2026-2027学年云南省玉溪市师范学院附属中学高三上学期开学考数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合则（）A. B.C. D.2.已知向量，若，则等于（）A.9 B.3 C.-1 D.-33.已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点在椭圆上，则椭圆的方程为（）A.=1 B.+y2=1 C.=1 D.+x2=14.已知，则“”是“”的（）A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.在的展开式中，常数项为（）A. B.15 C. D.306.设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A. B. C. D.与有关7.若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.8.设三次函数的导函数，且，则函数的零点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.某企业2025年年度营业费用情况如图所示，则下列说法正确的是（）A.基本工资占比最高 B.奖金高于基本工资C.加班费与包装费相同 D.员工工资支出占比不到10.对于函数，如下结论中，正确的是（）A.最小正周期是 B.C.在上是增函数 D.它的一个对称中心为11.如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点．若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则（

）A.B.平面平面C.点G到平面的距离为D.三棱锥的外接球的表面积为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.复数的虚部为__________．13.计算_______．14.已知抛物线的焦点为，过抛物线上点的切线为，过点作平行于轴的直线，过作平行于的直线交于，若，则的值为____．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点．（1）求C的标准方程；（2）若线段的中点为，求直线的方程．16.如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线.（1）证明：平面；（2）若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值.17.在锐角中，角的对边分别为，且满足.（1）求证：；（2）设的周长为，求的取值范围.18.某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.19.已知数列的首项，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）证明：（为自然对数的底数）.

数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：求出集合后结合交集的定义可求.解答过程：，故，故选：D.2.已知向量，若，则等于（）A.9 B.3 C.-1 D.-3答案：C解析：思路：由向量垂直利用数量积的坐标表示解方程可得结果.解答过程：因为，所以，得.故选：C.3.已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点在椭圆上，则椭圆的方程为（）A.=1 B.+y2=1 C.=1 D.+x2=1答案：A解析：思路：根据题意可得c=1，，从而求出，代入即可得解.解答过程：由焦点为(-1，0)和(1，0)，可得：c=1，由点P(2，0)在椭圆上，可得为椭圆右顶点，故，所以,所以椭圆的方程为=1.答案：A.方法提示：本题考查了椭圆的基本量的运算，考查椭圆的性质，属于基础题.4.已知，则“”是“”的（）A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：由，结合求解，再由充分条件、必要条件的概念即可判断.解答过程：（1）因为，所以，又，由，可得，所以；（2）因为，又，当时，，由，可得，此时，当时，，由，可得，此时，综上，，则“”是“”的充分不必要条件，故选：C5.在的展开式中，常数项为（）A. B.15 C. D.30答案：B解析：思路：由二项展开式通项公式求解．解答过程：，令，得，∴常数，故选：B．6.设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A. B. C. D.与有关答案：C解析：思路：根据等差数列的前项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可.解答过程：由题可知：成等差数列所以，又，所以故选：C7.若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.解答过程：由，得，由该曲线表示圆，可知，解得或，故选：B.8.设三次函数的导函数，且，则函数的零点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：D解析：思路：先由导数确定函数单调性，再求导确定，结合极值及零点存在定理确定零点个数即可.解答过程：由且知，当时，，当或时，，则函数在上单调增，在上单调减，在上单调增，又，则，则，所以，又，所以函数有三个零点.故选：D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.某企业2025年年度营业费用情况如图所示，则下列说法正确的是（）A.基本工资占比最高 B.奖金高于基本工资C.加班费与包装费相同 D.员工工资支出占比不到答案：CD解析：解答过程：根据图，广告费的占比最高，故A错误；奖金为，基本工资为，所以基本工资高于奖金，故B错误；加班费和包装费均为，故C正确；员工工资支出包括基本工资、加班费和奖金，占比为，不到，故D正确.10.对于函数，如下结论中，正确的是（）A.最小正周期是 B.C.在上是增函数 D.它的一个对称中心为答案：BCD解析：解答过程：对于A选项，因为，因此函数的周期，故A选项错误；对于B选项，，故B选项正确；对于C选项，由，时函数单调递增可得，，，当时，区间为，故C选项正确；对于D选项，当，时，，故时，，即函数的一个对称中心为，因此D选项正确.11.如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点．若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则（

）A.B.平面平面C.点G到平面的距离为D.三棱锥的外接球的表面积为答案：ABD解析：思路：由线面垂直的判定定理证明出平面可判断A，由面面垂直的判定定理证明平面可得B正确；将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出三棱锥外接球的半径，利用球体的表面积可求得结果可判断D；利用等体积法可求得点到平面的距离可判断C.解答过程：在正方形中，，，，在三棱锥中，则，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；且，又，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；将三棱锥补成长方体，所以，三棱锥外接球的直径为，因此，三棱锥外接球的表面积为，故D正确；，，，取的中点，连接，则，，则，设点到平面的距离为，由，可得，解得，故C错误；故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.复数的虚部为__________．答案：解析：解答过程：，故虚部为.13.计算_______．答案：解析：思路：应用有理数指数幂、对数的运算性质化简求值即可.解答过程：原式．故答案为.14.已知抛物线的焦点为，过抛物线上点的切线为，过点作平行于轴的直线，过作平行于的直线交于，若，则的值为____．答案：解析：思路：根据导数的几何意义求出切线方程，再根据，得到的坐标，然后代入到直线中即可求出．解答过程：解：设，由，得，则当时，，所以过且与平行的直线的方程为，过点作平行于轴的直线，过作平行于的直线交于，，，所以，即，解得；故.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点．（1）求C的标准方程；（2）若线段的中点为，求直线的方程．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）根据离心率求出，得到双曲线方程；（2）由点差法得到直线的斜率，进而得到直线的方程，检验后可得答案（1）因为，，所以，则，所以双曲线C的标准方程为．（2）设，，由题知，则，两式相减得，即，又，，所以，所以直线的方程为，即，将代入双曲线方程，整理，得，则，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为．16.如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线.（1）证明：平面；（2）若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值.答案：（1）证明：因为，是圆柱的两条母线，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）根据圆柱母线的概念，得到，再根据线面平行的判定定理证明平面.（2）先根据条件，确定圆柱的母线长与底面半径的关系，再确定直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求角的正切值.（1）略（2）因为是下底面圆的直径，C是下底面圆周上异于A，B的动点，所以，又因为是圆柱的一条母线，所以底面，而底面，所以.因为平面，平面，且，所以平面.又由（1）知，所以平面所以为直线与平面所成的角.设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，所以，得，又Ｃ为弧的中点，所以，所以在中，在中，所以直线与平面所成角的正切值为.17.在锐角中，角的对边分别为，且满足.（1）求证：；（2）设的周长为，求的取值范围.答案：（1）因为，由余弦定理得，所以，，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，所以，即.（2）解析：思路：（1）由余弦定理及正弦定理，结合角的范围即可得证；（2）先由角的关系得出，再结合正弦定理可得，最后结合二次函数值域得出范围.（1）略（2），由，得，，结合二次函数单调性易知，即的取值范围为.18.某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.答案：（1）（2）解析：思路：(1)每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球.(2)甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.（1）设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为;乙队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为.设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球,则,故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为.（2）因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.①比分为2:1的概率为.②比分为2:2的概率为.③比分为3:2的概率为.综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为.19.已知数列的首项，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）证明：（为自然对数