高考数学一轮复习第七章立体几何初步、空间向量与立体几何第43节利用空间向量研究直线、平面的位置关系课件

第43节利用空间向量研究直线、平面的位置关系课标要求考题分析1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系.3.能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理.年份Ⅰ卷(一卷)Ⅱ卷(二卷)2023年−−2024年−−2025年−−主干梳理•基础落实

【知识梳理】1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l____________,则称此向量a为直线l的方向向量.注:①一条直线l有_____多个方向向量(非零向量),这些方向向量之间互相平行.②直线l的方向向量也是所有与l_____的直线的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫作平面α的法向量.平行或重合无穷平行[注意点](1)直线的方向向量不唯一,一般取直线上两点构成其一个方向向量.(2)平面的法向量不唯一,所以可以用赋值法求出平面的一个法向量.2.

空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔∃λ∈R,使得n=λm平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔∃λ∈R,使得n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=0[注意点]利用法向量证明线面平行时,直线的方向向量与平面的法向量垂直是线面平行的必要条件,应注明直线在平面外.【常用结论】1.若v是直线的方向向量,则λv(λ≠0)也是直线的方向向量.2.若向量n是平面的法向量,则μn(μ≠0)也是平面的法向量.

【知能自测】1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的.(

)(2)若a∥b,则a所在的直线与b所在的直线平行.(

)(3)若直线a的方向向量和平面α

的法向量平行,则a∥α

.(

)(4)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.(

)类型回源教材澄清盲点结论应用题号21,43×××√

√3.两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,−1),v2=(−2,0,2),则l1与l2的位置关系是________.

【解析】因为v2=−2v1,所以v1∥v2.又l1与l2不重合,所以l1∥l2.平行

AB∥α

或AB⊂α考点探究•核心突破考点一

利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,因为四边形ABCD为矩形,所以AB⊥AD,所以AB,AD,AP两两垂直,所以以A为原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,

【方法总结】1.证明线面平行的常用方法(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面;(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.2.证明面面平行常用的方法(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面;(2)证明两个平面的法向量平行;(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.

【证明】如图,以点A1为原点,分别以A1B1,A1D1,A1A所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

考点二

利用空间向量证明垂直问题【例2】(一题多法)如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)AE⊥CD;【证明】以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

【方法总结】利用空间向量证明线线、线面、面面垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直(1)证明两个平面的法向量垂直;(2)将面面垂直的判定定理用向量表示【对点训练】如图,在三棱锥P−ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.

考点三

与平行、垂直有关的存在性问题【例3】如图,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,M为线段BD1上的动点(含端点).(1)判断是否存在点M,使得CM⊥平面A1DB;【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,C(0,0,0),B(0,2,0),A(2,2,0),D(2,0,0),

[变式探究]本例条件“M为线段BD1上的动点(含端点)”改为“M是棱DD1上的动点(不含端点)”,其他条件不变,试判断是否存在点M,满足平面MAC1⊥平面MBB1.【解析】设正方体的棱长为2,以点D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,

【方法总结】“是否存在”型问题的两种探索方式(1)根据条件作出判断,再进一步论证.(2)利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”.若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.【对点训练】如图,等边三角形ABC所在平面与直角梯形ABDE所在的平面垂直,BD∥AE,BD=2AE,AE⊥AB.(1)若F为CD的中点,求证:EF⊥平面BCD.【解析】(1)设ED的中点为H,AB的中点为O,连接OH,OC,由题意知OH∥AE.因为平面ABDE⊥平面ABC,AE⊥AB,AE⊂平