高考数学一轮复习第八章直线与圆、圆锥曲线第52节直线与圆锥曲线的位置关系课件

第52节直线与圆锥曲线的位置关系课标要求考题分析1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.年份Ⅰ卷(一卷)Ⅱ卷(二卷)2023年−T102024年T11−2025年T18T16主干梳理•基础落实

【知识梳理】1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有_____、_____、_____;相交有两个交点(特殊情况除外),相切有一个交点,相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0代入圆锥曲线C的方程,消去y(或x),得到一个关于变量x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).相交相切相离①当a≠0时,可考虑一元二次方程的判别式Δ:Δ>0时,直线l与曲线C_____;Δ=0时,直线l与曲线C_____;Δ<0时,直线l与曲线C_____.②当a=0时,即得到一个一次方程,则l与C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的_______平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的_______平行或重合.相交相切相离渐近线对称轴2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=_______________________________________________________,k为直线斜率且k≠0.

3.中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解(1)利用根与系数的关系:将直线方程代入椭圆的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.

类型回源教材澄清盲点结论应用题号2,314√×√√

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3.(选择性必修第一册P136·T3变式)已知直线l:y=x−1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长是(

)A.2 B.4 C.8 D.16√

考点探究•核心突破

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若b2−a2k2≠0,Δ=(−2a2mk)2−4(b2−a2k2)·(−a2m2−a2b2)=4a2b2(m2+b2−a2k2).Δ>0,m2+b2−a2k2>0,直线与双曲线相交于两点;Δ=0,m2+b2−a2k2=0,直线与双曲线相切于一点;Δ<0,m2+b2−a2k2<0,直线与双曲线相离.2.判断直线与椭圆位置关系的方法(1)一般转化为研究直线方程与椭圆方程所组成方程组的解的个数.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆公共点的个数.

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【方法总结】弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系:直线与椭圆或双曲线方程联立,消元,利用根与系数的关系表示弦中点的坐标.(2)点差法:利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程,作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦中点的坐标,可求弦所在直线的斜率.

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【解题分析】信息读取信息联想1联想用待定系数法求方程,求椭圆的离心率2过点P的直线l交椭圆C于另一点B联想作出椭圆和直线,将直线与椭圆方程联立、消元3△ABP的面积为9联想用面积公式表示出S△ABP,进而应用距离公式4求直线l的方程求出斜率k,进而求直线l的方程

【多想少算】路径1利用椭圆的对称性第(2)问,通过观察找到点A1,P1,再通过分析说明直线PA1和PP1即为所求的直线l的方程路径2利用平移直线注意点B到直线AP的距离为定值,则点B的轨迹应该是与直线AP平行的直线.可直接设出这条直线的方程,进而求出点B的坐标,再求出直线l的方程

因为点A与点A1,点P与点P1分别关于椭圆的对称中心O对称,所以四边形APA1P1为平行四边形.所以A1P1∥AP.所以点B即为直线A1P1与椭圆的交点.易知直线A1P1与椭圆至多有两个交点,所以点A1,P1即为所求的点B.所以直线PA1和PP1即为所求的直线l,直线l的方程为3x−2y−6=0或x−2y=0.

由于Δ=272−4×2×117=−207<0,此时该直线与椭圆无交点.综上所述,直线l的方程为3x−2y−6=0或x−2y=0.【解题反思】1.直线与椭圆的位置关系问题的解题方法求解的基本思想是利用代数方法研究几何问题,借助方程思想来解读直线与曲线的位置关系,通常利用直曲联立.2.解决本题的得分关键(1)解决本题的过程中需要调用三角形面积公式、点到直线的距离公式等知识对条件进行分析