等腰三角形习题

习题15.3R·八年级上册1.（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是多少度？【教材P84习题15.3第1题】复习巩固解：（1）∵等腰三角形的一个角是110°，内角和为180°，∴这个角只能是顶角.∴它的另外两个底角的度数为(180°–110°)÷2=35°.（2）等腰三角形的一边长是8，周长是18，它的另外两边长是多少？（2）分两种情况讨论：①当长是8的边为底边时，两腰长均为(18–8)÷2=5，此时三边长为5，5，8，符合三角形三边关系；②当长是8的边为腰时，底边长为18–8×2=2，此时三边长为8，8，2，符合三角形三边关系.综上所述，它的另外两边长分别是5，5或2，8.2.如图，AD

//

BC，BD

平分∠ABC.求证AB=AD.【教材P84习题15.3第2题】证明：∵AD

//

BC，∴∠CBD=∠ADB.∵BD

平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD.∴∠ADB=∠ABD.∴AB=AD(等角对等边).3.如图，五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是36°.求∠AMB的度数.【教材P84习题15.3第3题】解：如图.∵五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，∴∠A=36°.∴∠AMN=(180°–36°)÷2=72°.∴∠AMB=180°–∠AMN=180°–72°=108°.4.如图，在△ABC

中，点D，E

在边BC

上，AB=AC，AD=AE.求证BD=CE.【教材P84习题15.3第4题】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ADB=∠AEC.∴△ABD≌△ACE（AAS）.∴BD=CE.5.如图，∠A=∠B=60°，CE

//

DA，CE

交AB

于点E.求证：△CEB

是等边三角形.【教材P84习题15.3第5题】证明：∵CE

//

DA，∴∠CEB=∠A=60°.又∠B=60°，∴∠BCE=∠B=∠CEB=60°.∴△CEB

是等边三角形.6.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN

交AC

于点D.求∠DBC

的度数.【教材P84习题15.3第6题】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=(180°–40°)÷2=70°.∵MN

是AB

的垂直平分线，点D

在MN

上，∴DA=DB.∴∠ABD=∠A=40°.∴∠DBC=∠ABC–∠ABD=70°–40°=30°.7.如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，顶角∠BAC=120°.AD

与AB

有什么数量关系？【教材P85习题15.3第7题】

8.某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：【教材P85习题15.3第8题】综合运用在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的.他们的方法对吗？为什么？解：他们的方法是对的.理由：∵等腰直角三角尺的斜边贴在房梁上，O

是AB

的中点，线绳经过点C，∴OC

是等腰直角三角形ABC

的中线，且OC⊥AB（房梁）.又OC

是铅垂线，它垂直于地面，∴房梁平行于地面，即房梁是水平的.∴他们的方法是对的.9.上午8时，一条船从海岛A

出发，以15nmile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B

处.从A，B

望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°.求海岛B

与灯塔C

的距离.【教材P85习题15.3第9题】解：∵船从海岛A

出发，2h后到达海岛B，∴AB=(10–8)×15=30

(nmile).∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，且∠NBC

是△ABC

的一个外角，∴∠BCA=∠NBC–∠NAC=84°–42°=42°.∴∠NAC=∠BCA.∴BC=AB=30nmile.答：海岛B

与灯塔C

的距离是30nmile.10.如图，△ABC

是等边三角形，E

是边AC

上的点，且∠1=∠2，CD=BE.判断△ADE

的形状，并说明理由.【教材P85习题15.3第10题】解：△ADE

是等边三角形.理由如下：∵△ABC

是等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=60°.又∠1=∠2，BE=CD，∴△ABE≌△ACD（SAS）.∴AE=AD，∠CAD=∠BAE=60°.∴△ADE

是等边三角形.11.如图，△ABD，△AEC

都是等边三角形.求证BE=DC.【教材P85习题15.3第11题】证明：∵△ABD，△AEC

都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°.∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE.在△DAC和△BAE

中，AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，∴△DAC≌△BAE（SAS）.∴BE=DC.12.如图，在△ABC

中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC

于点D.若AD=2，求BC

的长.【教材P86习题15.3第12题】解：∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°.又∠B=30°，∴BD=2AD=2×2=4，∠ADB=60°.∵AB=AC，∴∠C=∠B=30°.∴∠DAC=∠ADB–∠C=30°=∠C.∴CD=AD=2.∴BC=BD+CD=4+2=6.13.如图，P，Q

是△ABC

的边BC

上的两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAC

的度数.【教材P86习题15.3第13题】解：∵PQ=AP=AQ，∴△APQ

为等边三角形.∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°.又BP=AP，∴∠B=∠BAP.∵∠B+∠BAP=∠APQ=60°，∴∠BAP=30°.同理可得，∠CAQ=30°，∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ

=30°+60°+30°=120°.14.等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论.你还能发现其他结论吗？【教材P86习题15.3第14题】拓广探索解：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等.其他结论：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等；等腰三角形两底角的平分线与底边可形成一个等腰三角形（答案不唯一）.下面证明第一个结论.

在△BDC

和△CEB

中，∠DBC=∠ECB，BC=CB，∠2=∠1，∴△BDC≌△CEB（ASA）.∴CD=BE.15.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户.如果∠C=90°，∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来.【教材P86习题15.3第15题】解：如图，作∠CAB

的平分线，交BC

于点D，过点D

作DE⊥AB，垂足为E.则△ABC

就分成了三个大小、形状都相同的三角形，即△AED，△ACD

和△BED.DE

轴对称1.

下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的图形是(

B

)B12345678910112.

如图，将一张三角形纸片

ABC

沿过点

B

的直线折叠，使点

C

落在

AB

边上的点

E

处，折痕为

DB

，则下列结论一定正确的是(

D

)A.

AD

＝

BD

B.

AE

＝

AC

C.

ED

＋

EB

＝

DB

D.

AE

＋

CB

＝

AB

D12345678910113.

已知在平面直角坐标系中，

A

，

B

两点的坐标分别是(－2，3)和(2，

3)，有下列四个结论：①

A

，

B

关于

x

轴对称；②

A

，

B

关于

y

轴对称；③

A

，

B

之间的距离为6；④

A

，

B

之间的距离为4.其中正确的结论有

个.2

1234567891011

线段垂直平分线的判定4.

如图，

AD

为△

ABC

的角平分线，

DE

⊥

AC

于点

E

，

DF

⊥

AB

于点

F

，

EF

交

AD

于点

M

.

求证：

AD

垂直平分

EF

.

1234567891011

1234567891011

等腰三角形与等边三角形的性质与判定5.

(廊坊霸州市期中)如图，上午8时，渔船从

A

处出发，以20海里/

时的速度向正西方向航行，9时30分到达

B

处.从

A

处测得灯塔

C

在南偏

西30°方向，距

A

处30海里处.则

B

处到灯塔

C

的距离是(

C

)A.

20海里B.

25海里C.

30海里D.

35海里C1234567891011【解析】如图，连接

BC

.

∴∠

BAC

＝90°－∠1＝60°.∵

AC

＝30海里，∴

AB

＝

AC

.

∴△

ABC

是等边三角形.∴

BC

＝

AC

＝30海里.12345678910116.

在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AB

边的垂直平分线与

AC

所在直线相交所

得的锐角为40°，求∠

B

的度数.解：此题分两种情况讨论：(1)如图1，

AB

边的垂直平分线与

AC

边交于点

D

，与

AB

边交于点

E

，

∠

ADE

＝40°，则∠

A

＝50°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

＝(180°－50°)÷2＝65°.1234567891011(2)如图2，

AB

边的垂直平分线与

CA

的延长线交于点

D

，与

AB

边交于

点

E

，∠

ADE

＝40°，则∠

DAE

＝50°.∴∠

BAC

＝130°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

＝(180°－130°)÷2＝25°.综上所述，∠

B

的度数为65°或25°.12345678910117.

如图，△

ABC

是等边三角形，

D

是边

BC

上(除

B

，

C

外)的任意一

点，∠

ADE

＝60°，且

DE

交△

ABC

的外角∠

ACF

的平分线

CE

于点

E

.

求证：(1)∠1＝∠2；证明：(1)∵△

ABC

是等边三角形，∠

ADE

＝60°，∴∠

ADE

＝∠

B

＝60°.又∵∠

ADC

＝∠2＋∠

ADE

＝∠1＋∠

B

，∴∠1＝∠2.1234567891011(2)

AD

＝

DE

.

证明：(2)如图，在

AB

上取一点

M

，使

BM

＝

BD

，连

接

MD

，则∠

BMD

＝∠

BDM

.

∵△

ABC

是等边三角形，∴∠

B

＝∠

ACB

＝60°，

AB

＝

BC

.

∴∠

BMD

＝60°.∴∠

AMD

＝120°.1234567891011

1234567891011

含30°角的直角三角形的性质8.

(石家庄第48中学期末)如图，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

∠

ABC

＝60°，

BC

＝4

cm，

D

为

BC

的中点，若动点

E

以1

cm/s的速度

从

A

点出发，沿着

A

→

B

→

A

的方向运动，设

E

点的运动时间为

t

s(0≤

t

＜12)，连接

DE

，当△

BDE

是直角三角形时，

t

的值为(

D

)A.

4B.

7或9C.

4或9D.

4或7或9第8题图D1234567891011【解析】在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

ABC

＝60°，则∠

A

＝180°

－∠

ACB

－∠

ABC

＝30°，∵

BC

＝4

cm，∴

AB

＝2

BC

＝8

cm.∵

D

为

BC

中点，∴

BD

＝2

cm.∵0≤

t

＜12，∴点

E

的运动路线为从

A

到

B

，再从点

B

到

AB

的中点，按运动时间分为0≤

t

≤8和8＜

t

＜12两种情况.第8题图1234567891011

②当8＜

t

＜12时，则此时

E

点又经过

t

＝7秒时的位置，此时

t

＝8

＋1＝9.综上所述，

t

的值为4或7或9.第8题图12345678910119.

(邯郸第23中学期末)如图，已知∠

AOB

＝60°，

OP

平分∠

AOB

，

PC

⊥

OA

于点

C

，

D

是

OB

上的动点，若

PO

＝6

cm，则

PD

长

的最小值是

⁠.第9题图3

cm

1234567891011

轴对称的相关作图10.

(唐山第12中学期末)如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

A

＝

36°，点

D

，

P

分别是图中所作直线和射线与

AB

，

CD

的交点.根据图

中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(

D

)A.

∠

ABP

＝∠

A

B.

AD

＝

CD

C.

∠

PBC

＝∠

ACD

D.

∠

BPC

＝118°D1234567891011

1234567891011∵

DA

＝

DC

，∴B选项不符合题意.∵

DA

＝

DC

，∴∠

ACD

＝∠

A

＝36°.∴∠

PBC

＝∠

ACD

＝36°.∴C选项不符合题意.∵∠

PBC

＝36°，∠

ACD

＝36°，∴∠

PCB

＝36°.∴∠

BPC

＝180