高考数学一轮复习第七章立体几何初步、空间向量与立体几何第44节第1课时线线角与线面角课件

第44节空间角与距离第1课时线线角与线面角课标要求考题分析1.能用向量方法解决直线与直线的夹角、直线与平面的夹角问题.2.体会向量法在研究空间角问题中的应用.年份Ⅰ卷(一卷)Ⅱ卷(二卷)2023年−−2024年−T72025年T17−主干梳理•基础落实

【知识梳理】1.异面直线所成角设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则:[注意点]异面直线方向向量夹角的余弦值可能为负值,异面直线所成角的余弦值一定为非负值.项目a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围___________求法___________(0,π)

|cos<u,n>|

[注意点]不平行于平面的直线与平面所成的角为锐角或直角,其正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值.

【知能自测】1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(

)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(

)(3)若直线的方向向量为u,平面的法向量为n,则线面角θ满足sinθ=cos<u,n>.(

)类型回源教材澄清盲点题号2,41,3×××

√

3.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于158°,则直线l与平面α所成的角为__________.

【解析】设直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos158°|=sin68°.又因为0°≤θ≤90°,所以θ=68°.68°

考点探究•核心突破

√【解析】选A.法一:连接A1C1,取A1C1的中点O,连接PO,DO,如图所示,O,P分别是A1C1,BC1的中点,PO∥A1B,

[变式探究]本例的正方体中,若M,N分别是BD和AD的中点,求直线B1M与直线D1N所成角的余弦值.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

【方法总结】利用空间向量求两异面直线所成角的步骤(1)建系:建立适当的空间直角坐标系.(2)找方向向量:求出两条异面直线的方向向量的坐标.(3)计算:利用向量的夹角公式求出两异面直线方向向量的夹角的余弦值.(4)结论:结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.

√

考点二

直线与平面所成的角【例2】(一题多法)(2025·北京高考)如图,在四棱锥P−ABCD中,△ACD与△ABC均为等腰直角三角形,∠ADC=90°,∠BAC=90°,E为BC的中点.

【方法总结】利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建系:建立适当的空间直角坐标系.(2)找向量:求直线的方向向量m和平面的法向量n.(3)计算:求线面角θ的正弦值,即sinθ=|cos<m,n>|.(4)结论:结合直线与平面所成角的范围得到所求角.

考点三

知线线角、线面角解决其他问题【例3】(2025·扬州模拟)如图,在四棱锥P−ABCD中,△PAD为等边三角形,M为PA的中点,PD⊥AB,平面PAD⊥平面ABCD.(1)证明:平面CDM⊥平面PAB;【解析】(1)取AD的中点为N,连接PN,因为△PAD为等边三角形,所以PN⊥AD,且平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊂平面PAD,所以PN⊥平面ABCD,又因为AB⊂平面ABCD,所以PN⊥AB,又因为PD⊥AB,PN∩PD=P,PN,PD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD,又因为DM⊂平面PAD,所以AB⊥DM,因为M为AP的中点,所以DM⊥PA,且PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以DM⊥平面PAB,且DM⊂平面CDM,所以平面CDM⊥平面PAB.

【方法总结】已知线线角、线面角解决其他问题的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系.(2)设出参数求出有关向量的坐标.(3)利用夹角公式建立方程,解方程求解.【对点训练】(2025·济南模拟)如图,在三棱台ABC−DEF中,平面ABC⊥平面BCFE,AF⊥DE,∠ABC=∠CBF=45°,AC>AB=1.(1)求三棱台ABC−DEF的高;【解析】(1)作FO⊥BC于点O,因为平面ABC⊥平面BCFE,平面ABC∩平面