2026-2027学年浙江A9协作体高三上学期暑假返校学情诊断数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟；第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设，，则（）A. B.C. D.2.已知为虚数单位，则复数（）A. B.C. D.3.向量，，若，则（）A. B.C. D.4.在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（）A. B.C. D.5.设，，若与互为相反数，则（）A. B.C. D.6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（）A. B.C. D.7.的值是（）A. B.C. D.8.已知三个数，，，，，，则（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.7个样本数据：5，6，3，1，9，6，12，则下列说法正确的是（）A.极差是10 B.平均数是6 C.众数是6 D.中位数是610.已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2，且为上的动点，则（）A.的方程为：B.已知点，则的最小值为4C.直线被抛物线截得的弦长最小值为4D.若抛物线准线与轴交于点，设斜率为，则的最小值是111.正方体棱长为1，、分别为、中点，点在正方体的表面上运动，且满足．记点的轨迹为，则下列命题正确的是（）A.是矩形B.所围图形的面积为C.点与所围成的空间几何体的体积是D.点线段，所在平面与平面的夹角余弦值范围为第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式展开式中第4项系数是______．（用数字作答）13.已知等差数列的前项和为，且，，则_________．14.过椭圆上一点作椭圆的切线分别交、轴于点、，，则_________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，点在边上，且满足，，，．（1）求边的长；（2）若点是中点，求．16.已知函数．（1）若曲线在处的切线与轴平行，求的值和切线方程；（2）若在上有2个零点，求的范围．17.如图，矩形中，，．将沿对角线折起，得到三棱锥，在底面上的投影在上．（1）证明：；（2）证明：平面平面；（3）求与平面所成角的正弦值．18.已知双曲线的离心率为3，且左右焦点分别为，，点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与的左右两支交于、两点．（i）若直线的斜率为，求的长；（ii）若，证明：，，成等比数列．19.甲、乙两人比赛，每局甲胜概率为，乙胜概率为，且．比赛进行到有1人连胜两局时结束．记为比赛的局数，表示比赛进行局结束的概率．（1）若，求，；（2）求，（结果用，表示）；（3）表示的期望．（i）求（结果用，表示）；（ii）证明：．（参考公式：无穷等比数列，公比为，若，则：，）

数学满分150分，考试时间120分钟；第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由交集的运算可知.2.已知为虚数单位，则复数（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：．3.向量，，若，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由题意得出，结合平面向量数量积的运算性质可求出的值.解答过程：因为，，且，所以，解得.4.在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：设该等比数列为，，由题意得，,根据等比数列通项公式代入可得：，将、代入上式：，整理得，所以．5.设，，若与互为相反数，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：由题意且，显然，C错误，结合对数函数的单调性知，显然A正确，当且仅当时，，成立，但其它情况不能成立，B、D错误.6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用点对称然后连线找最短，求两点间距离即可解答过程：如图所示，，，过原点作的对称点为，连接，则的长度即为“将军饮马”的最短总路程，因为，所以“将军饮马”的最短总路程为5.7.的值是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用切化弦方法，结合使用两角差的正弦公式、二倍角公式及诱导公式化简即得.解答过程：.8.已知三个数，，，，，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用中间值法可得到a，b的大小，再构造函数可得到b，c的大小..解答过程：先比较b和a，由得：；由，两边取自然对数得，即，故；再比较b和c，因为，两边取自然对数可得：，因为，利用换底公式可得：；，将两式联立，得到与的关系：，因为，要比较和的大小，等价于比较与的大小，将代入：，这就转化为比较与的大小，令(其中)，求导：，当时，，所以函数在上单调递减，因为，所以，即：，所以，两边再同除以（正数），得到：即；综上：二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.7个样本数据：5，6，3，1，9，6，12，则下列说法正确的是（）A.极差是10 B.平均数是6 C.众数是6 D.中位数是6答案：BCD解析：思路：利用样本数据的特点和概念进行求解.解答过程：将数据从小到大排列：1,3,5,6,6,9,12A选项，极差为，所以A选项错误；B选项，平均数为，所以B选项正确；C选项，众数为6，所以C选项正确；D选项，一共7个数据，中位数为从小到大第4个数，即中位数为，所以D选项正确.10.已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2，且为上的动点，则（）A.的方程为：B.已知点，则的最小值为4C.直线被抛物线截得的弦长最小值为4D.若抛物线准线与轴交于点，设斜率为，则的最小值是1答案：BCD解析：思路：利用抛物线的性质得，从而得抛物线方程，判断A，把抛物线上的点到焦点距离转化为该点到准线的距离，转化求解最小值判断B，直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求得弦长判断C，由判别式不小于0判断D.解答过程：对A，由题意，所以抛物线方程为，A错；对B，由抛物线方程得其焦点为，准线为直线，如图，过作于点，则，所以，所以当三点共线时，取得最小值为点到准线的距离4，B正确；对C，由得，，所以，，直线被抛物线截得的弦长为：，当且仅当时，，C正确；对D，由以上推导知，直线的方程为，由得，，所以，的最小值是1,D正确.11.正方体棱长为1，、分别为、中点，点在正方体的表面上运动，且满足．记点的轨迹为，则下列命题正确的是（）A.是矩形B.所围图形的面积为C.点与所围成的空间几何体的体积是D.点线段，所在平面与平面的夹角余弦值范围为答案：ABD解析：思路：连接，交于，则为中点，过点分别作，分别交于点，连接，进而可得点的轨迹是矩形，进而求解判断AB；建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断CD.解答过程：对于A，在正方体中，连接交于点，则为中点，连接，因为为的中点，所以，由正方体的性质，可知平面，所以平面，因为平面，所以，过点作，分别交于点，过点分别作，分别交于点，连接，所以四点共面，且，所以四边形为平行四边形，因为平面，所以平面，又平面，所以，所以四边形为矩形，因为，平面，所以平面，因为点在正方体的表面上运动，且满足，所以当面时，始终有，则点的轨迹是矩形，即是矩形，故A正确；对于B，在正方形中，因为，所以，则，因为，所以，所以，则，即，所以，易得，所以所围图形的面积为，故B正确；对于C，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，由于平面，则所在平面的一个法向量为，而，则点到平面的距离为，而四边形的面积为，则点与所围成的空间几何体的体积是，故C错误；对于D，设，，由C知，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，而所在平面的一个法向量为，设所在平面与平面的夹角为，则，当时，；当时，，由于，则，则.综上所述，所在平面与平面的夹角余弦值范围为，故D正确.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式展开式中第4项系数是______．（用数字作答）答案：20解析：解答过程：由题设，展开式通项为，，所以时，，即第四项的系数为.13.已知等差数列的前项和为，且，，则_________．答案：3解析：思路：利用等差数列片断和性质求解.解答过程：是等差数列，则成等差数列，所以，所以.14.过椭圆上一点作椭圆的切线分别交、轴于点、，，则_________．答案：3解析：思路：设切点，切线设为，联立椭圆方程，令判别式，得到，可求出切线方程，分别令和，得到切线与坐标轴的交点和，由，可解出点坐标，利用两点间距离公式可得的值.解答过程：设切点为，因为切线分别交轴于两点，说明切线斜率存在且不等于0，设切线方程为，将切线方程代入椭圆方程，，因为直线与椭圆相切，，化简得：，因为切点在切线上，所以，即，将代入上面的关系式：，展开并整理得：，，因为点在椭圆上，满足，可变形为：，代入上面的的方程中：方程两边同时乘以，得到：观察发现这是一个完全平方式：解得切线斜率：利用点斜式，可得切线方程为：，，因为，所以：两边同除以36，即得切线方程.令，得，所以，令，得，所以，根据两点间距离公式：展开得：，由椭圆方程知，代入上式：故，两边同乘：，令，得，分解因式得：，解得或，因为点在椭圆上，所以，故舍去，因此，，根据两点间距离公式，，，将和代入：，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，点在边上，且满足，，，．（1）求边的长；（2）若点是中点，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）作出图形可得，从而求出，再利用余弦定理即可求解；（2）在中由余弦定理可得，在中利用余弦定理即可求解.（1）由题意作出下图，且得，在中，，，得，在中，由余弦定理可得，所以.（2）由（1）得，点是中点，则，在中由余弦定理可得，则，在中由余弦定理可得.16.已知函数．（1）若曲线在处的切线与轴平行，求的值和切线方程；（2）若在上有2个零点，求的范围．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）结合题意与导数得到，进而求解参数值，再得到切线方程即可.（2）将零点问题合理转化为交点问题，再结合导数求解参数范围即可.（1）因为，所以，则，而曲线的切线与轴平行，可得，解得，此时得到，，故切线方程为.（2）因为在上有2个零点，所以在上有2个解，得到在上有2个解，即与在上有2个交点，而，令，，令，，则在上单调递减，在上单调递增，而，当时，，当时，，可得，即的范围为.17.如图，矩形中，，．将沿对角线折起，得到三棱锥，在底面上的投影在上．（1）证明：；（2）证明：平面平面；（3）求与平面所成角的正弦值．答案：（1）如图，作面，以为原点建立空间直角坐标系，由题意得，，，设，，由折叠性质得，，由两点间距离公式得，解得，则，，可得，，得到，故得证.（2）由题意得，，，，则，，，，设面的法向量为，则，令，解得，，得到，设面的法向量为，则，令，解得，，得到，可得，故平面平面得证.（3）解析：思路：（1）（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明求解即可.（3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可.（1）略（2）略（3）由已知得，面的法向量为，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为.18.已知双曲线的离心率为3，且左右焦点分别为，，点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与的左右两支交于、两点．（i）若直线的斜率为，求的长；（ii）若，证明：，，成等比数列．答案：（1）（2）（i）；（ii）由（1）知双曲线的标准方程为，，由题意直线的斜率存在，设，，，则由题意.联立，消去并化简得，则，，，则有，因为，所以，即，所以，化简得，此时，而，所以，所以，，成等比数列．解析：思路：（1）利用离心率、焦点到渐近线距离以及的关系求解双曲线的方程；（2）（i）求出直线的方程，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式求解即可；（ii）设直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理，根据弦长公式及求得，再根据弦长公式分别求得，进而利用等比数列定义证明即可.（1）已知双曲线的离心率为，则，所以，即.设双曲线的右焦点为，根据双曲线对称性不妨取渐近线方程为，则点到其距离，解得.因为，把代入，得，解得，，故双曲线的标准方程为.（2）（i）由（1）知，因为直线的斜率为，所以直线的方程为，设，，联立，消去并化简得，则，，所以；（ii）略19.甲、乙两人比赛，每局甲胜概率为，乙胜概率为，且．比赛进行到有1人连胜两局时结束．记为比赛的局数，表示比赛进行局结束的概率．（1）若，求，；（2