2026-2027学年四川省绵阳市三台中学高二上学期开学检测数学试卷（含解析）

/数学满分：116一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1.样本数据8，3，12，5，9，15，6的上四分位数为（）A.8 B.9 C.12 D.152.已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（）A. B. C. D.3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（）A.10 B.12 C.13 D.144.已知圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆锥与球的体积之比为（）A. B. C. D.5.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，下列各单峰的频率分布直方图中，哪个图的平均数明显小于中位数（）A. B.C. D.6.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立事件的是（）．A.至少有1个白球和2个都是白球 B.至少有1个白球和至少有1个红球C.恰有1个白球和恰有2个白球 D.至少有1个白球和2个都是红球7.已知一组数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数和方差分别为（）A.7，8 B.4，2 C.2，4 D.7，78.在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（）A. B.C. D.二、多选题（本大题3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分）9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则在上的投影向量为C.若，则 D.若，则10.已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则11.棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度（均在之间，单位：）并整理如下表：纤维长度区间频数8121930247根据表中数据，下列结论中正确的是（）A.这100根棉花的纤维长度的众数的估计值为235B.这100根棉花中纤维长度不足205的棉花占比超过C.这100根棉花的纤维长度的第一四分位数落在区间内D.这100根棉花的纤维长度的平均数的估计值大于265三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷的横线上）12.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______．13.总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下：6506586154350242354896321552395240，则选出来的第6个个体的编号为______．14.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为______（用“>”连接）.甲乙丙四、解答题（15题13分，16、17题各15分，共43分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．16.在平面直角坐标系中，已知向量，．（1）求向量与向量的夹角；（2）若向量满足且，求的坐标；（3）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．17.某学校举办读书节活动，该校有2000名学生，现随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，分组绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组的中点值作代表）.（1）求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；（2）估计该校学生每周课外阅读的平均时间；（3）若样本数据在与内的方差分别为，，求样本数据在内的方差.

数学满分：116一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1.样本数据8，3，12，5，9，15，6的上四分位数为（）A.8 B.9 C.12 D.15答案：C解析：解答过程：这组数据从小到大排序为3，5，6，8，9，12，15，由知上四分位数为第6个数，即12．2.已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，是夹角为的两个单位向量，则，又，，则.3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（）A.10 B.12 C.13 D.14答案：C解析：解答过程：依题意，抽样比为，则由，解得.4.已知圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆锥与球的体积之比为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由已知用球的半径表示圆锥的底面圆半径和高，分别求出圆锥与球的体积得到比值.解答过程：设球的半径为，则圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的体积为，球的体积，所以.5.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，下列各单峰的频率分布直方图中，哪个图的平均数明显小于中位数（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据频率分布直方图的形态判断数据的偏态，利用偏态分布中平均数与中位数的大小关系进行判定.解答过程：在频率分布直方图中，数据的分布形态决定了平均数与中位数的相对大小：对于A、B：直方图大致对称，数据分布均匀，平均数与中位数大致相等，A、B错误；对于C：若直方图呈现“右偏”分布，即长尾在右侧（大数值方向），极端大值会拉高平均数，使得平均数大于中位数，C错误；对于D：若直方图呈现“左偏”分布，即长尾在左侧（小数值方向），极端小值会拉低平均数，使得平均数小于中位数，D正确.6.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立事件的是（）．A.至少有1个白球和2个都是白球 B.至少有1个白球和至少有1个红球C.恰有1个白球和恰有2个白球 D.至少有1个白球和2个都是红球答案：C解析：思路：由互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可.解答过程：从2红2白中取2个球，所有可能的结果为：2个红球，1红1白，2个白球；选项A：“至少有1个白球”包含“1红1白”和“2个白球”，和“2个都是白球”可以同时发生，不是互斥事件，排除；选项B：“至少1个白球”和“至少1个红球”都包含“1红1白”，可以同时发生，不是互斥事件，排除，选项C：“恰有1个白球”（即1红1白）和“恰有2个白球”不能同时发生，是互斥事件；且存在“2个都是红球”的情况，两个事件都不发生，因此不是对立事件，符合要求，选项D：“至少有1个白球”包含“1红1白”和“2个白球”，和“2个都是红球”不能同时发生，且涵盖了所有可能的结果，必有一个发生，是对立事件，不符合要求.7.已知一组数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数和方差分别为（）A.7，8 B.4，2 C.2，4 D.7，7答案：A解析：解答过程：设原数据为，由题设得原数据的平均数，方差．新数据满足，即．根据平均数的线性运算性质：，其中，可得新数据的平均数为．根据方差的线性运算性质：，其中，可得新数据的方差为．

因此新数据的平均数为7，方差为8．8.在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：结合图形，利用平面向量基本定理化简计算即得.解答过程：由题意，故,根据平面向量基本定理可知，，则.二、多选题（本大题3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分）9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则在上的投影向量为C.若，则 D.若，则答案：BC解析：解答过程：对于A，，故A错误；对于B，若，则，则在上的投影向量为，故B正确对于C，若，则，则，则，故C正确；对于D，若，则，解得，故D错误.10.已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：AB解析：解答过程：对于A，由，得存在过的平面，则，由，得，因此，A正确；对于B，由，，得，B正确；对于C，，当时，满足，此时不成立，C错误；对于D，当，，得或相交，D错误.11.棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度（均在之间，单位：）并整理如下表：纤维长度区间频数8121930247根据表中数据，下列结论中正确的是（）A.这100根棉花的纤维长度的众数的估计值为235B.这100根棉花中纤维长度不足205的棉花占比超过C.这100根棉花的纤维长度的第一四分位数落在区间内D.这100根棉花的纤维长度的平均数的估计值大于265答案：ABC解析：解答过程：A选项，众数的估计值为频率最高区间的中点，频率最高的区间是[205，265)，中点为，A正确；B选项，纤维长度不足205的频数为8+12+19=39，占比为，B正确；C选项第一四分位数（25%分位数）的位置为，累计频数：[25，85)：8，[85，145)：8+12=20，[145，205)：20+19=39，25落在累计频数20到39之间，故第一四分位数在[145，205)内，C正确；D选项，平均数的估计值为各组中点与对应频率的乘积的和：即，D错误.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷的横线上）12.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______．答案：解析：思路：首先利用除法运算化简复数，再求解模即可.解答过程：，所以.13.总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下：6506586154350242354896321552395240，则选出来的第6个个体的编号为______．答案：解析：思路：根据随机数抽样规则可得结果.解答过程：生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的依次有06，35，02，35（重复），32，15，39，40.所以选出来的第6个个体的编号为39.14.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为______（用“>”连接）.甲乙丙答案：解析：思路：看图，得到数据的集中程度，再结合标准差的意义判定.解答过程：根据频率分布直方图知，甲的数据绝大部分都处在两端，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大；乙的数据分布均匀，不如甲组中偏离平均值大，标准差比甲的小；丙的数据大部分都在平均值左右，数据表现的最集中，标准差最小，故.故.四、解答题（15题13分，16、17题各15分，共43分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．答案：（1）连接，交于点O，连接，因为四边形是正方形，所以O为中点，又M为中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）．解析：思路：（1）证明线面平行，常连接对角线构造三角形中位线，得到线线平行，再用判定定理推导线面平行；（2）求线面角，先找平面的垂线确定垂足，找出线面角的平面角，放到直角三角形中计算三角函数值求解角度.（1）略（2）因为平面，平面，所以，又四边形是正方形，所以，因为，、平面，所以平面，连接，则直线与平面所成角的平面角为，又平面，所以，在正方形中，，因为平面，平面，所以，因为，所以，在中，，，所以直线与平面所成角为．16.在平面直角坐标系中，已知向量，．（1）求向量与向量的夹角；（2）若向量满足且，求的坐标；（3）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）或（3）解析：思路：（1）求出向量夹角的余弦值，再结合向量夹角的范围即可得解；（2）由条件设出，再根据列出方程，求出的值即可得解；（3）将条件转化为且与不共线，即可求出的取值范围.（1）设向量与向量的夹角为，则，因为，所