2026-2027学年江西省南昌大学附属学校高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年江西省南昌大学附属学校高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={−3,−1,0,2,4}，A={−1,0}，B={0,2}，则∁U(A∪B)=(

)A.{−3,1} B.{−3,4} C.{−3,−1,2,4} D.{−1,0,2}2.已知命题p：∀x≥1，x2−x≥0，则命题p的否定为(

)A.∃x≥1，x2−x<0 B.∃x<1，x2−x<0

C.∀x≥1，x23.已知集合A={x|0<x<2a+1}，B={x|a<x<3}，若A⊂B，则实数a的取值范围是(

)A.(−∞,1] B.(−∞,0] C.(−12,0]4.某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A项公益活动的有28人，参加B项公益活动的有33人，且A，B两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A项不参加B项的有(

)A.7人 B.8人 C.9人 D.10人5.已知实数a，b满足1<2a+b<3，且−2<a−b<1，则4a−b的取值范围是(

)A.(−3,5) B.[−3,5] C.(−1,4) D.(−5,3)6.已知a>0，b>0，且a+b=1，则9aba+4b的最大值为(

)A.910 B.278 C.1 7.若关于x的不等式ax−b>0的解集是(1,+∞)，则关于x的不等式ax+bx−2≥0的解集是(

)A.(−∞,−1]∪(2，+∞) B.(−1,2)

C.(1,2) D.(−∞,1]∪(2，+∞)8.已知条件p：(x−m)(x−m−3)>0；条件q：−2x2+7x−6>0，若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是A.(−32,2) B.(−∞,−32]∪[2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(

)A.a+c≥b−c B.(a−b)c2≥0 C.ac>bc10.已知正数x，y满足x+2y=1，则下列说法正确的是(

)A.xy的最大值为18 B.x2+4y2的最小值为1

C.x+11.已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集，则下面正确的是A.a2−b2≤4

B.a2+1b≥4

C.若不等式x2+ax−b<0的解集为(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合M={1,m+2,m2+4}，如果5∈M，那么实数m的取值集合为

13.已知函数f(x)=x2−2ax+a2+2，当x∈[−1,2]时，f(x)的最大值为6，则实数14.当x>0时，关于x的不等式(ax−1)(x2+bx−4)≥0恒成立，则b+2a的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合A={x|x2−8x+m=0,m∈R}，B={x|ax−1=0,a∈R}，且A∪B=A．

(1)若∁AB={3}，求m，a的值；

(2)若16.(本小题15分)

设全集U=R，集合A={x|−2≤x≤5}，非空集合B={x|−1−2a≤x≤a−2}．

(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

(2)若命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，求实数a的取值范围．17.(本小题15分)

十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员x(x>0)户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4x%，而从事水果加工的农民平均每户收入将为3(a−3x50)(a>0)万元．

(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；

(2)在(1)的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a18.(本小题17分)

已知关于x的一元二次不等式2x2−(a+2)x+a≤0的解集为A，B={x|−b<x<b}．

(1)求集合A；

(2)若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围；

(3)在问题①和问题②中任选一个作答.(直接写答案)

问题①：∀b>0，都有A∩B≠⌀，求a的取值范围；

问题②：∀a∈R，都有A∩B≠⌀，求b的取值范围．

(19.(本小题17分)

19世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料(原表达式)形状不规则，而工匠的目标是把它放进一个标准的模具(均值不等式的形式)里.为此，他需要“削”(拆项)、“补”(添项)、“打磨”(调整系数)，直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品(最值)．

例如：1.求函数f(x)=x+1x−1(x>1)的最小值.可作如下处理：

f(x)=x+1x−1=(x−1)+1x−1+1≥2(x−1)⋅1x−1+1=3，当且仅当x=2时，等号成立．

2.已知x为正实数，且x2+y22=1，求x1+y2的最大值.可作如下处理：

x1+y2=x⋅2⋅1+y22≤21.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】AD

11.【答案】ABD

12.【答案】{1,3}

13.【答案】0或1

14.【答案】4

15.【答案】解：(1)因为A={x|x2−8x+m=0,m∈R}，B={x|ax−1=0,a∈R}，且A∪B=A.∁AB={3}，

所以3∈A，3∉B，所以32−8×3+m=0，

解得m=15，所以A={3,5}，所以5∈B，

所以5a−1=0，解得a=15．

(2)若m=12，所以A={2,6}，因为A∪B=A，所以B⊆A，

当B=⌀，则a=0；

当B={2}，则a=1216.【答案】解：(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，

则−1−2a≤−25≤a−2，等号不能同时取到，

所以a≥7，即a的取值范围为{a|a≥7}；

(2)命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，所以B⊆A，

因为B≠⌀，则a−2≥−1−2a−1−2a≥−2a−2≤5，解得13≤a≤1217.【答案】解：(1)由题意得(200−x)×3(1+4x%)⩾200×3，x>0，

解得0<x≤175，x∈N∗．

(2)从事水果加工的农民的年总收入为3x(a−3x50)(a>0)万元，

从事水果种植农民的年总收入为3 (200−x)(1+4x%)万元，

即3x(a−3x50)≤3 (200−x)(1+4x%)恒成立，其中0<x≤175，x∈N∗，

等价于a⩽200x+x50+7恒成立，其中0<x≤175，x∈18.【答案】(1)由不等式2x2−(a+2)x+a≤0，可得(x−1)(2x−a)≤0

令(x−1)(2x−a)=0，解得x=1或x=a2，

当a2<1时，即a<2时，解得a2≤x≤1，此时A={x|a2≤x≤1}；

当a2>1时，即a>2时，解得1≤x≤a2，此时A={x|1≤x≤a2}；

当a2=1时，即a=2时，不等式即为2(x−1)2≤0，解得x=1，此时A={1}；

综上可得：当a=2时，集合A={1}；a>2时，集合A={x|1≤x≤a2}；当a<2时，集合A={x|a2≤x≤1}．

(2)由(1)知，当a<2时，集合A={x|a2≤x≤1}，

要使得集合A中有且仅有两个整数，则满足−1<a2≤0，解得−2<a≤0，

当a>2时，集合A={x|1≤x≤a2}，

要使得集合A中有且仅有两个整数，则满足2≤a2<3，解得4≤a<6；