29.1.2 过三点的圆 第1课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.1圆的有关概念29.1.2过三点的圆第1课时

确定圆的条件第二十九章

圆

人教版（新教材）·九年级上册线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合知识回顾（1）圆的静态定义是什么？（2）垂直平分线可以看成怎样的点的集合？到定点距离等于定长的所有点组成的图形O半

径

圆心构成圆的两个要素ABPMNPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上导入新课这是某考古队发现一块残缺的圆形古镜边缘碎片，只有一段圆弧（如图）.工匠师傅想要复原这面古镜的完整形状，该怎样修复呢?圆弧上的点与圆心由怎样的位置关系？要复原一个圆，最关键的是确定什么？圆心和半径圆上的点到圆心距离相等，都等于半径用圆弧上几个点能确定一个圆?新知探究探究点1过一点作圆活动1（1）在纸上取一点A，过点A画圆，用圆规试一试，经过点A，你能画多少个圆？O1O2O3无数个，圆心为点

A以外任意一点，半径为这点与点

A的距离（2）这些圆的圆心有什么规律？圆心可以是平面内任意一点，只要用这点到点A的距离为半径即能画圆新知探究探究点2过两点作圆活动2在纸上再取一个点B，经过点A和点B画圆，你能画多少个圆？用圆规试一试.ABOO1O2O3（1）这些圆中，点A、点B与各圆的圆心的距离有什么关系？A、B与圆心的距离相等，即

各圆圆心到A和B的距离相等(2)你能用尺规找出几个这样的圆心吗？圆心到A和B的距离相等，即圆心在线段AB的垂直平分线上lO4新知探究探究点2过两点作圆活动2在纸上再取一个点B，经过点A和点B画圆，你能画多少个圆？用圆规试一试.ABOO1O2O3（3）描述你画的圆符合什么件？在线段AB垂直平分线上任取一点作为圆心，到A（或B）的距离为半径画圆即可l（4）这样的圆能做多少个？线段AB垂直平分线上有无数个点，所以这样的圆可以画无数个无数个，它们的圆心在线段

AB

的垂直平分线上.新知探究探究点3过不在同一直线上的三点作圆BAC

活动3在纸上取三个不在同一直线上的点A、B、C，经过这三点，你能画多少个圆？（1）过A、B两点的圆的圆心在哪里？问题分析（2）过B、C两点的圆的圆心在哪里？

（3）同时满足“过A、B、C三点”的圆的圆心，应该在哪？如果l₁和l₂的交于点O，“过A、B、C三点”的圆的圆心应该在l₁和l₂的交点O处

O新知探究探究点3过不在同一直线上的三点作圆BAC活动3在纸上取三个不在同一直线上的点A、B、C，经过这三点，你能画多少个圆？（4）这个交点O到A、B、C三点的距离有什么关系？问题分析OA=OB=OC，因为O在AB的垂直平分线上，所以OA=OB；O在BC的垂直平分线上，所以OB=OC；因此OA=OB=OC（5）经过点A、B、C这三点的圆能确定吗？以线段AB、BC垂直平分线的交点O为圆心，OA（或

OB，OC）为半径画圆

O在纸上取三个不在同一直线上的点A、B、C，经过这三点，你能画多少个圆？新知探究探究点3过不在同一直线上的三点作圆BAC作法：（1）连结

AB，BC.

EDFGO（5）以

O

为圆心，以

OA（或

OB，OC）的长为半径作圆.⊙O

就是所要求作的圆.l₁l₂活动3规范画图在纸上取三个不在同一直线上的点A、B、C，经过这三点，你能画多少个圆？新知探究探究点3过不在同一直线上的三点作圆BACOl₁l₂议一议因为圆心既要到A、B距离相等，又要到B、C距离相等，同时满足这两个条件的点就是两条线段的垂直平分线的交点O.（1）为什么圆心必须是l₁和l₂的交点？一定，因为OA=OB=OC（2）以O为圆心，OA为半径画圆，这个圆是否一定经过A、B、C三点？这样的圆只有1个，因为两条直线相交有且只有一个交点，即两垂直平分线的交点只有一个（3）这样的圆有几个？唯一吗？为什么？新知探究探究点3过不在同一直线上的三点作圆归一归不在同一直线上的三个点确定一个圆.BACDOl₁l₂1.圆的确定存在性：总能找到两条垂直平分线的交点O，以O为圆心到任意一点的距离为半径画圆，该圆经过三个点.唯一性：两条垂直平分线的交点唯一，因此这样的圆只有一个.“确定”=“存在且唯一”.新知探究探究点3过不在同一直线上的三点作圆归一归2.三角形的外接圆与圆的内接三角形（1）三角形的外接圆：

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆（2）三角形的外心外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.BACO这个三角形叫作圆的内接三角形.一个三角形有一个外接圆而一个圆有无数个内接三角形，过圆上任意三点都能画一个三角形新知探究探究点3过不在同一直线上的三点作圆议一议BACOOBAC钝角三角形的外心位于三角形外.BACO分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说明与它们外心的位置情况锐角三角形的外心位于三角形内.直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.典例分析

【分析】

典例分析

（1）解：如图，O∟

新知巩固1.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心?CDAB答：因为A，B两点在圆上，所以圆心与A，B两点的距离相等，所以圆心在CD所在的直线上.因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径，它们的交点就是圆心，CDABCDABO新知巩固2.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长。ACBO∟MN∟EFG解：如图所示（1）作BC的垂直平分线EF交BC于G点，（2）作AB的垂直平分线MN交EF于O点,（3）连结BO（4）以O点为圆心，OB场为半径作圆∴⊙O为△ABC的外接圆

拓展提升

课堂小结探究路径：

过一点→过两点→过三点，

从“无数个”到“唯一”的递进变化.核心定理：

不在同一直线上的三个点确定一个圆（存在性+唯一性）.重要结论：共线三点不能确定一个圆.作图思路：找圆心→作两条垂直平分线→交点为圆心.知识与技能课堂小结＊漏条件：

切记“不在同一直线上”的前提，共线三点不能作圆.＊误判共线：

在具体题目中，要善于通过角度、坐标等条件判断三点是否共线.＊圆心位置：

过三点的圆的圆心是两条垂直平分线的交点，不是角平分线或其他线的交点.易错点提醒课后练习5.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证:E，F，G，H四个点在以点O为圆心的同一个圆上.DOABCEFGH证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O∴OA=OB=OC=OD∵点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点∴OE=OF=OG=OH∴E，F，G，H四个点在以点O为圆心的同一个圆上课后练习6.张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃镜，需要确定原玻璃镜的半径.工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出△ABC，你能找到这块圆形玻璃镜的半径吗?作图说明.作法：1.分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O；点O就是原圆形玻璃镜的圆心；2.连接OA（或OB、OC），

线段OA的长度就是原玻璃镜的半径。∟MN∟E