2026-2027学年云南省部分校高三上学期第一次月考数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟本卷命题范围：集合，不等式，函数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体几何，解析几何，计数原理与概率统计．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知，若复数是纯虚数，则的值为（）A. B. C.或1 D.或3.若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（）A.2 B.4 C.6 D.84.有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（）种．A. B. C. D.5.已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（）A.24 B.18 C. D.6.已知，且，则（）A. B.C. D.7.已知圆锥的体积为，其母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积为（）．A. B. C. D.8.已知，且.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量服从正态分布，且，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.随的变化而变化10.已知函数为奇函数，则（）A.的最小正周期为B.将的图象向右平移个单位可得到函数的图象C.在区间上单调递增D.直线是曲线的一条对称轴11.已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则（）A. B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，的系数是______13.已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________．14.甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角，，的对边分别是，，，且（1）求角；（2）若的面积为，，求边上的高．16.随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多．商家销售商品，既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据：售价x（元/件）34567日销量y（件）6957544030（1）由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；（2）试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数）附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：．17.为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍．（1）根据题中信息，完成下面列联表；单位：人性别喜爱情况合计喜爱不喜爱男女合计（2）根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？附：．0.10.050.012.7063.8416.63518.如图，在四棱柱中，四边形ABCD是菱形，，，，，点E是棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．19.某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试估计这1000个脐橙的果径的中位数；（2）在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望；（3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？

数学满分150分，考试时间120分钟本卷命题范围：集合，不等式，函数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体几何，解析几何，计数原理与概率统计．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据交集的运算求解.解答过程：因为，所以.故选：A2.已知，若复数是纯虚数，则的值为（）A. B. C.或1 D.或答案：B解析：思路：利用纯虚数的定义列式求解.解答过程：由复数是纯虚数，得，解得.故选：B.3.若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：C解析：解答过程：因为点为抛物线上一点，所以，解得.因为抛物线的准线为，所以点P到其焦点的距离为．4.有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（）种．A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式即得.解答过程：第一步，从除组长、甲、乙外的9人中选出2人，有种；第二步，甲、乙和选出的2人排在前排，共种；第三步，后排7人全排列，有种，由分步乘法计数原理可得共有种.故选：D5.已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（）A.24 B.18 C. D.答案：D解析：思路：建立直角坐标系，读出向量的坐标，再利用坐标运算求数量积.解答过程：以三个向量的公共起点为原点建立如图所示的直角坐标系，则，，，则，，则故选：D6.已知，且，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由二倍角公式化简原式，结合所在象限计算，进而求得，再使用正弦和差公式进行求解即可.解答过程：由得，又，所以，，所以7.已知圆锥的体积为，其母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积为（）．A. B. C. D.答案：C解析：思路：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由母线与底面所成的角是可得，结合锥体体积公式列方程求，，再由圆锥侧面积公式求结论.解答过程：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由母线与底面所成角是知，，所以体积，故，化简可得，所以，，，所以圆锥的侧面积为．故选：C．8.已知，且.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据分段函数的单调性列式求解即可.解答过程：由是减函数，得，又时，在上单调递减，所以要函数在上单调递减，则有且，所以.故选.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量服从正态分布，且，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.随的变化而变化答案：AB解析：解答过程：已知随机变量服从正态分布，所以随机变量的均值为，对于A选项，，故A选项正确.对于B选项，根据正态分布的对称性，而，故B选项正确.对于C选项，因为，所以，故C选项错误.对于D选项，，与无关，故D选项错误.10.已知函数为奇函数，则（）A.的最小正周期为B.将的图象向右平移个单位可得到函数的图象C.在区间上单调递增D.直线是曲线的一条对称轴答案：ABD解析：解答过程：由题意，，由，则，故．对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，将的图象向右平移个单位可以得到函数，故B正确；对于C，当时，，而函数在上单调递减，故C错误；对于D，，时，,所以是其对称轴，故D正确．11.已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则（）A. B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为答案：CD解析：思路：由等差数列通项公式基本量的计算可判断A，由A结合二次函数可判断B，由通项公式可判断C,D.解答过程：设的公差为，由，，得，， A错误；因为，对称轴为：，所以时，取得最小值，B错误；由知，，，，都小于0，，，，都大于0，所以的最小值为，C正确；由知，，，都小于0，，，，都大于0，中，，，，都小于0，其他的都大于0，显然最小，D正确.故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，的系数是______答案：解析：思路：根据二项式展开通项公式求解即可.解答过程：展开式的通项公式为令，解得，所以的系数为．13.已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________．答案：5解析：思路：求出样本数据的平均数的表达式，再利用“1”的妙用结合基本不等式即可求得答案.解答过程：因为数据的平均数为，数据的平均数为，所以，所以样本数据的平均数为，又正数满足，故，当且仅当，即时等号成立，故样本数据的平均数的最小值为5．14.甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为________．答案：解析：思路：根据题意，求得甲比赛四局、五局、六局和七局获胜的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解.解答过程：由题意，若比赛四局，则甲赢的概率为；若比赛五局，甲第五局赢，可得甲赢的概率为；若比赛六局，甲第六局赢，可得甲赢的概率为；若比赛七局，甲第七局赢，可得甲赢的概率为，所以甲赢的概率为，所以甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角，，的对边分别是，，，且（1）求角；（2）若的面积为，，求边上的高．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由条件及正弦定理可得，再结合角的范围可得；（2）结合（1）中及面积可得，再由余弦定理可得，再由面积可得所求边上的高.（1）由正弦定理及，得，因为，所以，，所以.又，所以．（2）由（1）知，又因为的面积为，，所以，解得.由余弦定理，所以.设边上的高为，则，解得，即边上的高为．16.随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多．商家销售商品，既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据：售价x（元/件）34567日销量y（件）6957544030（1）由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；（2）试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数）附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：．答案：（1）（2）6元解析：（1）由表知，，，

，又，所以，所以关于的经验回归方程为；（2）设商家的日利润为元，则，该二次函数的对称轴方程为，所以当售价定为每件6元时，商家可获得的日利润最大．17.为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍．（1）根据题中信息，完成下面列联表；单位：人性别喜爱情况合计喜爱不喜爱男女合计（2）根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？附：．0.10.050.012.7063.8416.635答案：（1）性别喜爱情况合计喜爱不喜爱男3070100女4060100合计70130200（2）认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关解析：思路：（1）利用分类统计，即可得到二阶列联表；（2）利用独立性检验的计算步骤即可求解.（1）设喜爱该档节目的男性观众数为x，则喜爱该档节目的女性观众数为，不喜爱该档节目的女性观众数为，则，得．故列联表完成如下．单位：人性别喜爱情况合计喜爱不喜爱男3070100女4060100合计70130200（2）零假设为：观众对该档节目的喜爱情况与性别无关．根据（1）中列联表的数据，计算得到．根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关．18.如图，在四棱柱中，四边形ABCD是菱形，，，，，点E是棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再得出平面ABCD，最后应用面面垂直判定定理证明；（2）建系，先求出平面的法向量，再应用面面角余弦公式求解，最后应用同角三角函数关系计算求解.（1）取BC的中点O，连接DO，，如图所示．因为四边形ABCD是菱形，，故是等边三角形，所以，，又，，，平面，故平面，又平面，故，，故，故，又，DO，平面ABCD，所以平面ABCD，又平面，所以平面平面．（2）以O为坐标原点，OD，OB，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，所以，，，，，，故，，，设平面EDB的法向量为，所以，即得，令，解得，，所以．设平面的法向量为，所以，即得，令，解得，，所以．所以，所以，即二面角的正弦值为．19.某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二