2026-2027学年山东省济宁市第二中学高三上学期收心考试数学试卷（含解析）

/数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.4.已知根据某样本数据可得到回归直线方程，且，，则（）A. B. C. D.5.已知函数满足，则在处的导数为（）A.-5 B.-3 C.2 D.36.某学校选派了三位男教师和两位女教师参加某活动，这五位教师被分到三个不同的小组，其中两位女教师分派到同一个小组，则不同的分配方案有（）A.18种 B.36种C.68种 D.84种7.若函数是增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（）A. B. C.[0，2] D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（）X01234P0.10.4x0.20.2A. B.C.， D.，10.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽1道题，抽出的题不放回，设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”．则下列说法正确的有（）A. B. C. D.11.已知函数，则下列选项中正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.函数在的值域为C.函数在点处的切线方程为D.关于的方程有2个不同的根当且仅当第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在的展开式中，的系数为__________．13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________．14.已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知二项式（1）若展开式共七项，求的值；（2）在（1）的条件下写出二项展开式的通项公式，并求展开式中的常数项.16.已知袋中装有3个红球和2个黄球，这5个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出2个球.（1）在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率；（2）设表示摸出红球的个数，求的分布列及数学期望.17.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若的最小值为0，求的值．18.某学校随机抽取120名学生开展调研，统计其一周内使用AI技术辅助学习的情况，将使用节次不少于4次记为喜欢使用AI技术，否则记为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表．性别是否喜欢使用AI技术合计是否男生461460女生322860合计7842120（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该学校学生是否喜欢使用AI技术与性别有关；（2）将频率视为概率，现从所抽取的120名学生中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术的学生的条件下，求此学生为女生的概率．附：0.10.010.0012.7066.63510.82819.已知函数．（1）若函数满足且的最小值为，求的解析式；（2）当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围．

数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题2.已知，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：先解不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断两者之间的逻辑关系.解答过程：因为解得，所以，又因是的真子集，故是的充分不必要条件.3.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由正态分布的对称性即可求解.解答过程：由，可知其对称轴为：，又，由对称性可知：4.已知根据某样本数据可得到回归直线方程，且，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据经验回归方程恒过即可求解.解答过程：由题知，，即，解得.5.已知函数满足，则在处的导数为（）A.-5 B.-3 C.2 D.3答案：B解析：解答过程：由两边求导，得，当时，，解得，所以在处的导数为.6.某学校选派了三位男教师和两位女教师参加某活动，这五位教师被分到三个不同的小组，其中两位女教师分派到同一个小组，则不同的分配方案有（）A.18种 B.36种C.68种 D.84种答案：B解析：解答过程：当两位女教师不单独一组时，先三位男教师全排，再两位女教师选择一组参加，分配方案有种；当两位女教师单独一组时，两位女教师先选一组，3位男教师分另外2组，不同的分配方案有；综上，不同的分配方案有36种．7.若函数是增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出对任意的恒成立，结合基本不等式可求得的取值范围.解答过程：因为函数的定义域为，则，因为是增函数，所以，即对任意的恒成立，所以，又时，，当且仅当时，即当时取等号，所以，故实数的取值范围是.故选：A.8.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（）A. B. C.[0，2] D.答案：C解析：思路：由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可.解答过程：因为函数是定义在上的偶函数，且，所以．又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增．所以等价于,即，解得．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（）X01234P0.10.4x0.20.2A. B.C.， D.，答案：ABD解析：解答过程：因为，所以，A正确；，，B正确，C错误；，则，D正确.10.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽1道题，抽出的题不放回，设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”．则下列说法正确的有（）A. B. C. D.答案：ACD解析：解答过程：选项A：设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则事件“第1次抽到几何题”，“第2次抽到代数题”，得，，，故选项A正确；选项B：，故选项B错误；选项C：，，故选项C正确；选项D：，，，，由全概率公式得，故选项D正确.11.已知函数，则下列选项中正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.函数在的值域为C.函数在点处的切线方程为D.关于的方程有2个不同的根当且仅当答案：BC解析：思路：A通过判断在上是否恒大于等于0可得选项正误；B利用导数求出在上的单调性，据此可得值域；C由导数知识可得在点处的切线；D将问题转化为图象与直线有两个交点.解答过程：对于A，，，则在上单调递减，故A错误；对于B，由A分析，，则在上单调递增，则，故函数在上的值域为；对于C，由题，，则点处的切线方程为，故C正确；对于D，即图象与直线有两个交点，由上述分析可得大致图象如下，则要使图象与直线有两个交点，，故D错误.故选：BC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在的展开式中，的系数为__________．答案：解析：解答过程：，令，解得：，，的系数为：．13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________．答案：解析：思路：利用函数的奇偶性求解即可.解答过程：已知是定义在上的奇函数，则当时，，则时，有，则，因此.14.已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________．答案：解析：思路：结合函数单调性及基本不等式求解即可.解答过程：当时，，当且仅当时取等号.即，当时，在上单调递减，此时，因为在定义域内有最小值，所以.故实数的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知二项式（1）若展开式共七项，求的值；（2）在（1）的条件下写出二项展开式的通项公式，并求展开式中的常数项.答案：（1）6（2）通项公式为，常数项为160解析：思路：（1）根据二项式定理可知，二项展开式共有项，列式计算即可.（2）根据二项展开式通项公式化简求值即可.（1）由题意知，，解得.（2）由（1）知，二项式为.通项公式为.令，则，所以.所以该二项展开式的通项公式为，常数项为160.16.已知袋中装有3个红球和2个黄球，这5个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出2个球.（1）在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率；（2）设表示摸出红球的个数，求的分布列及数学期望.答案：（1）（2）的分布列为：012数学期望.解析：思路：（1）确定第一次摸出红球后剩余的球总数与红球个数，直接计算概率；（2）先确定的所有可能取值，分别计算各取值的概率，列出分布列后再计算期望即可.（1）设事件为“第1次摸出红球”，事件为“第2次摸出红球”.第1次摸出红球后，袋中剩余2个红球、2个黄球，共4个球，因此第2次摸出红球的概率为.（2）X为摸出红球的个数，所有可能取值为，从5个球中摸2个，总组合数为，分别计算概率：；；.的分布列为：012数学期望.17.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若的最小值为0，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；（2）求导，分，两种情况求解即可.（1）当时，，则，所以，由，可得切点为，所以所求切线方程为，即．（2）因为，①当时，，所以在上单调递减，因此无最小值，不符合题意；②当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，因此的最小值为，解得，综上可知，．18.某学校随机抽取120名学生开展调研，统计其一周内使用AI技术辅助学习的情况，将使用节次不少于4次记为喜欢使用AI技术，否则记为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表．性别是否喜欢使用AI技术合计是否男生461460女生322860合计7842120（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该学校学生是否喜欢使用AI技术与性别有关；（2）将频率视为概率，现从所抽取的120名学生中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术的学生的条件下，求此学生为女生的概率．附：0.10.010.0012.7066.63510.828答案：（1）能认为该学校学生是否喜欢使用AI技术与性别有关联（2）解析：思路：（1）使用独立性检验求解；（2）使用条件概率公式求解.（1）零假设：该校学生是否喜欢使用AI技术与性别无关根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否喜欢使用AI技术与性别有关联，此推断犯错误