2026-2027学年陕西省宝鸡市南山高级中学高二上学期开学考试数学试卷（含解析）

/数学一.选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数为纯虚数，则（）A. B. C. D.3.在长方形中，，与交于点，则（）A. B. C. D.4.已知圆锥的侧面积单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积单位：是（）A. B. C. D.5.已知角的终边在第一象限，，，则（）A. B. C. D.6.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象.若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.在中，角、、的对边分别是、、，则“”是“是锐角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（）A. B. C. D.二.多选题本题共3小题，共18分.9.下列各项表述正确的是（）A.若事件与事件为同一样本空间的两个事件，则B.若事件与事件互斥，则C.若事件与事件相互独立，则D.表示，两事件恰有一个发生10.在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，且，则，关于轴对称C.若，则D.若，且，是关于的方程的两个根，则11.如图，三棱锥平面，，为的中点，点为三棱锥外接球球心，则（）A.当时，B.当时，二面角大小为C.当异面直线与所成角为时，D.当点到平面的距离为时，三.填空题本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知函数，则______.13.某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________.14.已知且，则的取值范围是_________．四.解答题本题共5小题，共77分15.已知集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.16.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）试估计样本成绩的众数和平均数；（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差.17.记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角；（2）若，，求的面积.18.已知函数．（1）若，求在区间的值域；（2）若方程有两个不等实根，求实数m的取值范围；（3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的范围．19.如图，四棱锥中，平面平面，.（1）若，，记三棱锥外接球的球心为.（ⅰ）求证：平面；（ⅱ）求三棱锥外接球的表面积.（2）记，，当时，求三棱锥体积的最大值.

数学一.选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意，集合，而，因为，所以.2.若复数为纯虚数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，因为z为纯虚数，所以，解得.3.在长方形中，，与交于点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：在长方形ABCD中，且.因为，所以且.因此，相似比为.所以.又因为，所以.4.已知圆锥的侧面积单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积单位：是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据已知条件及圆锥的侧面积公式，再利用弧长公式及圆的周长公式，结合圆锥的体积公式即可求解.解答过程：因为圆锥侧面展开图是半圆，面积为，如图所示设圆锥的母线长为a，则，解得，所以侧面展开扇形的弧长为，设圆锥的底面半径，则，解得，所以这个圆锥的体积为故选：C.5.已知角的终边在第一象限，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，得，又的终边在第一象限，，所以，所以．6.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象.若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据三角函数的图象变换可得，由在上没有零点，可得，根据周期公式解得，假设函数在上有零点，求出零点，由求得的取值范围，继而可得函数在上没有零点时的取值范围.解答过程：将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象，由题得，周期，因为在上没有零点，所以，得，即，得，假设函数在上有零点，令，得，解得,则，得，又，当时，得，当时，得，所以函数在上没有零点时，的取值范围是.7.在中，角、、的对边分别是、、，则“”是“是锐角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：原式可化为，利用正弦定理可得，根据余弦定理可得为锐角，结合必要不充分条件的定义即可求解.解答过程：不等式可化为，即，由正弦定理得，由余弦定理得，所以为锐角，因为不一定为锐角，故不能得到是锐角三角形，例如，，满足，但不是锐角三角形，若是锐角三角形，则一定为锐角，所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件.8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过奇偶性推导出函数周期为4，再结合已知的函数解析式及可求出，再利用周期性将转化至已知区间内代入求解.解答过程：由为奇函数得，令，则，解得，由为偶函数得，在中将替换为，得，进而有，则，所以的最小正周期为4，由得，，，由题意得，即，解得，进而，所以当时，，，所以，其中，所以，所以.二.多选题本题共3小题，共18分.9.下列各项表述正确的是（）A.若事件与事件为同一样本空间的两个事件，则B.若事件与事件互斥，则C.若事件与事件相互独立，则D.表示，两事件恰有一个发生答案：CD解析：思路：根据题意，结合互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的定义、事件运算的含义依次判断即可.解答过程：对于A，任意两个事件的通用加法公式为，故A错误；对于B，互斥事件的概率和满足，例如掷骰子时“出现点”和“出现点”互斥，二者概率和为，故B错误；对于C，事件与相互独立的定义就是两事件同时发生的概率等于各自发生概率的乘积，即，故C正确；对于D，表示发生、不发生，表示不发生、发生，二者的并集就是两事件恰有一个发生，故D正确.10.在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，且，则，关于轴对称C.若，则D.若，且，是关于的方程的两个根，则答案：BC解析：解答过程：若，则，故A错误；因为，，所以，则，关于轴对称，故B正确；若，则，则，故C正确；由题意得，，则，故D错误.11.如图，三棱锥平面，，为的中点，点为三棱锥外接球球心，则（）A.当时，B.当时，二面角大小为C.当异面直线与所成角为时，D.当点到平面的距离为时，答案：ACD解析：思路：对于A，通过计算即可证，对于B，根据题意可得，就是二面角的平面角，计算即可得到二面角，对于C，设，作出异面直线夹角，再利用余弦定理结合条件列方程可得；对于D，根据锥体外接球球心的作法，可作球心，且即可判断.解答过程：对于A，连接，平面，平面，，即，又，所以，则，为的中点，所以，故A正确；对于B，设中点为，连接，平面，平面，，又，，，又为中点，所以，又，所以，，平面平面，就是二面角的平面角，，即二面角的为，故B错误；对于C，设中点为，连接，，设时，，中，，，，，解得，即，故C正确；对于D，设的外心为，过作平面的垂线，球心在垂线上，又平面，所以，又，所以在的垂直平分线上，则，故D正确；故选：ACD.三.填空题本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知函数，则______.答案：解析：思路：根据分段函数的定义域划分，先将代入对应的递推关系式，转化为求时的函数值，再代入对应解析式计算即可.解答过程：满足分段函数的条件，因此，可得：，满足的条件，因此，代入计算得：，将代入，得.13.某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________.答案：63解析：思路：由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数.解答过程：由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为，则样本中全部员工的平均体重为，依题意，方差为.化简得，解得或(舍).所以女员工的人数为：

.故63.14.已知且，则的取值范围是_________．答案：解析：思路：由题意得，进一步，结合对勾函数的性质即可得解.解答过程：，则，故，则，令，则，故，设，则在上单调递增，在上单调递减，，故，即．故．四.解答题本题共5小题，共77分15.已知集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用集合的并集运算求解；（2）利用集合的包含关系求解.（1）当时，,所以；（2）由，得，当时，，解得成立；当时，，且，解得，此时，所以实数的取值范围是.16.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）试估计样本成绩的众数和平均数；（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差.答案：（1）（2）众数为75，平均数为74（3）总平均数为60，总方差为23解析：思路：（1）根据各组小矩形的面积之和为1，即可求解；（2）最高小矩形中点的横坐标即为众数，根据平均数的计算公式即可求解平均数；（3）根据分层随机抽样的平均数与方差公式即可求解.（1）各组小矩形的面积之和为1，，.（2）由频率分布直方图可知：众数为75，平均数为.故估计样本成绩的众数为75，平均数为74.（3）由图可知，成绩在的人数为，成绩在的人数为，故两组成绩合并后的总平均数为，总方差为.17.记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角；（2）若，，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理可得，代入已知等式推出，再利用余弦定理化简得出，即可求解；（2）由余弦定理可求出，再利用三角形面积公式即可求解.（1）在中，由余弦定理得.代入已知等式，得.由于，所以.因为，所以.又因为，所以.（2）由余弦定理得.将与代入上式得.故的面积为.18.已知函数．（1）若，求在区间的值域；（2）若方程有两个不等实根，求实数m的取值范围；（3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解；（2）由（1）知利用换元法可得，，，方程有两个不等实根即等价于有两个不等实根且实根均大于零，从而可得，据此可求解；（3）若对任意的，总存在，使得，可得，由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解．（1）当时，，令，因为，所以，所以可得一个二次函数，开口向上，对称轴为，又，所以时，有最小值，而离对称轴更远，所以时，有最大值，所以，所以时，在区间上的值域为．（2）由（1）知当令，，，则，即，又指数函数单调递增，所以有两个不等实根，且此时实根大于零，所以可得，解得，实数m的取值范围为．（3）由题意得，若对任意的，总存在，使得，可得，由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数，所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增，所以当时，有最小值，由（2）知当令，，，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为函数，在时均单调递增，所以函数在时单调递增，所以，所以，即，则实数m的取值范围为．19.如图，四棱锥中，平面平面，.（1）若，，记三棱锥外接球的球心为.（ⅰ）求证：平面；（ⅱ）求三棱锥外接球的表面积.（2）记，，当时，求三棱锥体积的最大值.答案：（1）（）因为平面平面，平面平面，，作，则为的中点，所以平面，因为，，所以底面四边形为菱形，因为，所以，，即，由正弦定理得外接圆的半径为，设外接圆圆心为，则，又，从而与重合，即为外接圆圆心，由三棱锥的外接球的性质，即平面，又平面，所以，因为平面，所以平面.（）（2）解析：思路：（1）（i）首先根据正弦定理求出的外接圆半径，然后确定