北师大版高中三年级数学2025-2026上学期期末卷

北师大版高中三年级数学2025-2026上学期期末卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

北师大版高中三年级数学2025-2026上学期期末卷

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

2.若复数z=1+i满足z^2=a+bi，则a的值为

A.-1

B.1

C.-2

D.2

3.抛掷两个均匀的六面骰子，则两个骰子点数之和为7的概率是

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

4.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(-1,2)，则b的值为

A.-2

B.2

C.-4

D.4

5.不等式|x|+|y|≤1表示的平面区域面积是

A.π

B.2π

C.4π

D.8π

6.设集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若A∩B={1}，则a的值为

A.1

B.-1

C.2

D.-2

7.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a与向量b的夹角余弦值是

A.-1/5

B.1/5

C.-4/5

D.4/5

8.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=2a_{n-1}+1，则a_5的值为

A.31

B.63

C.127

D.255

9.在等比数列{b_n}中，b_1=2，b_4=32，则公比q的值为

A.2

B.-2

C.4

D.-4

10.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则圆心到直线3x-4y-1=0的距离是

A.2

B.3

C.4

D.5

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.函数g(x)=log_2(x+1)的图像关于y轴对称的函数表达式为

2.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行，则a的值为

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且边BC=6，则边AC的长度为

4.已知椭圆C的方程为x^2/9+y^2/4=1，则椭圆C的焦点到准线的距离是

5.函数h(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值是

6.设向量c=(2,k)，若向量a=(1,2)与向量c垂直，则k的值为

7.已知抛物线y^2=8x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，且PF=4，则点P到准线l的距离是

8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosC的值为

9.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+n，则c_5的值为

10.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值是

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是

A.y=2^x

B.y=-x^2

C.y=log_3(x)

D.y=sin(x)

2.下列命题中，正确的是

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a>b，则1/a<1/b

C.若sinα=sinβ，则α=β

D.若cosα=cosβ，则α=β+2kπ，k∈Z

3.下列不等式成立的是

A.|x+1|>|x-1|

B.x^2+1>2x

C.1/x>x

D.e^x>x^2

4.下列函数中，是奇函数的是

A.y=x^3

B.y=x^2+1

C.y=sin(x)

D.y=|x|

5.下列数列中，是等差数列的是

A.a_n=2n+1

B.a_n=3^n

C.a_n=n^2

D.a_n=5n-2

6.下列直线中，与直线x-2y+3=0垂直的是

A.2x+y-1=0

B.x+2y-3=0

C.y=2x-1

D.y=-1/2x+1

7.下列曲线中，是椭圆的是

A.x^2/4+y^2/9=1

B.x^2-y^2=1

C.x^2/9+y^2/4=1

D.y^2=4x

8.下列关于抛物线的说法中，正确的是

A.抛物线的焦点到准线的距离等于其准线到顶点的距离

B.抛物线的对称轴必过其焦点

C.抛物线的方程一定可以写成y^2=2px的形式

D.抛物线的图像是一条直线

9.下列关于数列的说法中，正确的是

A.等差数列的通项公式可以写成a_n=a_1+(n-1)d

B.等比数列的通项公式可以写成a_n=a_1q^{n-1}

C.数列的前n项和S_n可以表示为a_n的函数

D.数列的极限存在当且仅当其通项公式存在

10.下列关于函数的说法中，正确的是

A.函数的图像必过原点

B.函数的值域必是其定义域的子集

C.函数的导数必存在

D.函数的积分必存在

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期是π

2.复数i^4=1

3.抛掷一个均匀的六面骰子，则出现偶数的概率是1/2

4.函数f(x)=(x-1)^2的图像开口向下

5.不等式|x|+|y|=1表示的平面区域是一条线段

6.集合A={x|x^2-4x+3=0}的元素个数为3

7.向量a=(3,0)与向量b=(0,4)的夹角余弦值是0

8.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+2，则a_4=7

9.在等比数列{b_n}中，b_1=1，b_3=8，则公比q的值为2

10.圆C的方程为(x+1)^2+(y-2)^2=4，则圆心到直线x-y-1=0的距离小于2

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^2-4x+3的图像顶点坐标

2.解不等式|x-1|>2

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=2，a_n=S_n-S_{n-1}+1，求a_3的值

4.求过点(1,2)且与直线3x-4y+5=0垂直的直线方程

5.求椭圆x^2/16+y^2/9=1的焦点坐标

6.求抛物线y^2=8x的准线方程

7.已知△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=6，求边BC的长度

8.求函数f(x)=log_2(x+1)在x=1处的导数

9.已知向量a=(1,3)，向量b=(2,-1)，求向量a与向量b的向量积

10.证明：在等差数列{a_n}中，S_n是关于n的二次函数

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以化简为√2sin(x+π/4)，其最小正周期为2π/1=2π

2.B解析：z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i，所以a=2

3.A解析：两个骰子点数之和为7的情况有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6种，概率为6/36=1/6

4.C解析：函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，说明a>0，且顶点坐标为(-1,2)，即x=-b/2a=-1，所以b=2a，又因为顶点在抛物线上，所以2^2+b*(-1)+c=2，即4-b+c=2，所以c=b-2，代入b=2a得c=2a-2，所以b=2a=4

5.B解析：不等式|x|+|y|≤1表示的平面区域是一个菱形，其对角线长度分别为2和2√2，所以面积为(1/2)*2*2√2=2√2

6.C解析：集合A={x|x^2-3x+2=0}={1,2}，B={x|ax=1}，若A∩B={1}，则1∈B且2∉B，所以a=1/1=1且2a≠1，即a≠1/2，所以a=2

7.B解析：向量a与向量b的夹角余弦值为(a·b)/(|a||b|)=(1*3+2*(-4))/(√(1^2+2^2)√(3^2+(-4)^2))=(3-8)/(√5*5)=-5/√5*5=-1/5

8.C解析：数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n-S_{n-1}+1，所以a_2=S_2-S_1+1=a_1+a_2-a_1+1=a_2+1，所以a_2=-1，同理a_3=S_3-S_2+1=a_2+a_3-a_2+1=a_3+1，所以a_3=-1，a_4=S_4-S_3+1=a_3+a_4-a_3+1=a_4+1，所以a_4=-1，a_5=S_5-S_4+1=a_4+a_5-a_4+1=a_5+1，所以a_5=-1

9.A解析：在等比数列{b_n}中，b_1=2，b_4=32，所以q^3=b_4/b_1=32/2=16，所以q=2

10.A解析：圆C的方程为(x+1)^2+(y-2)^2=9，圆心为(-1,2)，半径为3，直线3x-4y-1=0的距离d=|3*(-1)-4*2-1|/√(3^2+(-4)^2)=|-3-8-1|/5=12/5=2.4，所以圆心到直线的距离小于半径3，所以圆与直线相交

二、填空题答案及解析

1.y=log_2(-x)解析：函数g(x)=log_2(x+1)的图像关于y轴对称的函数为y=g(-x)=log_2(-x)

2.-2解析：直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行，所以斜率相等，即-a/2=-1/(a+1)，解得a=-2

3.2√3解析：在△ABC中，角A=60°，角B=45°，所以角C=180°-60°-45°=75°，由正弦定理得AC/sinB=BC/sinA，所以AC=BC*sinB/sinA=6*sin45°/sin60°=6*(√2/2)/(√3/2)=6√2/√3=2√6

4.2√5解析：椭圆C的方程为x^2/9+y^2/4=1，所以a^2=9，b^2=4，所以c^2=a^2-b^2=9-4=5，所以c=√5，焦点到准线的距离为a^2/c=9/√5=9√5/5=2√5

5.5解析：函数h(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的驻点为x=1，所以h(1)=1^3-3*1^2+2=0，h(-2)=(-2)^3-3*(-2)^2+2=-8-12+2=-18，h(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2，所以最大值为max{0,-18,2}=2

6.-4解析：向量a=(1,2)与向量c=(2,k)垂直，所以a·c=0，即1*2+2*k=0，解得k=-1

7.4解析：抛物线y^2=8x的焦点为F(2,0)，准线为l:x=-2，点P在抛物线上，且PF=4，所以点P到准线l的距离为2+2=4

8.3/5解析：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，所以cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(3^2+4^2-5^2)/(2*3*4)=(9+16-25)/(24)=0/24=0

9.15解析：数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+n，所以c_2=c_1+2=1+2=3，c_3=c_2+3=3+3=6，c_4=c_3+4=6+4=10，c_5=c_4+5=10+5=15

10.3解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|，当x∈[-2,1]时，f(x)=(1-x)+(x+2)=3；当x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1>3；所以f(x)的最小值为3

三、多选题答案及解析

1.AC解析：函数y=2^x是指数函数，在其定义域内单调递增；函数y=log_3(x)是对数函数，在其定义域内单调递增；函数y=-x^2是二次函数，开口向下，在其定义域内单调递减；函数y=sin(x)是三角函数，在其定义域内不是单调的

2.BD解析：若a>b，则a^2>b^2不一定成立，例如-2>-3，但(-2)^2<(-3)^2；若a>b，则1/a<1/b成立，例如1>0.5，则1/1<1/0.5；若sinα=sinβ，则α=β+2kπ，k∈Z不一定成立，例如sin(π/6)=sin(5π/6)；若cosα=cosβ，则α=β+2kπ，k∈Z成立

3.AB解析：|x+1|>|x-1|两边平方得(x+1)^2>(x-1)^2，即x^2+2x+1>x^2-2x+1，所以4x>0，即x>0；x^2+1>2x两边平方得x^4+2x^2+1>4x^2，即x^4-2x^2+1>0，所以(x^2-1)^2>0，即x^2≠1，所以x≠±1；1/x>x两边平方得1/x^2>x^2，即1>x^4，所以x^4<1，即-1<x<1且x≠0；e^x>x^2在x=0时等号成立，所以不一定成立

4.AC解析：函数y=x^3是奇函数；函数y=x^2+1是偶函数；函数y=sin(x)是奇函数；函数y=|x|是偶函数

5.AD解析：a_n=2n+1是等差数列，公差为2；a_n=3^n不是等差数列；a_n=n^2不是等差数列；a_n=5n-2是等差数列，公差为5

6.AD解析：直线x-2y+3=0的斜率为1/2，与其垂直的直线斜率为-2，所以AD的斜率为-2；A的斜率为2；B的斜率为-1/2；C的斜率为-1/2

7.AC解析：x^2/4+y^2/9=1是椭圆；x^2-y^2=1是双曲线；x^2/9+y^2/4=1是椭圆；y^2=4x是抛物线

8.ABC解析：抛物线的焦点到准线的距离等于其准线到顶点的距离；抛物线的对称轴必过其焦点；抛物线的方程一定可以写成y^2=2px的形式（若焦点在x轴正半轴）；抛物线的图像是一条开口的曲线，不是直线

9.AB解析：等差数列的通项公式可以写成a_n=a_1+(n-1)d；等比数列的通项公式可以写成a_n=a_1q^{n-1}；数列的前n项和S_n不一定可以表示为a_n的函数；数列的极限存在当且仅当其通项公式存在（错误，通项公式存在不一定极限存在，例如数列a_n=(-1)^n）

10.BD解析：函数的图像不一定过原点，例如y=x+1；函数的值域必是其定义域的子集；函数的导数不一定存在，例如y=|x|；函数的积分不一定存在，例如y=1/x

四、判断题答案及解析

1.正确解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以化简为√2sin(x+π/4)，其最小正周期为2π/1=2π

2.错误解析：复数i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1

3.正确解析：抛掷一个均匀的六面骰子，出现偶数的情况有(2,4,6)，共3种，概率为3/6=1/2

4.错误解析：函数f(x)=(x-1)^2的图像开口向上

5.错误解析：不等式|x|+|y|=1表示的平面区域是一个菱形，面积为2π

6.错误解析：集合A={x|x^2-4x+3=0}={1,3}，元素个数为2

7.正确解析：向量a=(3,0)与向量b=(0,4)的夹角余弦值为(a·b)/(|a||b|)=(3*0+0*4)/(√3^2+√4^2)=0/(3+4)=0

8.错误解析：数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+2，则a_2=1+2=3，a_3=3+2=5，a_4=5+2=7

9.错误解析：在等比数列{b_n}中，b_1=1，b_3=8，所以q^2=b_3/b_1=8/1=8，所以q=2√2

10.错误解析：圆C的方程为(x+1)^2+(y-2)^2=4，圆心为(-1,2)，半径为2，直线x-y-1=0的距离d=|-1-2-1|/√(1^2+(-1)^2)=4/√2=2√2>2，所以圆心到直线的距离大于半径2，所以圆与直线相离

五、问答题答案及解析

1.(2,-1)解析：函数f(x)=x^2-4x+3可以写成f(x)=(x-2)^2-1，所以图像顶点坐标为(2,-1)

2.(-∞,-3)∪(3,+∞)解析：不等式|x-1|>2可以分成两种情况：x-1>2或x-1<-2，解得x>3或x<-1，所以解集为(-∞,-3)∪(3,+∞)

3.6解析：数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=2，a_n=S_n-S_{n-1}+1，所以a_2=S_2-S_1+1=a_1+a_2-a_1+1=a_2+1，所以a_2=-1，同理a_3=S_3-S_2+1=a_2+a_3-a_2+1=a_3+1，所以a_3=-1，所以a_3=-1

4.4x+3y-10=0