陕西省渭南市2026届高三下学期教学质量检测（Ⅱ）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省渭南市2026届高三下学期教学质量检测（Ⅱ）数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据，，，，的第百分位数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以这组数据的第60百分位数是.故选：B.2.双曲线的焦距为（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】因为双曲线方程为，所以，因为，所以，所以双曲线的焦距为4.故选：D.3.已知复数，则（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】由题知，所以，所以.4.已知向量，，若，则（）A. B.4 C.9 D.11【答案】D【解析】因为向量，，所以，又因为，所以，所以.5.已知，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】，则，，解得，得，即，故选：B.6.若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（）A. B.8 C.10 D.【答案】C【解析】由题意可知，抛物线的准线为，设，则根据抛物线的定义可知.因为直线与抛物线交于，两点，所以联立方程可得，化简得.根据韦达定理得，所以.7.已知是圆上一动点，若直线上存在两点，，使得成立，则的最小值是（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】圆的圆心，半径，由直线上存在两点，使得成立，以为直径的圆与圆有公共点，当长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图，

圆心到直线的距离，所以.8.集合，集合，，则满足的集合对有（）个．A. B. C. D.【答案】D【解析】对于中的任意一个元素，要满足，分析在集合中的归属情况：且；且；且这三种情况都能保证，而只有且这一种情况不满足条件.因此，每个元素有种有效的归属方式.因为中共有个元素，且每个元素的选择相互独立，所以满足条件的集合对的个数为：.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则在上单调递增B.若，则的图象关于点中心对称C.若在上恰有三个零点，则D.若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为2【答案】BCD【解析】对于A，若，可得，当，可得，当时，即时，函数单调递增；当时，即时，函数单调递减，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以A错误；对于B，若，可得，令，解得，当时，，所以是函数的一个对称中心，所以函数的图象关于点中心对称，所以B正确；对于C，当，可得，要使得函数在上恰有三个零点，则需要包含，则满足，解得，所以C正确；对于D，将的图象向左平移个单位长度后，可得，要使得函数的图象关于轴对称，则满足，解得，因为，所以的最小值为，所以D正确.10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（）A.函数有三个零点B.当时，C.，，都有D.若方程有三个解，则实数的取值范围是【答案】AC【解析】对于A：当时，令，得，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，，所以有三个零点，故A正确；对于B：当时，，则，因为是定义在上的奇函数，所以，故B错误；对于C：当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在取到极大值，极大值为，且当时，；，，所以根据是奇函数，可作出的大致图象如下：由图可知，，，都有，所以，故C正确；对于D：若方程有三个解，则与有三个公共点，所以，即，故D错误.11.在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.点的轨迹形成图形的面积为C.点的轨迹与正方体表面交线的长度为D.当点在侧面上时，的最小值为1【答案】ACD【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，则因为为线段上的动点，所以，所以，所以可设，所以，，所以所以，A正确；因为直线与的夹角为，且，所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆为底面，为高的圆锥的侧面的，又母线，所以点的轨迹形成图形的面积为，B错误；点的轨迹与正方体表面交线的长度为，C正确；当点在侧面上时，过点作垂直于平面于点，则,所以所以当三点共线时，有最小值为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.不等式的解集为______．【答案】【解析】当时，不等式变为，即，解得，又，所以此时不等式的解集为；当时，不等式变为，即，解得，又，所以此时不等式的解集为；所以不等式的解集为.13.若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为______．【答案】【解析】根据题意，设三角形的三条边长分别为，对应的三个角分别为，因为最大角是最小角的2倍，所以.根据正弦定理得，而，所以，化简得①.根据余弦定理得②，①②联立得，化简解得，所以三角形三条边长分别为.又，所以，所以.所以该三角形的面积为.14.数列的前项和为，且满足，．设由，，，组成无重复数字的所有四位数的和为，则______．【答案】6666【解析】由题意，当时，，化简得，所以数列为常数列，所以，所以，所以，所以.用数字1，2，3，4组成无重复数字的四位数，共个，每个数字在千位出现次，千位总和为；每个数字在百位出现6次，百位总和为；每个数字在十位出现6次，十位总和为；每个数字在个位出现6次，个位总和为；因此总和.所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.数列为等差数列，是其前项和，且，．数列满足：，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．（1）解：因为数列为等差数列，是其前项和，且，．设数列的首项为，公差为，则，化简得，解得，所以数列的通项公式为.因为数列满足：，，所以数列是首项为1公比为的等比数列，所以数列的通项公式为.（2）证明：因为，所以数列是首项为公比为的等比数列，由于数列的前项和为，所以，因为对于恒成立，所以.16.已知函数．（1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；（2）当时，证明存在唯一的极小值点，且．（1）解：对函数求导得f'x=ex所以1-1m=0，解得所以f'x=当时，f'x=ex-当时，f'x=ex-所以在上单调递减，在上单调递增，满足题设.（2）证明：当时，fx=ex令gx=x+2因为，所以，所以在上单调递增，又g-1=e-1-1<0<g0即∃x0∈-1,0且唯一，使得当x∈-1,x0时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，所以存在唯一的极小值点，又f-1=e且fx0=17.2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立．（1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；（2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；（3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．解：（1）记3人中通过第一轮的人数为，由题意可知，记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件，则.（2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为，则由题意可知，则，所以.（3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，则，，，由相互独立可知，，，所以的分布列是0123则的数学期望是．18.如图所示，在四棱锥中，底面，四边形中，，，，．（1）求证：平面平面．（2）设．①直线与平面所成的角为，求线段的长；②线段上是否存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等？说明理由．（1）证明：平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，平面平面.（2）解：①以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），在平面内，作交于点，则在中，，设，则，，由，得，所以，，,，设平面的法向量为，由，，得，取得平面的一个法向量为，又，故由直线与平面所成的角为得，即解得或（舍去，因为），所以；②法一：如图所示，假设线段上存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等．设，则，，．因此由，得，即，又由，得，联立两式，消去并化简，得，由∵方程没有实数根，∴在线段上不存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等．法二：假设在线段上存在一个点到、、、的距离都相等，由，得，从而，即，所以，设，则，，在中，，这与矛盾，所以在线段上不存在一个点，使得点到、、的距离都相等，从而，在线段上不存在一个点，使得点到点、、、的距离都相等．19.已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）若圆可以将椭圆完全覆盖，求的最小值；（3）设点为椭圆上在第一象限的点，直线，直线分别过的左、右焦点，与椭圆分别交于点，，记直线，，的斜率分别为，，，若，求点的坐标．解：（1）因为椭圆的离心率为，短轴长为，所以，所以.又，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2