2025-2026学年福建省晋江市南安市初中数学九年级期末上册自测培优拓展题（详细参考解析）

姓名:_________________学号:_________________班级:_________________学校:_________________ 密封线 姓名:_________________学号:_________________班级:_________________学校:_________________ 密封线 密封线 初中数学九年级期末上册试卷题号一二三四五六阅卷人总分得分注意事项:1.全卷采用机器阅卷，请考生注意书写规范；考试时间为120分钟。2.在作答前，考生请将自己的学校、姓名、班级、准考证号涂写在试卷和答题卡规定位置。

3.部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

4.请按照题号在答题卡上与题目对应的答题区域内规范作答，超出答题区域书写的答案无效:在草稿纸、试卷上答题无效。A卷（第I卷）(满分:100分时间:120分钟)一、选择题

1、将一个六角螺母按如图所示的方式摆放，则它的主视图正确的是（

）

A．B．C．D．

2、已知，则（

）A．B．C．D．

3、新定义：为二次函数，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．-2B．14C．-2或2D．2

4、若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则（

）A．B．C．D．

5、下列说法正确的是（

）A．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数定是0B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D．相似三角形的周长之比等于相似比的平方

6、在一个不透明的盒子里装着若干个白球，小明想估计其中的白球数，于是他放入个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，得到如下数据：摸球的次数

摸到白球的次数

摸到白球的频率

估算盒子里白球的个数为（）A．8个B．40个C．80个D．无法估计

7、如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD，BF⊥AD，点E、F为垂足，若EF＝6，∠1＝2∠2，则BC的长为（）

A．6B．8C．10D．12

8、某种运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，所列的方程中正确的是（

）A．B．C．D．

9、如图，在中，，，，点从点出发，沿，向终点匀速运动．设点所经过的路程为，点所经过的路线与，所围成的图形的面积为．在下列图像中能反映与的函数关系的是（

）

A．B．C．D．

10、如图1，正方形纸片的边长为2，翻折，使两个直角的顶点重合于对角线上一点分别是折痕（如图2）．设，给出下列判断：①当时，点是正方形的中心；②当时，；③当时，六边形面积的最大值是3；④当时，六边形周长的值不变．其中正确的选项是（

）

A．①③B．①②④C．①③④D．①②③二、填空题

11、关于的方程一个根是，则它的另一个根为________．

12、两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．如图所示的五角星中，，且C，D两点都是AB的黄金分割点，若，则的长是________．

13、在反比例函数的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则y1、y2、y3的大小关系是_____；（用“＜”连接）

14、如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为__________．

15、若是关于的一元二次方程的一个根，则______．

16、等腰三角形底边为6，则腰长m范围是_____．

17、如图，在等腰中，，，点D为的中点，于点E，则的值为______．

三、综合题

18、今年夏天，某市出现大暴雨，部分街区积水严重，小明和小亮所在的社区为了做好排涝工作，特招募社区抗涝志愿工作者．小明和小亮决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（淤泥清理），B（垃圾搬运），C（街道冲洗），D（消毒灭杀）其中一组．

（1）志愿者小明被分配到D组服务是．

A．不可能事件；B．随机事件；C．必然事件；D．确定事件．

（2）请用列表或画树状图的方法，求出志愿者小明和小亮被分配到同一组服务的概率．

19、【问题初探】在数学活动课上，智慧小组在画圆直径所对的圆周角是时，受此启发，研制如图所示的“直角仪”（如图1）.木条为直径，木条为半径，“直角仪”由木条（即）和木条（即）组成，在的中点O点相连并可绕O转动．

【学习任务】已知中，，智慧小组成员在没有直角尺情况下，要借助这个“直角仪”，画出一个直角，使直角的一边过点F，另一边与直线相交．

【类比分析】

（1）如图2，小明同学把所作“直角仪”落在上，，转动让点C落在上，连接．求证．

【学以致用】

（2）如图3，小伟同学把落在上，发现，转动使，在直线上截取，连接，.求证．

【拓展提高】

（3）当“直角仪”时，在图4上按下列步骤顺序完成要求：

①请你按照（2）中图3的操作，利用这个“直角仪”完成任务，给出结论．

②按要求完成画图：延长交延长线于点P，Q为的中点，连接，N是的中点，连接，并且延长交于点R．

③若，直接写出的值（用含k的式子表示）．

20、王芳同学在一次做电学实验时，记录下电流与电阻的一些对应值，通过描写连线，画出了关于的函数图象如图，求与之间的函数关系式，并求当电阻为时，电流的值是多少．

21、上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案．2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空：

先作，其中，；然后延长到点D，使，结连接．

2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）tan15°=2−3．

2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）tan15°=2−3．

（1）．

（2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），，

（3）．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：

【问题探究】

如图1，在中，，；

然后延长到点D，使，连接．

（1）__________．

（2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），__________．

（3）__________．

【知识迁移】

如图2，在中，，．然后延长到点D，使，连接．

请用习题中求的方法求．

【拓展应用】

如图3，在中，，，，点D、E分别在边、上，且，，连接、交于点P．求证：．

22、锦州千盛皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件元，经市场调查发现，按每件元出售，平均每天可售出件，每件降价元，平均每天的销售量可增加件，皮衣专卖店若想要平均每天获利元，则每件皮衣定价为多少元？

(1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：

小红：设每件皮衣定价为元，由题意，可列方程：_