北京市育英学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题（含简单答案）

北京市育英学校2026−2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．[3分]若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（

）A． B． C．1 D．42．[3分]用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（

）A．12 B．9 C．6 D．33．[3分]在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式是（

）A． B． C． D．4．[3分]若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，3）在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x3＜x1＜x2 D．x1＜x3＜x25．[3分]如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（

）A． B． C． D．6．[3分]某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（

）A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于7．[3分]我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（

）A．6 B．4 C．2 D．18．[3分]如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数与图象上的动点，轴于点D，轴于点E，点C在y轴的正半轴上，连接，若四边形是平行四边形，给出下面四个结论：①；②若，，则；③；④当时，四边形一定是正方形．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④二、填空题（本大题共8小题）9．[3分]方程的根为_________．10．[3分]写出一个顶点为的二次函数表达式_________．11．[3分]已知一元二次方程的两个根分别是，，则_________．12．[3分]若点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为__________________（用“”连接）．13．[3分]化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，设人每次能手把手教会名同学，那么所列方程为_________．14．[3分]二次函数的与的部分对应值如下表：…01234……27…则关于的一元二次不等式的解集是___________．15．[3分]如图，已知线段，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，在下方交于点，连接交于点．以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，，则的大小为_________．16．[3分]如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校．已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）．（1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________；（2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________．三、解答题（本大题共12小题）17．直线与反比例函数的图象交于点．（1）求，的值．（2）结合函数图象，直接写出时的取值范围；（3）设点P的坐标为且，过点P作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求的值．18．在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点B的坐标为，点A与点B不重合．（1）求此抛物线的对称轴（用含的代数式表示）；（2）连接．①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出a的取值范围；②在①的条件下，过点B作x轴的垂线交抛物线于点C，若线段的长随a的增大而减小，求a的取值范围．19．在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点关于点的对称点为，点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“转称点”．

（1）如图，已知点，点是点关于点的“转称点”．①当时，在图中画出点的位置，并直接写出点的坐标；②的长度是否与有关?若无关，求的长；若有关，说明理由；（2）已知点是边长为2的等边三角形（点按逆时针方向排列），点是点关于点的“转称点”，在绕点A旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长．20．已知是方程的一个根，求代数式的值．21．已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线；（3）当时，直接写出的取值范围．22．如图，在中，，，分别为，的中点，点，在射线上，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，，求的长．23．关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围．24．如图，矩形的两条邻边，，上是否存在点，使得为直角？如果不存在，请说明理由；如果存在，求出满足条件的点E有几个．25．数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3，且不考虑接缝）．

某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：（1）设长方体包装盒的底面边长为x，表面积为、可以用含x的代数式表示长方体的高为．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积．得到y与x的关系式：_________（）；（2）列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）x/…0.51.01.52.02.53.0…80.542.031.2①28.531.3（3）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：（4）结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为_______时，需要的材料最省．

26．四边形和都是正方形，其中正方形可以绕顶点旋转（）．（1）如图1，点在上，点在上，连接和，取的中点，连接，求证：；（2）如图2，正方形绕点旋转到图2位置，连接和，取线段的中点，连接．①依题意补全图2；②判断线段与的关系，并证明你的结论．27．近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米．（1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方．28．解方程：．

参考答案1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】，10．【答案】（答案不唯一）11．【答案】12．【答案】13．【答案】14．【答案】或15．【答案】/度16．【答案】34；517．【答案】（1），（2）（3）18．【答案】（1）直线（2）①或或；②19．【答案】（1）①；②的长度与无关，（2），或20．【答案】21．【答案】（1）；（2）它的顶点坐标为；图象如图所示：；（3）．22．【答案】（1）证明：∵是的中点，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形；（2）23．【答案】（1）∵，∴，∴该方程总有两个实数根；（2）24．【答案】存在点，使得为直角，满足条件的点E有两个25．【答案】（1）（2）（3）如图所示：（4）26．【答案】（1）证明：∵四边形、是正方形