2026-2027学年江西省宜春市部分校高三上学期开学考试数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若向量，，则（）A. B.1 C.2 D.2.设集合，，则（）A. B. C. D.3.函数的零点个数为（）A. B. C. D.4.若球O的表面积为，则该球球面上两点间距离的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.85.随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为（）A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.826.若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知为第四象限角，且，则（）A. B. C. D.8.已知圆：，点，（），若圆上存在，两点，使得以，，，四个点为顶点的平行四边形有且仅有1个，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数，则（）A. B.C. D.10.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则（）A.的焦距为B.的渐近线方程为C.的面积为D.双曲线是等轴双曲线11.如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点，O，分别为底面与底面的中心，以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设集合，集合，记为中所有点构成的几何体，则（）A. B.是圆锥C.的体积大于 D.，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数与的最小正周期相等，则_________．13.设椭圆与的离心率相等，则______．14.某海滨旅游路线全线共设有24个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留3个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有________种．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点在抛物线上．（1）求的方程；（2）过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求．16.如图，在三棱台中，平面，，，．（1）证明：平面．（2）若H为的中点，求与平面所成角的正切值．17.某物流园区使用无人配送车完成园区内的末端配送，为比较算法与算法的运行效果，技术人员分别随机抽取采用这两种算法完成的个订单，记录从无人车出发到订单送达所用的时间（单位：分钟）．将配送时长分为，，，，，，共六组，得到如下频率分布直方图．园区规定：配送时长少于分钟的订单为准时订单．以配送时长位于各区间的频率代替配送时长位于该区间的概率，假设每个订单是否准时送达相互独立．（1）求采用算法时，个订单准时送达的概率．（2）从总体中随机选取个订单，其中个采用算法，个采用算法．设这个订单中准时订单的个数为，求的分布列．（3）为兼顾算法测试与配送效率，调度中心提出两个方案：方案一为“动态调度方案”，即第个订单采用算法，若该订单准时送达，则第个订单仍采用算法，否则第个订单改用算法；方案二为这个订单均采用算法．设方案一中这个订单中准时送达的个数为，方案二中这个订单中准时送达的个数为．有人认为，，判断这一观点是否正确，并说明理由．18.定义：在正项数列中，若（为非零常数），则称存在对数系，常数为的对数系数．（1）判断数列是否存在对数系．若存在，求出对数系数；若不存在，请说明理由．（2）已知数列存在对数系，且，，，．（ⅰ）求的通项公式；（ⅱ）证明：．19.设函数的定义域为，若对于给定的实数，存在唯一的实数，使得曲线在点处的切线经过点，则称为的单切点，为的切交点．若在某一区间内的每一点都是单切点，则称在上全切交．此时，将中的每一个实数与其对应的唯一切交点构成的对应关系记为函数，并称为在集合上的切交函数．（1）判断函数在上是否全切交，并说明理由．（2）已知是奇函数，其导函数在上的图象是一条连续不断的曲线．若对于任意，，当时，都有，且在上全切交，其切交函数为．（ⅰ）证明：对于任意，均有．（ⅱ）判断在上的单调性，并给予证明．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若向量，，则（）A. B.1 C.2 D.答案：D解析：解答过程：因为，所以.2.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：或，集合中只有两个元素满足集合，所以．3.函数的零点个数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：当时，，令，得到，解得或（舍），当时，，令，得到，即，解得，所以函数的零点个数为个.4.若球O的表面积为，则该球球面上两点间距离的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：B解析：解答过程：设该球半径为R，因为球O的表面积为，所以，则该球球面上两点间距离的最大值为4.5.随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为（）A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.82答案：D解析：思路：由全概率公式及互斥事件的概率公式求解即可.解答过程：记事件表示：“选取的花卉处于水肥适宜土壤”，事件表示：“选取的花卉处于干旱缺水土壤”，事件表示：“选取的花卉正常开花”，则有,,,所以.6.若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求导确定函数的唯一极值点，问题转化为区间必须包含，同时区间需在定义域内，由此解出的范围．解答过程：函数的定义域为，求导得：，当时，，，，故的符号由决定，即时，；时，．因此在上单调递减，在上单调递增，故是的唯一极值点（极小值点），函数在区间上存在极值点，等价于该区间包含，即，解得，又因为函数定义域为，区间必须在定义域内，故，综上，的取值范围为，即实数的取值范围是．7.已知为第四象限角，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用二倍角公式整理可得，再结合两角和差公式的正切公式运算求解，注意合理选取二倍角的余弦公式.解答过程：因为，则，且为第四象限角，则，，可得，则，即，可得，所以.8.已知圆：，点，（），若圆上存在，两点，使得以，，，四个点为顶点的平行四边形有且仅有1个，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据平行四边形顶点的位置关系，分为平行四边形的对角线和其中一边两种情况分类讨论，分别计算两种情况对应的符合条件的平行四边形个数，由平行四边形有且仅有1个限定出不等关系，解不等式可求出的取值范围.解答过程：易知圆：的圆心为，半径为；显然，因此点在圆的内部；点，都在直线上，且该直线过圆心；若，由对称性可知在直线两侧分别可构造出两组且互相平行的直线，此时可构成两个以为一边的平行四边形；除此之外，当与垂直且互相平分时可构成一个以为对角线的平行四边形，综上可知，一共可以构成三个平行四边形，显然不合题意；若，此时在直线两侧无法构造出，此时无法构成以为一边的平行四边形；因此只有当与垂直且互相平分时可构成一个平行四边形，此时为平行四边形的对角线，且的中点到圆心的距离不大于半径，所以，解得；当时，或，此时弦的长为，两点重合，不合题意；因此可得的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数，则（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：根据复数的共轭复数、复数的模，复数的乘法除法逐项分析即可.解答过程：因为，所以，可得，可得，得到.10.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则（）A.的焦距为B.的渐近线方程为C.的面积为D.双曲线是等轴双曲线答案：ACD解析：思路：根据条件，利用双曲线的定义求出，再由余弦定理即可求出，进而可得，即可判断出A、B和D的正误，再由平方关系和三角形面积公式，求出的面积，即可判断C的正误.解答过程：易知，则，又，所以，又，所以，则，所以A正确，对于B，因为，则，所以，则的渐近线方程为，所以B错误，对于C，因为，则，所以的面积为，故C正确，对于D，因为，则，即，所以双曲线是等轴双曲线，D正确.11.如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点，O，分别为底面与底面的中心，以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设集合，集合，记为中所有点构成的几何体，则（）A. B.是圆锥C.的体积大于 D.，答案：ACD解析：思路：选项A新定义的简单应用代入检验即可;选项B考查了学生的数学建模的思想，能不能把二次函数对应的抛物线旋转得到旋转体;选项C在B选项分析基础上,对图形进行处理，找到旋转体圆锥，求出圆锥体积比较可得;选项D距离公式应用，转化为二次函数求最大值问题.解答过程：选项A.原点|0|1,|0|1,|0|1,属于;，不等式成立,选项A正确;选项B.设设,分别为平面直角坐标系的横轴和纵轴,满足,根据抛物线定义,可知这是以轴为对称轴的抛物线的一部分(题目中有限定条件)，在空间里，以轴为轴,旋转抛物线得到旋转抛物面,就是由该抛物面围成的几何体,该几何体是曲面体,B选项错误；选项C.，根据B选项的分析，取该几何体的轴截面，轴截面形状为抛物线,以轴为轴,对应的旋转体为圆锥,,,，，即：,选项C正确；选项D.，,,即：,选项D正确.方法提示：本题考查了学生对新定义问题的理解，和对于平面图形到立体图形的数学建模能力，以及距离转化函数的最值问题的数学应用能力.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数与的最小正周期相等，则_________．答案：4解析：解答过程：由题意得，解得.13.设椭圆与的离心率相等，则______．答案：3解析：解答过程：由题可知，椭圆的离心率为，当即时，椭圆的离心率，当时，，则椭圆的离心率无解.综上，.14.某海滨旅游路线全线共设有24个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留3个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有________种．答案：252解析：思路：先在5个关停的中途驿站的每个空隙插入3个中途驿站，剩余5个中途驿站，把问题转化为将5个相同的球放入6个不同的盒中，盒中的球数可以为0，利用隔板法分析求解即可.解答过程：因为5个关停的中途驿站中有4个空隙，每个空隙插入3个中途驿站，此时剩余个中途驿站，把5个关停站看作分隔元素，连同两端的空隙，一共形成6个空隙，将剩余的5个运营站随意分配到这6个空隙中（允许部分空隙分配0个运营站），此问题即转化为将5个相同的球放入6个不同的盒中，盒中的球数可以为0，再加入6个完全相同的球，共有11个球，有10个空隙，利用隔板法将11个球分成6个部分，共有种不同分法，所以不同的站点关停方案共有252种.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点在抛物线上．（1）求的方程；（2）过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据条件，直接求出的值，即可求解；（2）根据条件，由（1）可得直线l的方程，联立直线与抛物线方程，再利用根与系数间的关系和抛物线的定义，即可求解.（1）将点的坐标代入，得，解得，所以的方程为．（2）由（1）得的焦点为，所以直线l的方程为，设，．由，消得，则，，，所以．16.如图，在三棱台中，平面，，，．（1）证明：平面．（2）若H为的中点，求与平面所成角的正切值．答案：（1）证明：因为平面，平面，所以．因为，，，所以由可得，则，所以．因为，所以平面．（2）解析：思路：（1）由线面垂直得出线线垂直，进而利用三角形相似求出，由勾股定理得出垂直关系，进而利用线面垂直判定定理得出结论；（2）利用面面平行找出线面角，构造辅助线，利用几何法找出线面角，计算相关线段长度，求出线面角的正切值．（1）略（2）因为平面平面，所以与平面所成的角即为与平面所成的角．如图，取上靠近点A的三等分点M，连接，，则，，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，所以平面，所以即为与平面所成的角．因为，，，所以，即与平面所成角的正切值为．17.某物流园区使用无人配送车完成园区内的末端配送，为比较算法与算法的运行效果，技术人员分别随机抽取采用这两种算法完成的个订单，记录从无人车出发到订单送达所用的时间（单位：分钟）．将配送时长分为，，，，，，共六组，得到如下频率分布直方图．园区规定：配送时长少于分钟的订单为准时订单．以配送时长位于各区间的频率代替配送时长位于该区间的概率，假设每个订单是否准时送达相互独立．（1）求采用算法时，个订单准时送达的概率．（2）从总体中随机选取个订单，其中个采用算法，个采用算法．设这个订单中准时订单的个数为，求的分布列．（3）为兼顾算法测试与配送效率，调度中心提出两个方案：方案一为“动态调度方案”，即第个订单采用算法，若该订单准时送达，则第个订单仍采用算法，否则第个订单改用算法；方案二为这个订单均采用算法．设方案一中这个订单中准时送达的个数为，方案二中这个订单中准时送达的个数为．有人认为，，判断这一观点是否正确，并说明理由．答案：（1）（2）（3）方案一中，的所有可能取值为、、．，，，所以．方案二中，由题意可知，所以．因为，所以题中观点不正确.解析：思路：（1）把前3组准时送达的频率相加，即为所求概率；（2）先求得1个订单采用算法准时送达的概率为，记采用算法的个订单中准时送达的个数为，采用算法的个订单中准时送达的个数为，则，然后根据，求概率及分布列；（3）求出，，再由判断题中观点不正确.（1）根据题意可得个订单采用算法准时送达的频率为，所以个订单采用算法准时送达的概率为．（2）同（1）可得个订单采用算法准时送达的概率．记采用算法的个订单中准时送达的个数为，采用算法的个订单中准时送达的个数为，则，，．的所有可能取值为、、、，，，，，所以的分布列为（3）略18.定义：在正项数列中，若（为非零常数），则称存在对数系，常数为的对数系数．（1）判断数列是否存在对数系．若存在，求出对数系数；若不存在，请说明理由．（2）已知数列存在对数系，且，，，．（ⅰ）求的通项公式；（ⅱ）证明：．答案：（1）存在，（2）（ⅰ）（ⅱ）证明：由（ⅰ）得，因为，所以，所以．设，则，所以，所以．因为，所以，即．解析：思路：（1）根据对数系定义，再由数列定义即可求出对数系数；（2）（ⅰ）由数列的前几项可求出其对数系数，再由等差数列定义即可求得的通项公式；（ⅱ）利用错位相减求和得出，可证明得出结论.（1）因为，所以存在对数系，其对数系数为．（2）（ⅰ）令．因为存在对数系，所以．设，则，又因为，，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，，所以当时，，即．因为，所以．又满足，所以．（ⅱ）略19.设函数的定义域为，若对于给定的实数，存在唯一的实数，使得曲线在点处的切线经过点，则称为的单切点，为的切交点．若在某一区间内的每一点都是单切点，则称在上全切交．此时，将中的每一个实数与其对应的唯一切交点构成的对应关系记为函数，并称为在集合上的切交函数．（1）判断函数在上是否全切交，并说明理由．（2）已知是奇函数，其导函数在上的图象是一条连续不断的曲线．若对于任意，，当时，都有，且在上全切交，其切交函数为．（ⅰ）证明：对于