陕西省榆林市2026届高三下学期一模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省榆林市2026届高三下学期一模数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，得，故．2.在直角坐标系xOy中，点A，B满足，则（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】由题意知是等边三角形，所以，则．3.已知为纯虚数，则（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】，因为是纯虚数，所以且，解得．4.若函数是奇函数，则的值是（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】由题意的定义域为R，由，解得，当时，，则，满足题意，故选：B．5.一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】设圆锥的母线长为，则底面半径为，侧面积，解得，则，故圆锥轴截面的周长为．6.若的展开式中常数项为180，则a的值为（）A.4 B.2 C. D.1【答案】B【解析】的展开式的通项为，令，解得，所以，即，，又，故．7.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以点在轴左侧，如图，作轴，垂足为．由，得，所以，即，则，，所以，即，则，则点的坐标为或，结合，将代入到椭圆方程有，解得，则，则.8.已知数列的首项为0，从第2项起，每一项减其前一项的差为1或2，记的前n项和为，则使一定成立的正整数k的最大值为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】由，得，要求使该式一定成立的的最大值，就要考虑尽量＂严格＂的情况，即要尽可能大，尽可能小，令不等号前面后一项减前一项的差尽可能多的为2，不等号后面后一项减前一项的差尽可能多的为1．当时，若前6项为0，2，4，6，8，10，则后4项为11，12，13，14，此时前6项之和为30，后4项之和为50，符合条件；若前6项为0，2，4，6，8，9，则后4项为10，11，12，13，此时前6项之和为29，后4项之和为46，符合条件．因此，可以使一定成立．当时，若前7项为0，2，4，6，8，10，11，则后3项为12，13，14，此时前7项之和为41，后3项之和为39，不符合条件．因此，不能使一定成立．综上，满足条件的的最大值为6．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的最小正周期为，则下列说法中正确的有（）A.B.直线是曲线的对称轴C.在上单调递增D.在上的值域为【答案】BCD【解析】对于A，因为，所以的最小正周期，解得，所以，故A错误；对于B，当时，，即在处取得最大值，所以直线是曲线的对称轴，故B正确；对于C，当时，，结合正弦函数的单调性，可知是的单调递增区间，故C正确；对于D，当时，，因为函数在上的值域为，所以在上的值域为，故D正确．10.某摄影比赛组委会为防止AI作品弄虚作假，请技术专家来检测AI作品，专家的漏判率（将AI作品判定为正常摄影作品的概率）为10%，误判率（将正常摄影作品判定为AI作品的概率）为10%，假设本次比赛中每幅作品实际为AI作品的概率为5%，且每幅作品相互独立，则下列说法正确的是（）A.专家随机抽取两幅作品，这两幅作品实际都是AI作品的概率为0.0025B.专家随机抽取一幅作品，该作品的判定结果与实际情况不一致的概率为0.2C.专家随机抽取一幅作品，该作品被判定为AI作品的概率为0.15D.若一幅作品被专家判定为AI作品，则该作品实际也是AI作品的概率为【答案】AD【解析】设事件：作品实际为AI作品，则事件：作品实际为正常作品；事件：作品被专家判定为AI作品，则事件：作品被专家判定为正常作品．由已知得，，．对于A，因为每幅作品实际为AI作品的概率为0.05，所以两幅作品实际都是AI作品的概率为，故A正确；对于B，根据全概率公式，判定结果与实际情况不一致的概率为，，故B错误；对于C，根据全概率公式，一幅作品被判定为AI作品的概率为，故C错误；对于D，，故D正确．11.已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（）A.B.是奇函数C.是的必要不充分条件D.的零点个数为3【答案】ABD【解析】对于A，令，得，所以，再令，，得，所以，故A正确；对于B，首先定义域关于原点对称，其次令，得，即，所以是奇函数，故B正确；对于C，令，得，令，得，所以，由，得，解得或，即只是解集的一部分，则是的充分不必要条件，故C错误；对于D，设，不难验证，所以，所以，将代入，可得，所以，的零点为0，，2，故D正确．三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的最大值为_______．【答案】【解析】，其中，故的最大值为．13.已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________．【答案】8【解析】如图，设正四棱台的高为，上底面的面积为，因为，所以下底面的面积为，所以正四棱台的体积，解得，所以三棱锥的体积．14.已知P为抛物线上任意一点，，，若存在实数k，点满足，则m的最大值为________．【答案】【解析】如图．设，则有，则，．因为，为单位向量，向量的方向与的内角平分线相同，由于在轴上，故为内角平分线与轴的交点，由角平分线定理，可得，其中，，因为在线段上，则有，设，当且仅当时，等号成立．因为，所以，则随单调递增，所以当取最大值时，也取最大值，故的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某市文旅部门在电商平台推广当地的某种特产，并设置了该特产的客服热线，每月统计一次消费者投诉次数，得到下表所示的数据.月份序号x12345投诉次数y120100807055（1）若关于的经验回归方程为，求；（2）从表中5个月份中任选3个，以表示所选月份中投诉次数小于100的月份个数，求的分布列与数学期望.解：（1）由题可知，因为回归直线过点，所以，则．（2）由题可知，投诉次数小于100的月份有3个，则X的所有可能取值为1，2，3，，，．故的分布列为123所以．16.已知数列的前n项和，等比数列满足，．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和．解：（1）当时，，当时，，也满足，所以．因为，所以的公比，所以．（2）由（1）可知，所以①，②，两式相减，得，所以．17.如图，直四棱柱内接于圆柱，且底面为矩形，B是圆柱底面圆O的圆周上一动点，AC是圆O的直径，且，E是AB的中点，Q是的中点．（1）证明：平面；（2）设，求平面与平面ABC的夹角的正弦值.（用表示）（1）证明：如图，取的中点，连接，则，且．因为底面为矩形，所以，，且，所以，且，则四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）解：以为坐标原点，直线，分别为轴，过点且在底面内与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．设，则，，，所以，．设平面的法向量为，则，令，得.易知平面的一个法向量为．设平面与平面的夹角为，则．所以，即平面与平面的夹角的正弦值为．18.已知双曲线的右焦点为F，左顶点为，离心率为2，过点F且斜率存在的直线l与E的右支交于P，Q两点（点P在第一象限），M是PQ的中点，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）证明：；（3）过点F且与l垂直的直线m交直线OM于点N，证明：的面积大于．（1）解：因为左顶点为，所以．因为离心率，所以半焦距，则．所以的方程为．（2）证明：设点的坐标为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，要证，即证，由题意得，即证，即证．因为，所以，因为点在上，所以，所以，得证，综上，可得．（3）证明：设的方程为，，，联立方程得，整理得，所以，，所以，设，则，，直线的方程为．因为，所以的方程为，由可得即，则有，代入，则有，所以，所以，设，则，设，令，则，，令，则，当时，，单调递减，所以，故，所以，即的面积大于．19.已知函数，.（1）若，证明：.（2）若曲线与关于直线对称，关于x的方程恰有三个不等实根，，，其中.（ⅰ）求a的取值范围；（ii）证明：．附：若，则当时，．（1）证明：设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当时，，所以，即．（2）（ⅰ）解：因为曲线与关于直线对称，所以，则．令，则，当时，，在上单调递增，不存在三个不等实根．当时，令，其判别式，若，即，则恒