29.1.2 过三点的圆 第2课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章

圆29.1圆的有关概念29.1.2过三点的圆（第2课时）旧知复习回顾（1）确定圆的条件是什么？（2）三角形的外接圆有什么性质？1.确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆.2.外接圆的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径；新知引入探究 我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆。那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？ABC大部分学生凭直觉认为"不能"，但说不清理由。这个问题从正面直接证明比较困难，我们能不能换一种思路. 先假设"能"，看看会推出什么结果？这就是我们今天要学习的一种新的证明方法——反证法。导入新课还记得小学学过的这篇课文吗？

王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？矛盾推论导入新课王戎是怎么判断李子是苦的？他没有直接尝，而是用了怎样的推理？王戎的推理方法假设:李子是甜的.树在“道”边，如果李子是甜的，那么早就被人摘光了，树上不会有这么多李子但树上结满了李子，这样“树在道边而多子”

与“早被人摘光”相矛盾结论：所以假设不成立，李为苦李.导入新课王戎是怎么判断李子是苦的？他没有直接尝，而是用了怎样的推理？

这种“先假设结论不成立，通过推理推出矛盾，从而证明结论成立”的方法，叫做反证法.

今天我们就要学习这种方法，并用它来证明上一节课的一个重要结论.树在道边而多子，此必苦李.反

证

法新知探究探究点1过共线三点能否作圆议一议如图，在直线上取三点A、B、C，过这三点为什么作不出来圆？（1）圆心如何确定？ABCll1l2∟过A、B的圆心在AB的垂直平分线l₁上；过B、C的圆心在BC的垂直平分线l₂上；∵A、B、C在同一直线l上，∵l₁⊥AB，l₂⊥BC∴AB和BC在同一直线l上∴l₁∥l₂（垂直于同一条直线的两直线平行）∵l₁∥l₂∴l₁与l2没有交点∴无法作出一个圆，使得这个圆同时过同一条直线上的三点A、B、C（2）l₁和l₂是什么关系？∴l₁⊥l，l₂⊥l∴找不到同时满足过点A、B、C的圆的圆心（3）l₁和l₂的位置关系对作图由什么影响？新知探究探究点1过共线三点能否作圆议一议请参考王戎王戎的推理方法说明：过同一条直线上的三点不能作圆已知：A、B、C是直线l上的三个点.求证：经过A、B、C三点不能作圆.问题分析第1步——假设，假设结论不成立，结论的反面成立假设经过A、B、C三点可以作圆，设圆心为O。ABCll1l2∟O第2步——推理，在假设成立条件下结合已知条件进行推理∵A、B、C三点在⊙O上∴OA=OB，OB=OC（

圆心到圆上各点的距离相等）。∴点O在线段AB的垂直平分线l₁上且点O在线段BC的垂直平分线l2上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），即l₁

与l2交于点O新知探究探究点1过共线三点能否作圆议一议请参考王戎王戎的推理方法说明：过同一条直线上的三点不能作圆已知：A、B、C是直线l上的三个点.求证：经过A、B、C三点不能作圆.问题分析ABCll1l2∟O第3步——找矛盾：根据推理找出所得的新结论与已知条件或事实相矛盾由假设推得l₁

与l2交于点O∵l₁⊥l，l₂⊥l∴过O点有两条直线l₁

与l2都垂直与直线l这与几何事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾第4步——下结论：由矛盾推出假设不成立，原结论成立∴经过同一直线上的三个点不能作圆.新知探究探究点1过共线三点能否作圆议一议请参考王戎王戎的推理方法说明：过同一条直线上的三点不能作圆已知：A、B、C是直线l上的三个点.求证：经过A、B、C三点不能作圆.规范证明ABCll1l2∟O∴

经过同一直线上的三个点不能作圆.证明：假设经过A、B、C三点可以作圆，设其圆心为O.∵A、B、C三点在在⊙O上∴OA=OB=OC（

圆心到圆上各点的距离相等）∴

点O在线段AB的垂直平分线上；点O在线段BC的垂直平分线上.∴点O是线段AB的垂直平分线l₁上与线段BC的垂直平分线l2的交点.∵l₁⊥l，l₂⊥l∴过O点有两条直线l₁

与l2都垂直与直线l

这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾∴

假设不成立新知探究探究点1过共线三点能否作圆（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定。（2）经过一个已知点能作无数个圆。（3）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这无数个圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。注

意议一议这个结论与上一节课的定理有什么关系？三点定圆定理

不在一条直线上的三个点确定一个圆.隐含了“共线三个点不能作圆”这一反面情况新知探究探究点2反证法的概念与步骤议一议证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明有什么不同？►然后由矛盾断定所作假设不正确，是错误的,从而得到原命题成立.即所求证的命题正确.►在证明一个命题时先假设命题不成立，即先提出与结论相反的假设,不是直接去证明它不是直接去证明命题的结论►从假设出发,经过推理，再得出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果反证法假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆新知探究探究2：反证法的概念与一般步骤概念归纳反证法的定义

先提出与命题结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。 这种方法叫作反证法。（2）当原命题结论的反面不止一种情况时，必须把所有情况一一否定，才能得出原命题成立。（1）当一个命题从正面不容易证明时，常常采用反证法；适用情况常见结论词的否定形式：新知探究探究2：反证法的概念与一般步骤"是"的否定是"不是"；"都是"的否定是"不都是"（注意：不是"都不是"）；"大（小）于"的否定是"不大（小）于"；"能"的否定是"不能"；"相等"的否定是"不相等"；"至少有一个"的否定是"一个也没有"；"至多有一个"的否定是"至少有两个".新知巩固否定形式

写出下列结论的否定形式：

（2）两条直线相交，至多有一个交点；

（2）两条直线相交，至少有两个交点；

新知探究探究3：反证法的应用探究 在某些情形下，反证法是很有效的证明方法。例如，对于平行线的性质"两直线平行，同位角相等"，由"两直线平行"直接推导"同位角相等"比较困难，可以采用反证法。已知：AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点O。求证：∠1＝∠2证明：假设∠1≠∠2过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠2根据"同位角相等，两直线平行"，可得A′B′∥CD这样，过点O就有两条直线AB、A′B′都平行于CD，这与基本事实"过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行"矛盾这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1＝∠2（1）与基本事实矛盾（如"过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"）；反证法中的矛盾通常有以下几种类型方法总结（2）与定理矛盾（如"同位角相等，两直线平行"）；（3）与定理矛盾（如“同位角相等，两直线平行”）；新知探究探究3：反证法的应用（4）自相矛盾（推导过程中得出两个互相矛盾的结论）。【分析】要说明一个命题是假命题，只需找到使命题不成立的反例即可.巩固训练1

举反例

巩固训练1

举反例变式题

故选：C．巩固训练1

举反例变式题2.对于命题“三角形的外心在三角形内”，以下能用来说明这是一个假命题的反例可以是（

）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．直角三角形解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，不同类型三角形外心的位置规律为：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心为斜边中点，在三角形的边上，钝角三角形的外心在三角形外部，本题选项中只有直角三角形的外心不在三角形内部，可以作为说明原命题是假命题的反例，因此D符合题意．巩固训练2

反证法证明中的假设【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设.

巩固训练2

反证法证明中的假设

解：∵用反证法证明命题，需要先假设结论的反面成立．

“至少有一个不大于”的否定为“全部都大于”，又∵直角三角形有且仅有两个锐角，

变式题巩固训练2

反证法证明中的假设

解