2026-2027学年福建省宁德市福鼎市第四中学高三上学期第一次适应性练习数学试卷（含解析）

/数学第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）A. B. C. D.3.设，，若，则的最小值为（）A. B.4 C.9 D.4.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知函数，满足对任意的都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.7.若函数是定义在上的奇函数，，则（）A.2 B.0 C.60 D.628.已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二．多选题（每题6分，总共18分）9.已知，且，则下列命题中是真命题的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，那么 D.如果，那么10.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.是的充分不必要条件C.的单调减区间为D.若命题“，”是假命题，则a的取值范围为11.已知x，y为正实数，，则下列说法正确的是（）A.的最大值为4 B.的最小值为3C.的最小值为 D.的最小值为16第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则的值为__________．13.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____．14.如果函数满足：(为实数），且，那么代数式______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合．（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围．16.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；17.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角.（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值；18.为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？（2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．19.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴；（3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围．

数学第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求解一元二次不等式得全集，借助于数轴进行补集运算即得.解答过程：由可得，，即，而，故.故选：D.2.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由，即可得到在复平面内对应点的坐标.解答过程：解：因为，所以在复平面内对应点的坐标是．故选：D.方法提示：本题主要考查复数的运算，属于基础题.3.设，，若，则的最小值为（）A. B.4 C.9 D.答案：D解析：思路：利用基本不等式求得正确答案.解答过程：，当且仅当时等号成立.故选：D4.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.解答过程：因为在上单调递增，所以即；因为为增函数，故即；因为为减函数，故即，综上.故选：A.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由函数的奇偶性及零点个数即可判断得解.解答过程：函数的定义域为R，，函数是奇函数，图象关于原点对称，BD错误；由，得，因此函数有唯一零点，的图象与x轴仅只一个交点，C错误，A满足.故选：A6.已知函数，满足对任意的都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意可得在上单调递减，结合指数函数单调性计算即可得解.解答过程：由对任意的都有成立，故在上单调递减，则，解得，即实数的取值范围为.7.若函数是定义在上的奇函数，，则（）A.2 B.0 C.60 D.62答案：A解析：思路：根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解.解答过程：由题意，所以的周期为4，且关于直线对称，而，所以.故选：A.8.已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由题意可得，分别求出两函数在给定区间上的最小值，然后解不等式可求得答案.解答过程：因为，，使得，所以，由，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为在上单调递增，所以，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B二．多选题（每题6分，总共18分）9.已知，且，则下列命题中是真命题的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，那么 D.如果，那么答案：CD解析：思路：举反例可判断AB，利用不等式的性质可判断CD.解答过程：取，，，满足选项A，B中的前提条件．对于选项A，有，故A是假命题；对于选项B，有，故B是假命题；对于选项C，∵，∴，由不等式的性质4知C是真命题；对于选项D，，同乘以，得，又，∴，故D是真命题．故选：CD.10.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.是的充分不必要条件C.的单调减区间为D.若命题“，”是假命题，则a的取值范围为答案：AB解析：思路：根据还有量词命题的否定可以判断，根据充分条件和必要条件的定义即可判断，根据函数单调性定义可以判断，由命题是假命题可知，函数的图像全部在轴上方，则且，即可判断.解答过程：对于，命题“，”的否定是“，”，故正确；对于，由题意知，当时，则，所以，故充分性满足，当时，若，则不能得到，故必要性不满足，所以是的充分不必要条件，故正确；对于，由可知，单调递减区间不是，故错误；对于，由命题“，”是假命题可知，函数的图像全部在轴上方，当时，则，即，得，当时，因为不成立，所以原命题是假命题成立，综上所诉，的取值范围为，故错误.故选.11.已知x，y为正实数，，则下列说法正确的是（）A.的最大值为4 B.的最小值为3C.的最小值为 D.的最小值为16答案：ABD解析：思路：利用基本不等式逐个判断A、B、C选项，利用配方法化简D选项中代数式即可求得最值.解答过程：当时，∵，∴，∴，当且仅当时，取等号，A选项正确；，当且仅当时，取等号，B选项正确；，当且仅当时，取等号，∴，C选项错误；∴，D选项正确.故选：ABD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则的值为__________．答案：1解析：思路：由指数式和对数式的互化，可将和表示出来，然后根据换底公式表示出和，代入，根据对数的运算性质计算即可.解答过程：因为，所以，，所以，，所以.故113.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____．答案：解析：思路：根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．解答过程：解：因为定义在的奇函数在单调递减，且，所以在上单调递减，且，如下图为的大致图象：所以当或时，；当或时，，由得或，解得或，所以的取值范围是．故答案为.14.如果函数满足：(为实数），且，那么代数式______．答案：解析：思路：根据题目规律，先求出，进而求得答案.解答过程：根据题意，令，则，所以.所以，因为共有个，所以.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合．（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）代入，求出集合A和B，根据交集和补集的运算法则即可计算；（2）求出，根据题意可知集合A是的真子集，根据集合的包含关系即可求解．（1）当时，，或，，；（2）“”是“”的充分不必要条件，是的真子集．，（等号不同时成立），解得，的取值范围是．16.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；答案：（1），（2）．解析：思路：（1）由奇函数得和，进而求解；（2）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式即可求解．（1）因为是奇函数，且定义域为，所以，即，解得，从而有，又由知，解得，经检验适合题意，，；（2）由（1）知，由上式易知在上为减函数，又因是奇函数，从而不等式，等价于，因为是减函数，由上式推得，即对一切有，从而，解得．17.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角.（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值；答案：（1）因为二面角为直二面角，所以平面平面.正方形中，.又平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.又，，平面，所以平面.因为平面，所以.（2）解析：思路：（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合面面角的向量求法求解即可.（1）略（2）在中，，为的中点，，所以，.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.取中点，连接，因为平面，所以.正方形中，为中点，所以.所以两两垂直.以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，.所以，，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，所以.设平面的法向量为，则，即，则，令，则，所以.设平面与平面所成角为，则，故平面与平面所成角的余弦值为.18.为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？（2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．答案：（1）（2）存在解析：思路：（1）根据题意直接列出不等式可求解；（2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，则，即，解得，又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人.（2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得，由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，则有，两边同除以，得到，整理得到，故有，又，当且仅当，即时取等号，所以，又因为，当时，取得最大值7，所以，即存在这样的满足条件，使得其范围为.19.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴；（3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围．答案：（1）的单调递减区间为，单调递增区间为．（2），则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，由题意可知，，解得．所以，则，又，则，所以曲线在处的切