画法几何学 第6章投影变换-第10章立体与立体相交课件

第六章投影变换§6-1概述§6-2换面法基本要求

基本要求（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。6.1概述

当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具备上述的特性。投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的定位和度量问题。a

abb

两点之间距离a

abb

c

c三角形实形a

abb

c

cdd

直线与平面的交点a

b

c

d

abcd

两平面夹角6.2换面法6.2.1换面法的基本概念6.2.2点的投影变换规律6.2.3直线的换面6.2.4平面的换面

换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。6.2.1换面法的基本概念a1

c1

b1

V1X1X1V/H

体系变为V1/H

体系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.新投影体系的建立V1/H

体系称为新投影体系；V/H

体系为旧投影体系。V1称为新投影面；V称为旧投影面；H称为不变投影面。X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：(1)新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。(2)新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个不变投影面。2.新投影面的选择原则V1HV1∥ABC6.2.2点的投影变换规律1.点的一次变换X1V1a1

V/H

V1/H

a1

a

XVHaVHXX1V1a1

X1HV1a

Aa变换V面时点的投影作图V1a1

（1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。2.点的投影变换规律H1X1点在V/H1体系中的投影X1H1Va1a1V/H

体系变为V/H1

体系V/H1

体系称为新投影体系；V/H

体系为旧投影体系。X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。H1称为新投影面；H称为旧投影面；V称为不变投影面。a23.点的两次变换X2H2V12X2a2V/H

V1/H

V1/H2

第一次变换时的旧、不变、新投影新投影不变投影旧投影新轴旧轴值得提醒的是:在多次变换中，必须遵照交替换面的原则。V/H

V1/H

V1/H2

V3/H2

V/H

V/H1

V2/H1

V2/H3

如:V1X16.2.3直线的换面1.将一般位置直线变换为投影面的平行线

a1

b1

a1

b1

X1V1H将一般位置直线变换为V1面的平行线一次换面即可[例题1]

将一般位置直线变换为H1面的平行线X1H1Va1b1

X1H1Va1b12.将投影面平行线变换为投影面的垂直线

b

b1X1a1b1一次换面即可3.将一般位置直线变换为投影面的垂直线V1X1a1

b1

2a2b2需要二次换面X2一般位置直线变换为投影面垂直线的作图X2H2V1a2b2X1HV1a1

b1

[例题2]

求点C到直线AB的距离空间分析c'2作图c1b1a1X2H1V2H1X1Vkk'k1b'2a'2距离k'2c1k1∥

X2[例题3]求两平行直线AB与CD间的距离X2H2V1a

aXVHb

ba2b2X1HV1a1

b1

提示a

aXb

bcdc

d

VHX2H2V1a

aXVHb

ba2b2X1HV1a1

b1

作图cdc

d

c2d2d1

c1

距离2

1

1'12'11222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b'1a'1d'1c'121b

[例题4]

求交叉两直线AB与CD的公垂线ABH2Ⅱ∥H2ⅠⅠⅡABⅡCDⅠH2ABⅡDCⅠ1222c2d21222c2d2a

c

XVHb

bac1.将一般位置平面变换为

投影面的垂直面

cdd

DX1H1a1c1b1d1

d

X1H1Vd

b1a1c1d16.2.4平面的换面一次换面即可k1X1H1Vb1a1c1d1s1[例题5]

求点S到平面ABC的距离距离Nd

dX1VH1k1e1[例题6]已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e

。b1a1c1d1有两解e

e

HACXVc

b

a

B2.将投影面垂直面变换为投影面的平行面V1c1

b1

a1

X1X1V1c1

a1

b1

一次换面即可aba1

c1

b1

X1d

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2

X2V2H13.将一般位置平面变换为投影面的平行面

实形需要二次换面[例题7]

已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。d

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2

X2V2H11515ee

e1e2

有两解本章结束第7章常见曲线曲面的画法347.3单叶双曲回转面7.1螺旋线7.2螺旋面7.4柱状面7.5锥状面7.6双曲抛物面7.1螺旋线35

当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。1.圆柱螺旋线的形成2.螺旋线的画法367.2正螺旋柱状面371.正螺旋柱状面的形成

正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直母线始终垂直于圆柱轴线。2.

正螺旋柱状面的画法（1）画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；（2）作出直母线的两面投影；（3）作出该曲面上各素线的投影。3.

正螺旋柱状面的应用的例子1．正螺旋柱状面的形成38

2.正螺旋柱状面的画法393.正螺旋柱状面应用的例子40螺旋扶手螺旋楼梯7.3单叶双曲回转面411.单叶双曲回转面的形成

单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。2.单叶双曲回转面的画法（1）画出回转轴及直导线的两面投影；（2）作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影：（3）作出若干素线及外视转向线的投影。

2.单叶双曲回转面的画法

427.4柱状面431.柱状面的形成

一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为柱状面2.柱状面的画法（1）画出两条曲导线的两面投影；（2）作出直母线的两面投影：（3）作出该曲面上各素线的投影。1．柱状面的形成44P导平面曲导线曲导线2.柱状面的画法457.5锥状面461.锥状面的形成

一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。2.锥状面的画法（1）画出一直导线和曲导线的两面投影；（2）作出直母线的两面投影：（3）作出该曲面上各素线的投影。1．锥状面的形成47P导平面曲导线直导线2.锥状面的画法487.6双曲抛物面491.双曲抛物面的形成

一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。2.双曲抛物面的画法（1）画出两条直导线的两面投影；（2）作出直母线的两面投影：（3）作出该曲面上各素线的投影。3.双曲抛物面的截交线1.双曲抛物面的形成50P导平面直导线直导线直母线2.双曲抛物面的画法513.双曲抛物面的截交线52本章结束8.2平面立体8.3回转体

第8章立体的投影8.1立体的三面投影

常见的基本立体平面立体曲面立体棱柱棱锥圆柱圆锥圆球圆环

8.1立体的三面投影8.1.1立体的投影8.1.2三面投影与三视图8.1.3三视图之间的对应关系VWH8.1.1立体的投影

立体的投影，实质上是构成该立体的所有表面的投影总和。

用正投影法绘制的物体的投影图称为视图。8.1.2三面投影与三视图(1)视图的概念主视图—立体的正面投影俯视图—立体的水平投影左视图—立体的侧面投影(2）三视图的投影规律三等关系主俯视图长对正主左视图高平齐俯左视图宽相等长高宽宽长对正宽相等高平齐

---无轴投影图8.1.3三视图之间的方位对应关系主视图反映：上、下、左、右俯视图反映：前、后、左、右左视图反映：上、下、前、后上下左右后前上下前后左右上下左右前后8.2平面立体8.2.1

棱柱8.2.2

棱锥平面立体侧表面的交线称为棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥棱锥体平面立体：是由若干个平面图形所围成的几何体，如棱柱体、棱锥体等。

棱柱体

是平面立体各表面投影的集合----由直线段组成的封闭图形。

平面立体的投影8.2.1棱柱62

由两个底面和六个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。1.六棱柱（1）六棱柱的投影视图---无轴投影图64(2)棱柱表面上取点a

a(a

)(b

)bb

点的可见性判别：

若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。c

c

c（1）三棱柱的视图

由两个底面和三个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。2.三棱柱

三棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。其余三个侧棱面都是铅垂面，水平投影积聚，与三角形的边重合。

点的可见性判别：

若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。

由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。

mk

k

km

用相对坐标，量取坐标差的方法在表面取点。m

（2）三棱柱表面的点3.五棱柱的视图8.2.2棱锥1.棱锥的组成

由一个底面和若干侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点——锥顶。s

Basa’cs

bCASb”(c”)a”c’b’

棱锥处于图示位置时,其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。2.棱锥的投影三视图s(c

)s

a

ac

b

b

cs

ba

3.棱锥表面上取点2

2

23(3

)3

ⅡBCASmm

N1ⅠM1

n

n1

8.3.1圆柱8.3.2圆锥8.3.3圆球8.3.4圆环8.3回转体工程中常见的曲面立体,是回转体。

直母线生成的回转曲面称为直线回转面如:圆柱面、圆锥面等。

回转曲面是由母线(直线或曲线)绕定轴线作回转运动生成的。

曲母线生成的回转曲面称为曲线回转面如:圆球面、圆环面等。回转体的表面主要由回转曲面构成。表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体。回转体（面）的形成回转面的术语OO顶圆素线赤道圆喉圆纬圆底圆母线轴线8.3.1圆柱圆柱的形成

圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。1.圆柱体的组成

由圆柱面和上下两底圆组成。

圆柱面是由直母线AA1绕与之平行的轴线旋转而成。2.圆柱的投影

圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的外形轮廓线的投影表示。其上下底圆为水平面,在俯视图上反映实形，在另两个视图上分别积聚成为一直线。（1）分析圆柱轮廓线的投影一（1）分析圆柱轮廓线的投影二（2）圆柱投影对V面可见性的判别前半面可见后半面不可见曲面的可见性的判断轮廓线的投影是判断曲面可见性的依据（3）圆柱投影对W面可见性的判别左半面可见右半面不可见曲面的可见性的判断3.圆柱表面上取点()A(D)Cc”

轮廓线的投影是判断曲面可见性的依据()B利用积聚性先求出水平投影a’c’4.圆柱面上的曲线曲线投影的求法是先求出线段上一系列点的投影；然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。

利用积聚性先求出侧面投影注意求出特殊位置的点（A、C）

----特殊点圆锥的形成8.3.2圆锥圆锥面是由直母线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。1.圆锥体的组成由圆锥面和底圆组成。

S称为锥顶，圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。SAOO12.圆锥的投影

如图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等腰三角形，三角形的底边为圆锥底圆的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。(1)圆锥的投影特点轮廓线的投影底圆的投影(2)圆锥可见性的判别—V面前半面可见后半面不可见曲面的可见性的判断。注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断(3)圆锥可见性的判别—W面左半面可见右半面不可见曲面的可见性的判断。3.圆锥表面上取点辅助素线法辅助圆法Aaa

如何取圆的半径？圆锥表面上特殊位置的取点例：a

a

b

ba

b

4.圆锥面上的曲线

求曲线上一系列点的投影；注意：特殊点然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。

圆球的形成8.3.3圆球1.圆球的形成

球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。2.圆球的投影三个视图均为与圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。（1）圆球的投影特点圆球的轮廓线的投影（2）圆球可见性的判别3.圆球表面上取点采用辅助圆法求圆球面上的点圆的半径？(c

)(b)bb

a

a圆球面上特殊点的求法A为一般点；例：

c

a

(c)B、C为特殊点。4.圆球面上的曲线采用辅助圆法求圆球面上的线注意：特殊点注意：特殊点采用辅助圆法求圆球面上的线4.圆球面上的曲线

一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转而成。8.3.4圆环

点击图片播放动画1.圆环的画法2.圆环的投影特点

主视图是极限位置素线和内、外环分圆的投影；俯视图是上、下环面的投影；左视图与主视图相同。3.圆环投影可见性的判别由前向后看，此部分可见由上向下看，此部分可见圆环面上的辅助圆m1'24.圆环表面上取点m'（n'）12'

采用辅助圆法求圆环面上的点或线本章结束9.1平面与平面立体相交9.2平面与曲面立体相交——求截交线第9章平面与立体相交9.3平面与组合体相交9.1平面与平面立体相交截平面断面断面的边界线是：截平面与立体表面的交线——截交线。一、平面立体的截交线平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。二、平面立体截交线的性质三、平面立体截交线的求法1.棱柱上截交线的求法作图方法:1求棱线与截平面的共有点2连线3根据可见性处理轮廓线1״2״1׳2׳2׳2׳2׳7׳7״5׳6׳5״6״12345673׳4׳3״4״求截交线的实质是求两平面的交线[例题1]求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影[例题2]求立体截割后的投影[例题3]

求立体截割后的投影7"11"8"87111"2"10"5"6"9"4"3"961（3）2（4）105ⅠⅪⅡⅨⅩⅣⅢ1'（2'）8'3'（4'）10'（5'）9'11'（6'）（7'）2．棱锥上截交线的求法[例题4]求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。

s’a’b’c’c”a”b”sPvs”abc[例题4]求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。

s’a’b’c’c”a”b”sPvs”(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点1’、2’、3’为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。1’2’3’(2)根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3)连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。(4)补全棱线的投影。3”具体步骤如下：abc1’2’3’(4’)1”3”4”1243[例题5]求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影yy[例题6]

求立体切割后的投影23541

11

6

6

5

4

3

2

6ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4

（5

）2

（3

）此处做平行直线[例题7]求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影截交线截平面截交线截平面9.2平面与曲面立体相交一、截交线的性质：

截交线的形状取决于曲面立体表面的形状及截平面与曲面立体轴线的相对位置。

截交线都是封闭的平面图形。

截交线是截平面与曲面立体表面的共有线。二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤

⒈空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交

线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，予见未知投影。⒉画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。☆先找特殊点，补充中间点。三、具体的作图步骤四、截交线上的特殊点极限点转向点特征点结合点矩形椭圆圆9.2.1平面与圆柱相交截平面垂直于圆柱轴线，截交线为垂直于轴线的圆截平面平行于圆柱轴线，截交线为平行于轴线的两条直线截平面倾斜于圆柱轴线，截交线为椭圆9.2.1平面与圆柱相交[例1]求圆柱被截切后的侧面投影分析：截平面与圆柱轴线斜交，截交线为椭圆。作图方法:1.求特殊点1’1”12’2”23”4”342.适当求一般点3’4’3.连线4.处理轮廓线作图方法:表面取点法注意:当截平面与圆柱轴线交线交角为45°时，截交线投影为圆。[例2]

求圆柱截交线11'1"5"4"8'8"83254ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ4'5'2'3'2"3"解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。766'7'6"7"[例3]

求圆柱截交线解题步骤1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

；3．求出若干个一般点Ⅳ、Ⅴ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。3453'3"4'5'5'4'1'2'2"1"12[例4]求圆柱被截切后的水平投影和侧面投影该圆柱被侧平面截切后,侧面投影为矩形;被水平面截切后，水平投影为圆。轮廓线要不要？分析:[例5]求切口圆柱的水平投影和侧面投影解题步骤1分析截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。[例6]

求截切圆柱的水平投影和侧面投影解题步骤1分析截交线的水平投影为圆的一部分，侧面投影为矩形；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4整理轮廓线。ⅠⅡⅢⅣ[例7]

求圆柱截交线解题步骤1．分析截交线为矩形、椭圆及圆和直线的组合；截交线的水平投影为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．求一般点Ⅴ；4．顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。3'31'122'4'455'3"2"5"1"4"yyyyyy[例8]想象出物体及其侧面投影的形状作图步骤如下：（1）先作出完整基本形体的三面投影图。平面与圆柱相交（2）然后作出槽口三面投影图。(3)作出穿孔的三面投影图。QP[例9]补画侧面投影★空间及投影分析★求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置●●解题步骤：同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。●●●●●●[例10]补画侧面投影[例11]补画侧面投影虚实分界点[例12]补画正面投影9.2.2平面与圆锥相交圆椭圆三角形双曲线加直线段抛物线加直线段截平面垂直于圆锥轴线，截交线为垂直于轴线的圆。截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于截平面过锥顶，截交线为两相交直线。平面截圆锥（一）截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于圆锥轴线，且b<f，截交线为双曲线。截平面倾斜于圆锥轴线，且b>f，截交线为椭圆。截平面倾斜于圆锥轴线，且b=f，截交线为抛物线。平面截圆锥（二）求圆锥截交线上点的方法素线法纬圆法分析：截平面过锥顶,截交线为三角形。[例题1]求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影作图：[例题2]求圆锥截交线解题步骤1．分析截平面为正平面，截交线为双曲线；截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；2．求出截交线上的特殊点A、B

；3．求出一般点C

；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。a"a'acbb"b'c"c'最低点B最低点B最高点A一般点C[例题3]求圆锥截交线解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．求出一般点Ⅴ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。3'33[例题4]求圆锥截交线解题步骤1．分析截平面为正垂面侧平面，截交线为部分椭圆和梯形的组合；其水平投影为部分椭圆和直线的组合，侧面投影为部分椭圆和梯形的组合；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

；3．出一般点Ⅳ、Ⅴ

；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。a2314"5"1"1'a'2"3"2'3'544'5'[例题5]分析圆锥切割后截交线投影的形式[例题6]分析并想象出圆锥穿孔后的投影1’(2)’(4)’3’(6)’5’(8)’7’9’(10)’2”1”433”4”655”6”(12)’11’11”12”787”8”91010”9”1112[例题7]已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影分析：

截交线有五段组成。作图:

1.求特殊点；2.求一般点；（略）3.连线，整理轮廓线。圆9.2.3平面与圆球相交截平面截圆球，截交线为圆。平面截圆球纬圆法在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点。求圆球截交线上点的方法分析:

球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。轮廓线要不要?轮廓线怎样处理?[例1]

求圆球被截切后的水平投影和侧面投影[例2]求圆球截交线解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；3．求出若干个一般点A、B、C、D；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。1"2"123"4"34565"6"787"8"a"b"c"d"bacd2'1'3'4'5'6'7'8'a'bc'd'22"1[例3]求圆球截交线解题步骤1．分析截平面为两个侧平面和一个水平面，截交线为圆弧和直线的组合；截交线的水平投影和侧面投影均为圆弧和直线的组合；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ；3．求出各段圆弧；4．判别可见性，整理轮廓线。33'3"1'2'水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。[例4]求圆球截交线[例4]求圆球截交线[例5]求圆球截交线[例6]分析并想象出圆球穿孔后的投影9.3平面与组合体相交[例题1]分析并想象出物体的投影[例题2]求出物体切割后的投影3'333"[例题3]分析并想象出物体切割后的投影●●●●●●●●●●●●●●●●分析复合回转体由圆锥、大小两圆柱组成；作图注意它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。[例题4]求作顶尖的水平投影[例题5]求作连杆头部的截交线分析：截交线由两段组成。作图：水平投影和侧面投影积聚，求正面投影。本章结束10.2直线与曲面立体相交10.6复合相贯线——求相贯线第10章立体与立体相交10.4平面立体与曲面立体相交10.5曲面立体与曲面立体相交10.1概述10.3平面立体与平面立体相交两立体表面相交时，它们表面的交线称为相贯线。10.1概述立体与立体相交可分为三种情况：(1)两平面立体相交。(2)平面立体与曲面立体相交。(3)两曲面立体相交。1．相贯线的性质及形状

相贯线是两立体表面的共有线；也是相交两立体表面的分界线；相贯线上的点是两立体表面的共有点;

由于立体都有一定的范围，所以相贯线都是封闭的线，一般为封闭的

空间折线或空间曲线；不同的立体以及不同的相贯位置,相贯线的形状也不同--全贯和互贯。

求相贯线实质上是求两立体表面一系列共有点，然后依次光滑连接，并判可性。一般地说这些共有点是一个立体的素线与另一立体表面的交点，也称为贯穿点。2．求相贯线的方法3．判别相贯线可见性的原则

只有位于两形体都可见的侧面上的交线，是可见的。只要有一个侧面不可见，面上的交线就不可见。10.2直线与曲面立体相交

直线与立体相交，其交点称为贯穿点，是直线与立体的共有点和分界点，也是直线穿入和穿出点，体内部分不画线。

直线与平面立体表面交点的求法，实际上是直线与平面交点的求法。

1.利用积聚性求贯穿点

当直线或立体表面的某投影具有积聚性时，则在具有积聚性的投影上，可得到贯穿点的第一个投影，再用面上或线上取点法，求作贯穿点的第二投影。[例1]

求作直线与圆柱的贯穿点。

a'b'ab(m')mnn'[例2]

求垂直线AB，CD与圆锥的贯穿点。2.利用辅助平面法求贯穿点

应该注意的是：在选择辅助平面时，应使辅助平面与曲面立体截交线的投影，为简单而易画的直线或纬圆。作图步骤：(1)包含已知直线作辅助面;(2)求出辅助平面与立体的截交线;(3)截交线与已知直线的交点即为所求的贯穿点。[例3]

求直线AB与圆锥的贯穿点3.利用换面法求贯穿点*[例4]

求一般位置直线AB与圆球的贯穿点。10.3平面立体与平面立体相交

平面立体与平面立体相贯时，由于平面立体是由平面组成的，因此两平面立体的相贯线由折线组成。折线的每一段都是A形体的一个侧面与B形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形体的侧棱与另一形体的侧面的交点。相贯线实质就是平面与平面立体的截交线，整个相贯线是由封闭的若干段平面截交线组成的。[例4]

两平面立体相贯，完成相贯线的投影1"yyyy14"44'233'2'1'3"2"解题步骤1．分析相贯线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知；2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ

；3．顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4．整理轮廓线。[例5]

两平面立体相贯，完成相贯线的投影

12'3'1'32456解题步骤1．分析相贯线为左右两组折线；相贯线的正面投影已知，水平投影未知；相贯线的投影前后、左右对称2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ

；3．顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4．整理轮廓线。4'5'6'[例6]

两平面立体相贯，完成相贯线的投影

解题步骤1．分析相贯线为一组闭合折线，相贯线的正面投影未知，水平投影已知；相贯线的投影前后、左右对称。2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等；3．顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4．整理轮廓线。2'1'1233'10.4平面立体与曲面立体相交

平面立体与曲面立体相贯时，由于平面立体是由平面组成的，这些平面与曲面立体的相贯线实质就是平面与曲面立体的截交线，整个相贯线是由封闭的若干段平面截交线组成的，而每段连接交点就是平面立体棱线与曲面立体的贯穿点。

因此求平面立体与曲面立体的相贯线，可归纳为求平面与曲面立体的截交线和直线与曲面立体贯穿点的问题。

[例7]

求三棱柱与圆锥的相贯线。[例8]

平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影解题步骤1．分析相贯线为三段圆弧的组合;相贯线的水平投影已知，可利用表面取点法求共有点；2．求出相贯线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ

、Ⅵ、Ⅶ

；3．求出若干个一般点Ⅷ、Ⅸ；4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。THSHPH35QH123'9'8'6'7'1'2'4'5'46789[例9]平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影解题步骤1．分析相贯线为圆弧和双曲线的组合；相贯线的侧面投影已知，可利用表面取点法求共有点；2．求出相贯线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ

、Ⅳ；3．求出一般点Ⅲ

；4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。10.5曲面立体与曲面立体相交

两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立体表面的共有点。

相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。不同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。一般情况下两回转体相贯，相贯线为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线或直线。1.两回转体相交,交线为相贯线相贯线2.相贯线为二立体表面的公共线3.相贯线一般为封闭的空间曲线圆柱与圆锥相贯线为二立体表面公共线相贯线相贯线圆柱与圆柱封闭的空间曲线10.5.1两回转体相交一、曲面立体相贯线的性质图例二、曲面立体相贯的三种基本形式2．外表面与内表面相交；1．两外表面相交；3．两内表面相交。三、求曲面立体相贯线的方法1．表面取点法2．辅助平面法3．辅助球面法求曲面立体相贯线的方法有：四、求相贯线的一般步骤2．求作相贯线上的特殊点。3．根据需要求出若干个一般点。4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。5．整理轮廓线。特殊点分析:1.相贯线水平投影不用求2.相贯线侧面投影不用求作图:最前点1最后点2最低点最左点3最右点4最高点2.适当求一般点3.连线1׳2׳3׳4׳12341״2״1.求特殊点4״3״[例10]求二圆柱的相贯线1.利用积聚性的表面取点法

圆柱表面交线的三种情况