2026-2027学年四川天府新区实外高级中学高三上学期9月月考数学试卷（含解析）

/数学一、单选题1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.已知幂函数，则（）A.8 B.2 C.4 D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.5.若命题：“，”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.6.已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（）A. B. C. D.8.定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（）A. B.在区间上单调递减C. D.二、多选题9.下列关于回归分析的说法正确的是（）A.相关系数表示两个变量正相关，表示负相关B.回归直线必过样本中心点C.残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D.相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强10.已知圆，点，下列说法正确的是（）A.点A在圆外B.点是的定点C.已知，过点B作圆的最短弦长为3D.过点A作圆的切线，则的方程为11.已知函数的定义域为，对于任意的实数，都有.且当时，.则下列结论不正确的是（

）A.B.对于任意的，有C.函数在上单调递增D.若，则不等式的解集为三、填空题12.计算：___________．13.已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______．14.已知函数在上的值域为，若在区间存在实数，满足，且，则的取值范围是__________．四、解答题（77分）15.为深入贯彻《教育强国建设规划纲要（年）》文件精神，全面落实“健康第一”的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一．某校为了解学生体质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了名学生，由样本数据整理得到如下列联表：

体质测试达标体质测试不达标合计男生70

100女生

45

合计

200（1）将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析学生体质健康测试达标是否与学生性别有关；（2）在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取人作进一步调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．附：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年.确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：月份/2019（时间代码）123456人均月纯收入（元）275365415450470485由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，试求出回归直线方程.附：，.17.已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列．（1）求数列的通项；（2）设，且的前项和为，求证：．18.如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围．19.已知函数，.（1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程；（2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：函数有两个零点，（），且满足.

数学一、单选题1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：可知，则.2.已知幂函数，则（）A.8 B.2 C.4 D.答案：A解析：解答过程：由幂函数的定义，知，解得，所以，则.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：分别根据指数函数及对数函数的定义域与单调性得出和，再根据充分必要条件的概念即可作出判断.解答过程：由指数函数在上为单调递增函数，可得，由对数函数定义域为，且在上为单调递增函数，可得，所以是的必要不充分条件，即“”是“”的必要不充分条件.4.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由函数的定义域可知，解出的取值范围，即可得到函数的定义域．解答过程：因为函数的定义域为，函数，所以，解得：或,所以函数的定义域为，故选：D5.若命题：“，”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用全称量词为真命题求出的范围，再取其补集即可得解.解答过程：由，，得当时，对任意实数不恒成立，因此，则，解得，当命题：“，”是假命题时，，所以实数的取值范围是.故选：A6.已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由条件先判断函数的单调性，结合指数函数和一次函数的单调性及单调性的定义列不等式可得答案.解答过程：因为对任意实数，都有成立，所以在上为增函数，所以，解得，所以的取值范围为，故选：C7.若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由已知利用基本不等式“1”的巧用，可求的最小值，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化可求．解答过程：因为正数满足，即，所以，当且仅当，即，时取等号，若不等式恒成立，则，解得，所以实数的范围是.故选：C．8.定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（）A. B.在区间上单调递减C. D.答案：C解析：思路：由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D.解答过程：由为奇函数有：，即，又，所以，所以，即，所以，所以，故A正确；由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称，当时，，作出函数的图像：由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以，所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确；由，又，在单调递减，所以，故C错误；由于，，，，所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确，故选：C.二、多选题9.下列关于回归分析的说法正确的是（）A.相关系数表示两个变量正相关，表示负相关B.回归直线必过样本中心点C.残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D.相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强答案：ABC解析：解答过程：对于A，因为相关系数表示两个变量正相关，表示负相关，所以A正确.对于B，回归直线必过样本中心点，所以B正确.对于C，因为残差平方和是实际值与回归预测值的偏差平方总和，残差平方和越小，说明预测值和实际值的差距越小，模型拟合效果越好，所以C正确;对于D，因为相关系数的取值范围是，且越大，线性相关程度越强，所以D不正确.10.已知圆，点，下列说法正确的是（）A.点A在圆外B.点是的定点C.已知，过点B作圆的最短弦长为3D.过点A作圆的切线，则的方程为答案：AB解析：思路：根据点到圆心的距离与半径比较可得到A，根据定点问题可得到B，当弦垂直于时，弦长最短，可求得C，根据点在圆外有两条切线可判断D.解答过程：圆的圆心为，半径为，A选项，，得出点A在圆外，A正确；B选项，直线，过定点，B正确；C选项，当弦垂直于时，弦长最短，，最短弦长为，C错误；D选项，点A在圆外，过A点作圆的切线有2条，还有一条直线过点A，且与圆相切，D错误；故选：AB．11.已知函数的定义域为，对于任意的实数，都有.且当时，.则下列结论不正确的是（

）A.B.对于任意的，有C.函数在上单调递增D.若，则不等式的解集为答案：C解析：思路：令，，结合可求得，知A正确；令，由可推导证得B正确；令，由可知C错误；将所求不等式转化为，结合单调性可得自变量大小关系，解一元二次不等式可知D正确.解答过程：对于A，令，，则；由时，得：，，A正确；对于B，令，则；当时，，，，对于任意，，B正确；对于C，设，；，，即，又，，在上单调递减，C错误；对于D，，，则可化为：，又在上单调递减，，即，解得：，即不等式的解集为，D正确.故选：C.三、填空题12.计算：___________．答案：11解析：解答过程.13.已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______．答案：解析：思路：先根据直线经过左焦点，求出，再根据椭圆定义结合的周长为8，求出，进而求出椭圆的标准方程；联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，根据弦长公式即可求出弦长.解答过程：设左焦点为，又直线经过左焦点，则，因为的周长为8，由椭圆定义可得，所以，又，所以，因此椭圆标准方程为，设，联立方程，化简得，则，根据弦长公式可得.14.已知函数在上的值域为，若在区间存在实数，满足，且，则的取值范围是__________．答案：解析：思路：根据条件分析出的值，画出分段函数的图象，即可得到取值范围.解答过程：当时，在内单调递减，则，且；若在上的值域为，则在上的最值点在内，可知的图象对称轴为，当，即时，则在内最大值小于0，不成立；当，即时，的最大值为，可得（负值舍去），令，解得或，又，结合的图像可知的取值范围是．当，即时，此时在内没有最大值.综上所述，的取值范围是.故四、解答题（77分）15.为深入贯彻《教育强国建设规划纲要（年）》文件精神，全面落实“健康第一”的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一．某校为了解学生体质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了名学生，由样本数据整理得到如下列联表：

体质测试达标体质测试不达标合计男生70

100女生

45

合计

200（1）将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析学生体质健康测试达标是否与学生性别有关；（2）在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取人作进一步调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．附：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）

体质测试达标体质测试不达标合计男生7030100女生5545100合计12575200依据小概率值的独立性检验，认为学生体质健康测试达标与性别有关.（2）的分布列为：012数学期望（或1.2）.解析：思路：（1）注意和作比较；（2）利用超几何分布进行计算.（1）由题意得：男生体质测试不达标为人，女生合计为人，女生体质达标为人，体质测试达标合计人，体质测试不达标合计人，列联表如下：

体质测试达标体质测试不达标合计男生7030100女生5545100合计12575200因为，所以依据小概率值的独立性检验，认为学生体质健康测试达标与性别有关。（2）体测不达标的男女比例为，所以抽取男生2人，女生3人，所以抽取2人，女生的人数为，则可能取值为，，，，所以的分布列为：012数学期望.16.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年.确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：月份/2019（时间代码）123456人均月纯收入（元）275365415450470485由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，试求出回归直线方程.附：，.答案：（1）图象见解析；中位数为（千元）；平均数（千元）；（2）.解析：思路：（1）首先由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在的频率为0.18，可补全频率分布直方图，再由中位数，平均数的概念结合图表分别算出；（2）由数据代入公式可求得回归直线方程.解答过程：（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在的频率为0.18，所以频率分布直方图如下：中位数为：（千元）（或：设中位数为，则，解得：）平均数（千元）.（2）解：由题意得：，，，，所以..所以回归直线方程为.方法提示：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.17.已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列．（1）求数列的通项；（2）设，且的前项和为，求证：．答案：（1）（2）由（1）得，则，于是，两式相减得，，因此，因为，所以．解析：思路：（1）借助等差中项建立方程求出等比数列的公比，再结合前三项和得到首项，最后根据等比数列通项公式即可得到；（2）先化简，根据的特点利用错位相减法进行求和，最后通过放缩即可证明.（1）设是等比数列的公比，由题可得，即，则，解得，由，得，解得，所以数列的通项．（2）略18.如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围．答案：（1）因为，，，易得，所以，即，又因为平面，平面，所以，，平面，平面，所以平面.（2）