2025-2026西南师大版高三数学下期末考试卷

2025-2026西南师大版高三数学下期末考试卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

2025-2026西南师大版高三数学下期末考试卷

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.若复数z=1+i，则|z|^2等于

A.1

B.2

C.3

D.4

3.不等式|3x-2|<5的解集是

A.(-1,3)

B.(-3,1)

C.(-1/3,1)

D.(-3/2,1/2)

4.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“点数为偶数”的概率是

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/6

5.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=2，f(-1)=0，则b的值是

A.1

B.-1

C.2

D.-2

6.直线y=kx+b与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，则k的取值范围是

A.(-2,2)

B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.[-2,2]

D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

7.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+a_{n+1}=2n，则a_5的值是

A.9

B.10

C.11

D.12

8.已知点A(1,2)，点B(3,0)，则向量AB的模长是

A.1

B.2

C.√5

D.√10

9.函数f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.[1,+∞)

10.已知直线l1:ax+by+c=0与直线l2:2x-y+1=0垂直，则a的值是

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若sinα=1/2，α在第二象限，则cosα的值是

2.已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则a_10的值是

3.函数f(x)=e^x-x在(-∞,+∞)上的最大值是

4.不等式组{x|x>1}∩{x|x<3}的解集是

5.已知圆心为(1,1)，半径为2的圆与直线y=kx相交于两点，则k的取值范围是

6.数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_{n+1}=n+1，则a_4的值是

7.已知点A(1,2)，点B(3,0)，则向量AB与x轴正方向的夹角的余弦值是

8.函数f(x)=sin(x)cos(x)的最大值是

9.若复数z=a+bi(a,b∈R)满足|z|=1，则z^2的实部是

10.已知直线l1:ax+by+c=0与直线l2:x-y+1=0平行，则b的值是

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在(0,+∞)上单调递增的有

A.y=2^x

B.y=log_1/2(x)

C.y=-x^2

D.y=x^3

2.下列命题中，正确的有

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若sinα=sinβ，则α=β

C.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在I上无最小值

D.若直线l1与直线l2垂直，则l1的斜率与l2的斜率的乘积为-1

3.下列数列中，是等差数列的有

A.a_n=n^2

B.a_n=2n-1

C.a_n=3^n

D.a_n=5n+1

4.下列函数中，是以π为周期的有

A.y=sin(x)

B.y=cos(2x)

C.y=tan(x)

D.y=sin(x)+cos(x)

5.下列不等式组中，解集为空集的有

A.{x|x>2}∩{x|x<1}

B.{x|x<-1}∪{x|x>1}

C.{x|x>0}∩{x|x<0}

D.{x|x>3}∩{x|x<2}

6.下列命题中，是假命题的有

A.若a>b，则a+c>b+c

B.若a>b，则ac>bc

C.若a^2>b^2，则a>b

D.若a>b，则1/a<1/b

7.下列函数中，在(-∞,+∞)上无零点的有

A.y=x^2-1

B.y=e^x

C.y=sin(x)

D.y=log_2(x)

8.下列命题中，正确的有

A.若直线l1与直线l2平行，则l1的斜率与l2的斜率相等

B.若直线l1与直线l2垂直，则l1的斜率与l2的斜率的乘积为-1

C.若直线l1过原点，且与直线l2垂直，则l1的斜率是l2的斜率的倒数

D.若直线l1与直线l2平行，则l1的截距与l2的截距相等

9.下列数列中，是等比数列的有

A.a_n=2^n

B.a_n=3^n

C.a_n=n^3

D.a_n=5^n

10.下列命题中，正确的有

A.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在I上无最大值

B.若函数f(x)在区间I上单调递减，则f(x)在I上无最小值

C.若函数f(x)在区间I上既有最大值又有最小值，则f(x)在I上连续

D.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上既有最大值又有最小值

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π

2.复数z=1+i的模长是√2

3.不等式|2x-1|>3的解集是(-∞,-1)∪(2,+∞)

4.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“点数为奇数”的概率是1/2

5.若函数f(x)=ax^2+bx+c，且f(1)=f(-1)，则b=0

6.直线y=kx+b与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，则k^2+1=4

7.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+a_{n+1}=2n，则数列是等差数列

8.向量AB=(3,4)，向量AC=(1,2)，则向量BC=向量AB-向量AC

9.函数f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递增，则a>1

10.已知直线l1:ax+by+c=0与直线l2:x-y+1=0垂直，则a=-b

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=sin(x)cos(x)在[0,π]上的最大值和最小值

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求a_5的值

3.求不等式组{x|x>1}∩{x|x<3}的解集

4.求过点A(1,2)和点B(3,0)的直线方程

5.求函数f(x)=e^x-x在(-∞,+∞)上的最大值

6.求圆心为(1,1)，半径为2的圆与直线y=kx相交于两点的k的取值范围

7.求数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_{n+1}=n+1，则a_4的值

8.求向量AB与x轴正方向的夹角的余弦值，已知点A(1,2)，点B(3,0)

9.求复数z=a+bi(a,b∈R)满足|z|=1，则z^2的实部

10.求直线l1:ax+by+c=0与直线l2:x-y+1=0平行的b的值

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B解析：函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是sin(x)的周期π和cos(2x)的周期π/2的最小公倍数2π。

2.B解析：|z|^2=|1+i|^2=1^2+1^2=2。

3.A解析：|3x-2|<5等价于-5<3x-2<5，解得-3<3x<7，即-1<x<7/3，故解集为(-1,7/3)。

4.A解析：骰子点数为偶数的概率为P=3/6=1/2（偶数有2,4,6共3个）。

5.C解析：f(1)=a(1)^2+b(1)+c=a+b+c=2，f(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c=0，两式相减得2b=2，故b=1。

6.C解析：直线y=kx+b与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，则圆心(1,2)到直线kx-y+b=0的距离d=√(k^2+1)=2，故k^2+1=4，即k^2=3，所以k∈[-√3,√3]，即[-√3,√3]。

7.C解析：a_n+a_{n+1}=2n，令n=1，得a_1+a_2=2，令n=2，得a_2+a_3=4，令n=3，得a_3+a_4=6，令n=4，得a_4+a_5=8。依次相减得a_2-a_1=2-1=1，a_3-a_2=4-2=2，a_4-a_3=6-4=2，a_5-a_4=8-6=2。所以a_2=a_1+1=2，a_3=a_2+2=4，a_4=a_3+2=6，a_5=a_4+2=8。

8.D解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AB的模长|AB|=√(2^2+(-2)^2)=√8=2√2。

9.B解析：函数f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递增，则底数a>1。

10.A解析：直线l1:ax+by+c=0与直线l2:x-y+1=0垂直，则a(1)+b(-1)+c=0，即a-b+c=0，故a=b-c。若a=-b，则b-c=-b，即2b=c。所以a=-b，即a=-b。

二、填空题答案及解析

1.-√3/2解析：sinα=1/2，α在第二象限，故cosα=-√(1-sin^2α)=-√(1-(1/2)^2)=-√(1-1/4)=-√3/2。

2.34解析：等差数列{a_n}的首项为a_1=2，公差为d=3，则a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)3=3n-1，故a_10=3(10)-1=30-1=29。

3.1解析：函数f(x)=e^x-x在(-∞,+∞)上的导数f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0，得e^x-1=0，即e^x=1，解得x=0。当x<0时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>0时，f'(x)>0，函数单调递增。故函数在x=0处取得极小值，也是最小值，f(0)=e^0-0=1-0=1。

4.(1,3)解析：不等式组{x|x>1}∩{x|x<3}表示同时满足x>1和x<3的所有实数x，故解集为(1,3)。

5.k>-2/3且k≠1解析：圆心(1,1)到直线y=kx的距离d=|k(1)-1+1|/√(k^2+1)=|k|/√(k^2+1)<2，即k^2<4(k^2+1)，解得k^2<4，即-2<k<2。又因为直线与圆相交，所以k≠1。

6.2解析：a_1=1，a_n+a_{n+1}=n+1，令n=1，得a_1+a_2=2，即1+a_2=2，故a_2=1。令n=2，得a_2+a_3=3，即1+a_3=3，故a_3=2。令n=3，得a_3+a_4=4，即2+a_4=4，故a_4=2。

7.√2/2解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AB的模长|AB|=√(2^2+(-2)^2)=√8=2√2。向量AB与x轴正方向的夹角θ的余弦值cosθ=|AB_x|/|AB|=2/(2√2)=1/√2=√2/2。

8.1/2解析：函数f(x)=sin(x)cos(x)=(1/2)sin(2x)，sin(2x)的最大值为1，故f(x)的最大值为(1/2)*1=1/2。

9.a^2-b^2解析：|z|=1，即|a+bi|^2=a^2+b^2=1。z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi，其实部为a^2-b^2。

10.-1解析：直线l1:ax+by+c=0与直线l2:x-y+1=0平行，则a(1)+b(-1)+c=0，即a-b+c=0，故a=b-c。所以b=a+c。所以b=-1。

三、多选题答案及解析

1.A,D解析：y=2^x在(0,+∞)上单调递增；y=log_1/2(x)在(0,+∞)上单调递减；y=-x^2在(0,+∞)上单调递减；y=x^3在(0,+∞)上单调递增。故单调递增的有y=2^x和y=x^3。

2.D解析：若a>b，则a^2>b^2不一定成立，例如-1>-2，但(-1)^2=1<4=(-2)^2；若sinα=sinβ，则α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，k∈Z，不一定成立；若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在I上必有最小值，不一定无最小值；若直线l1与直线l2垂直，则l1的斜率k1与l2的斜率k2满足k1k2=-1（斜率存在时），命题正确。

3.B,D解析：a_n=n^2不是等差数列；a_n=2n-1是等差数列，公差为2；a_n=3^n不是等差数列；a_n=5n+1是等差数列，公差为5。故是等差数列的有a_n=2n-1和a_n=5n+1。

4.A,C,D解析：y=sin(x)的周期是2π；y=cos(2x)的周期是π/2；y=tan(x)的周期是π；y=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)的周期是2π。故是以π为周期的有y=cos(2x)，y=tan(x)，y=sin(x)+cos(x)。

5.A,C,D解析：{x|x>2}∩{x|x<1}=∅；{x|x>0}∩{x|x<0}=∅；{x|x>3}∩{x|x<2}=∅。故解集为空集的有{xxx}。

6.B,C解析：若a>b，则a+c>b+c正确；若a>b，则ac>bc不一定成立，例如a=1,b=-1,c=-1，则1>-1，但1*(-1)=-1≤1=(-1)*(-1)；若a^2>b^2，则a>b不一定成立，例如-2>-3，但(-2)^2=4≤9=(-3)^2；若a>b，则1/a<1/b正确（a,b>0时）或不一定成立（a,b<0时），但当a,b均为正时正确。故是假命题的有若a>b，则ac>bc和若a^2>b^2，则a>b。

7.B解析：y=x^2-1在x=±1时取零点；y=e^x在x=-∞时函数值趋近于0但永不取到0，故无零点；y=sin(x)在x=kπ，k∈Z时取零点；y=log_2(x)在x=1时取零点。故无零点的是y=e^x。

8.A,B,C解析：若直线l1与直线l2平行，则l1的斜率k1与l2的斜率k2相等（斜率存在时）；若直线l1与直线l2垂直，则l1的斜率k1与l2的斜率k2的乘积为-1（斜率存在时）；若直线l1过原点，且与直线l2垂直，则l1的斜率是l2的斜率的倒数（l2斜率不为0时）；若直线l1与直线l2平行，则l1的截距与l2的截距不一定相等，例如y=x+1与y=x-1平行，但截距不相等。故正确的有若直线l1与直线l2平行，则l1的斜率与l2的斜率相等和若直线l1与直线l2垂直，则l1的斜率与l2的斜率的乘积为-1和若直线l1过原点，且与直线l2垂直，则l1的斜率是l2的斜率的倒数。

9.A,B,D解析：a_n=2^n是等比数列，公比为2；a_n=3^n是等比数列，公比为3；a_n=n^3不是等比数列；a_n=5^n是等比数列，公比为5。故是等比数列的有a_n=2^n，a_n=3^n，a_n=5^n。

10.B,C解析：若函数f(x)在区间I上单调递减，则f(x)在I上必有最大值，不一定无最大值；若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在I上必有最小值，不一定无最小值；若函数f(x)在区间I上既有最大值又有最小值，则f(x)在I上不一定连续，例如f(x)=x在(0,1)上既无最大值又无最小值；若函数f(x)在区间I上连续，且I为闭区间，则f(x)在I上必有最大值和最小值。但题目中I不一定为闭区间，故不一定成立。故正确的有若函数f(x)在区间I上单调递减，则f(x)在I上无最小值和若函数f(x)在区间I上既有最大值又有最小值，则f(x)在I上连续。

四、判断题答案及解析

1.正确解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，其最小正周期是2π。

2.正确解析：复数z=1+i的模长|z|=√(1^2+1^2)=√2，故|z|^2=(√2)^2=2。

3.正确解析：|2x-1|>3等价于2x-1>3或2x-1<-3，解得x>2或x<-1，故解集为(-∞,-1)∪(2,+∞)。

4.正确解析：抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为偶数的有2,4,6共3个，总共有6个可能结果，故事件“点数为偶数”的概率是3/6=1/2。

5.正确解析：若函数f(x)=ax^2+bx+c，且f(1)=f(-1)，则a(1)^2+b(1)+c=a(-1)^2+b(-1)+c，即a+b+c=a-b+c，解得b=0。

6.正确解析：直线y=kx+b与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，则圆心(1,2)到直线kx-y+b=0的距离d=|k(1)-2+b|/√(k^2+1)=2，即|k-2+b|/√(k^2+1)=2，两边平方得(k-2+b)^2=4(k^2+1)，即k^2-4k+4+2kb+b^2=4k^2+4，整理得3k^2-4k+4-2kb-b^2=0。又因为直线与圆相切，所以判别式Δ=0，即(-4-2b)^2-4*3*(4-2kb-b^2)=0，即16+16b+4b^2-48+24kb+12b^2=0，整理得16b^2+24kb-32+16b=0，即b^2+3/2*kb-2+b=0。两边平方得(k^2+1)=4，即k^2+1=4，故k^2=3，即k^2+1=4。

7.错误解析：a_1=1，a_n+a_{n+1}=n+1，令n=1，得a_1+a_2=2，即1+a_2=2，故a_2=1。令n=2，得a_2+a_3=3，即1+a_3=3，故a_3=2。令n=3，得a_3+a_4=4，即2+a_4=4，故a_4=2。令n=4，得a_4+a_5=5，即2+a_5=5，故a_5=3。观察发现a_n=n-1（当n≥2时），但a_1=1，所以数列不是等差数列。

8.正确解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AC=(1-1,2-2)=(0,0)，向量BC=向量AC-向量AB=(0-2,0-(-2))=(-2,2)=-2(1,-1)。所以向量BC=向量AB-向量AC。

9.正确解析：函数f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递增，则底数a>1。

10.错误解析：已知直线l1:ax+by+c=0与直线l2:x-y+1=0垂直，则a(1)+b(-1)+c=0，即a-b+c=0，故a=b-c。所以a=-b，即a=-b。

五、问答题答案及解析

1.最大值1/2，最小值-1/2解析：函数f(x)=sin(x)cos(x)=(1/2)sin(2x)，sin(2x)的最大值为1，最小值为-1。故f(x)的最大值为(1/2)*1=1/2，最小值为(1/2)*(-1)=-1/2。

2.a_5=15解析：数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-((n-1)^2+(n-1))=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=n^2+n-(n^2-n)=2n。故a_5=2*5=10。

3.解集为(1,3)解析：不等式组{x|x>1}∩{x|x<3}表示同时满足x>1和x<3的所有实数x，故解集为(1,3)。

4.直线方程为y=-x+3解析：过点A(1,2)和点B(3,0)的直线斜率k=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。直线方程为y-y1=k(x-x1)，即y-2=-1(x-1)，即y-2=-x+1，即y