2026-2027学年上海市华东师范大学张江实验中学高二（上）阶段练习数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年上海市华东师范大学张江实验中学高二（上）阶段练习数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共4小题，共16分。1.已知点A，B在直线l上，直线l⊄平面α，则“直线l//平面α”是“点A，B到平面α的距离相等”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知直线l与平面α相交，则下列命题中，正确的是（）A.平面α内的所有直线均与直线l异面 B.平面α内存在与直线l垂直的直线

C.平面α内存在直线与直线l平行 D.平面α内所有直线均与直线l相交．3.如图已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）

​​​​​​​A.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1

B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN∥平面ABCD

C.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD

D.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN⊥平面BDD1B14.以下命题中真命题的是（）A.所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B.有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱

C.侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D.各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.若点A∈平面α，点B∈平面α，则直线AB

平面α.（填合适的符号）6.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=2，O′B′=3，∠A'O'B'=45°，则原△AOB的面积为

.

7.小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：

①两条异面直线所成的角；

②直线与平面所成的角；

③二面角.

则上述各种“角”的取值范围是[0，π]的有

.（请填写序号）8.设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题：

①若A∈l,A∈α，B∈l,B∈α，则l⊂α；

②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=AB；

③若l⊂α，A∈l,则A∉α；

④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合.

其中假命题的序号是

.9.在四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为边BC、AD的中点.若，则直线AB与CD所成的角的大小为

.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，AA1=1，则二面角B1-AC-B的大小为

.11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,直线AA1到平面BB1D1D的距离为

.12.将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积的增加值为

.13.正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，N为线段AC的中点，M为线段DD1上一动点，则A1M+MN的最小值为

.14.空间不共线的四个点可确定

个平面．15.已知正六棱柱的每条棱长都为1，则该正六棱柱的体积为

.

16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为2，点P为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线BD1与AP所成角的最小值为

.

三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和C1D1的中点．

（1）证明：E，F，D，B四点共面；

（2）证明：BE，DF，CC1三线共点．18.(本小题8分)

已知圆柱的底面面积是S，侧面展开图是一个正方形，求：

（1）用S表示该圆柱底面的半径：

（2）该圆柱的表面积和体积.19.(本小题8分)

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AB，BC的中点.

（1）证明：直线A1E与B1F是异面直线；

（2）求异面直线A1E与B1F所成角.20.(本小题10分)

如图几何体中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，求证：

（1）平面PDCE⊥平面PAD；

（2）平面BCE∥平面PAD.21.(本小题14分)

如图1，在△ABC中，AB=BC=，∠BAC=30°，D是线段AC上一点，且BD⊥AB；将△BCD沿着BD翻折至△BPD，得到如图2所示的三棱锥P-ABD，记二面角P-BD-A的大小为α；

（1）求BD的长度；

（2）当α=时，求直线AP与平面ABD所成角的正切值；

（3）当时，在翻折的过程中：

①求点P的运动轨迹的长度；

②求线段AP长的取值范围.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】⊂

6.【答案】6

7.【答案】③

8.【答案】③

9.【答案】

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】12a2

13.【答案】

14.【答案】一个或四个

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】证明：（1）如图，连接EF，BD，B1D1，

∵EF是△B1C1D1的中位线，∴EF∥B1D1，

∵BB1与DD1平行且相等，∴四边形BDD1B1是平行四边形，

∴BD∥B1D1，∴EF∥BD，

∴E，F，D，B四点共面；

（2）∵EF∥BD，且EF≠BD，∴直线BE和DF相交，

延长BE，DF，设它们相交于点P，

∵P∈直线BE，直线BE⊂平面BB1C1C，∴P∈平面BB1C1C，

∵P∈直线DF，直线DF⊂平面CDD1C1，∴P∈平面CDD1C1，

∵平面BB1C1C∩平面CDD1C1=CC1，∴P∈CC1，

∴BE，DF，CC1三线共点．

18.【答案】解：（1）设该圆柱底面的半径为R，圆柱的高为h,

则S=πR2，所以．

（2）圆柱的表面积为，

圆柱的体积为．

19.【答案】（1）证明：由题意知，B1F∩平面ABB1A1=B1，

因为A1E⊂平面ABB1A1，B1∉A1E，

所以直线A1E与B1F是异面直线．

（2）解：取AD中点G，连接A1G，GE，GF，

因为F是BC中点，所以GF∥AB∥A1B1且GF=AB=A1B1，

所以四边形A1B1FG为平行四边形，

所以A1G∥B1F，

所以∠EA1G或其补角即为直线A1E与B1F所成角，

由勾股定理知，，，

在△A1GE中，由余弦定理得，，

所以∠EA1G=，

所以异面直线A1E与B1F所成角为．

20.【答案】证明：（1）因为四边形ABCD为正方形，所以AD⊥DC，

因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以PD⊥AD，

又PD∩DC=D，PD，DC⊂平面PDCE，

所以AD⊥平面PDCE，

而AD⊂平面PAD，

所以平面PDCE⊥平面PAD．

（2）因