot2\sqrt{2}=\frac{8\cdot2\cdot2}{3}=\frac{32}{3}$。四、(1)总位移$\int_{0}^{4}v(t)\,dt=\int_{0}^{4}(3t^2-12t+9)\,dt$$=\left[t^3-6t^2+9t\right]_{0}^{4}=(4^3-6\cdot4^2+9\cdot4)-(0^3-6\cdot0^2+9\cdot0)$$=(64-96+36)-0=4$米。(2)物体速度$v(t)=3t^2-12t+9=3(t^2-4t+3)=3(t-1)^2$。速度为零时，$t=1$。在$t\in[0,1]$时，$v(t)>0$，物体向正方向运动。在$t\in[1,4]$时，$v(t)>0$，物体向正方向运动。总路程$S=\int_{0}^{1}|v(t)|\,dt+\int_{1}^{4}|v(t)|\,dt=\int_{0}^{1}v(t)\,dt+\int_{1}^{4}v(t)\,dt$$=\left[t^3-6t^2+9t\right]_{0}^{1}+\left[t^3-6t^2+9t\right]_{1}^{4}$$=[(1^3-6\cdot1^2+9\cdot1)-(0)]+[(4^3-6\cdot4^2+9\cdot4)-(1^3-6\cdot1^2+9\cdot1)]$$=[1-6+9]+[(64-96+36)-(1-6+9)]$$=4+[4-4]=4$米。五、(1)边际成本$MC(x)=C'(x)=2+\frac{1}{2}x$。边际收入$MR(x)=R'(x)=6-x$。(2)边际利润$MP(x)=MR(x)-MC(x)=(6-x)-(2+\frac{1}{2}x)=4-\frac{3}{2}x$。令$MP(x)=0$，得$4-\frac{3}{2}x=0$，解得$x=\frac{8}{3}$。(3)总利润$L(x)=R(x)-C(x)=(6x-\frac{1}{2}x^2)-(100+2x+\frac{1}{4}x^2)=-\frac{3}{4}x^2+4x-100$。$MC(x)=2+\frac{1}{2}x$。生产成本不超过1000元，即$C(x)\leq1000$。$100+2x+\frac{1}{4}x^2\leq1000$，即$\frac{1}{4}x^2+2x-900\leq0$。$x^2+8x-3600\leq0$。$(x+60)(x-60)\leq0$。解得$-60\leqx\leq60$。$x$为产量，应为正整数，故$x\in[1,60]$。$L(x)$是开口向下的抛物线，对称轴$x=-\frac{4}{2\cdot(-3/4)}=\frac{8}{3}$。最大利润在$x=\frac{8}{3}$处取得，但$\frac{8}{3}$不在$[1,60]$内。故最大利润在区间的端点取得。$L(1)=-\frac{3}{4}(1)^2+4(