江苏省南通市部分校2026-2027学年高一（上）阶段检测数学试卷（10月份）(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年江苏省南通市部分校高一（上）阶段检测数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（）A.∀x∈R，x2+x+1≤0 B.∃x∈R，x2+x+1≤0

C.∃x∈R，x2+x+1＜0 D.∃x∈R，x2+x+1＞02.已知集合，且，则M等于

A. B.2，3， C.2，3， D.2，3，3.不等式-x2+2x-4＞0的解集是（）A.R B.∅ C.（0，+∞） D.（-∞，0）4.若x＞1，则函数y=x+的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.55.若关于x的方程x2-4ax+3a2=0的一根小于1，另一根大于1，则a的取值范围是（）A. B. C.（1，3） D.（-3，-1）6.有限集合S中元素的个数记作card（S），设A，B都是有限集合，则“A∩B=∅”是“card（A∪B）=card（A）+card（B）”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.某超市计划提高某商品的售价，已知m＞n＞0，下列方案中，使该商品的售价最高的是（）A.先提价m%，再提价n% B.先提价n%，再提价m%

C.提价两次，每次都提价 D.一次性提价（m+n）%8.某同学调查了本校180名同学，以了解暑假观影情况，结果显示：有60人观看了《蜘蛛侠》，有80人观看了《八仙》，有40人观看了《功夫女足》，有20人观看了这三部电影，恰好有40人观看了其中两部，则未观看任何一部电影的同学人数是（）A.20 B.40 C.60 D.80二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知a＞b＞0，b＞c,则（）A. B.ac2＞bc2 C. D.a+c＞b-c10.若a＞0，b＞0，a+b=2，则（）A.ab≤1 B. C. D.2a+b2≥311.设全集U=R，集合A，B是R的两个子集，对于任意x∈R，定义下列选项中能推出A=∁UB的是（）A.对于任意x∈U，都有m+n=0 B.对于任意x∈U，都有m+n=1

C.对于任意x∈U，都有 D.对于任意x∈U，都有m（n-1）=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.写一个分式不等式，其解集为（-∞，-1]∪（2，+∞）：

.13.若“∃x∈（0，3），x2-ax+2≤0”为假命题，则实数a的取值范围是

.14.已知对任意x∈R，记[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]=1，[-1.4]=-2.设{x}=x-[x]，若x∈（-1，1），则不等式2[x]×{x}+1≥x+{x}的解集为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知集合A={x|x≤-1或x≥5}，集合B={x|2a≤x≤a+2}．

（1）若a=-1，求A∩B和A∪B；

（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．16.(本小题15分)

设a∈R，已知命题p：关于x的方程ax2+2x+a=0有两个不相等的正根；命题q：对任意实数x,x2-（a-1）x+1＞0恒成立.

（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；

（2）证明：p是q的充分不必要条件.17.(本小题15分)

如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，点P在边AD上，点Q为边AB的中点，∠CPQ=90°.

（1）若P为边AD的中点，求矩形ABCD的面积；

（2）求边BC长度的取值范围；

（3）求△CPQ面积的最小值.18.(本小题15分)

设关于x的不等式（m+a）x2+（m-b）x-1≥0的解集为A.

（1）若，且a＞0，b＞0，求的最小值；

（2）若a+b=1，求集合A；

（3）若A为单元素集，求a+b的最大值.19.(本小题17分)

已知有限集A={a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），若A中的元素ai（i=1，2，…，n）满足a1+a2+…+an=a1×a2×…×an，则称A是“和谐集”.

（1）证明：集合是“和谐集”；

（2）若{a1，a2}是“和谐集”且a1＞0，a2＞0，证明：a1，a2至少有一个大于2；

（3）若ai为正整数，求“和谐集”A.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】BC

12.【答案】（答案不唯一）

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）a=-1，B={x|-2≤x≤1}．

∴A∩B={x|-2≤x≤-1}，A∪B={x|x≤1或x≥5}；

（2）由A∩B=B，得B⊆A，

若2a＞a+2，即a＞2，B=∅，满足B⊆A；

当2a≤a+2，即a≤2时，要使B⊆A，

则a+2≤-1或2a≥5，解得a≤-3．

∴使A∩B=B的a的取值范围是a≤-3或a＞2．

16.【答案】解：（1）由题意可知Δ=（a-1）2-4＜0，解之得-2＜a-1＜2，即-1＜a＜3，

所以a∈{a|-1＜a＜3}；

（2）证明：若关于x的方程ax2+2x+a=0有两个不相等的正根，设为x1，x2

则，解得-1＜a＜0，

结合（1）可知q为真命题时，a∈{a|-1＜a＜3}

易知{a|-1＜a＜0}是{a|-1＜a＜3}的真子集，

所以p是q的充分不必要条件．

17.【答案】解：（1）在矩形ABCD中，已知AB=4，点P在边AD上，点Q为边AB的中点，∠CPQ=90°，

以B点为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图平面直角坐标系，

则

B（0，0），A（0，4），C（a,0），D（a,4），其中BC=a＞0为矩形的水平边长，

由Q是AB中点，得Q（0，2），点P在AD边上，设P（t,4），其中t∈[0，a]，

则|PQ|2=t2+4，|PC|2=（a-t）2+16，|CQ|2=a2+4，

又∠CPQ=90°，

所以|PQ|2+|PC|2=|CQ|2，代入|PQ|2=t2+4，|PC|2=（a-t）2+16，|CQ|2=a2+4，

化简整理得：t2-at+8=0，

当P是AD中点，P的横坐标，

代入t2-at+8=0得：，

化简得：，解得a2=32，即（边长为正），

矩形ABCD的面积为；

（2）由（1）知点P存在于边AD上，等价于方程t2-at+8=0在t∈[0，a]上有实根，

方程有实根的前提是判别式非负，即，

当时，

二次函数f（t）=t2-at+8的对称轴为，且f（0）=8＞0，f（a）=8＞0，

因此当Δ≥0时，两个实根必然都落在（0，a）区间内，符合P在AD边上的要求，

因此BC的取值范围是；

（3）由勾股定理得：|PQ|2=t2+4，|PC|2=（a-t）2+16，

又t2-at=-8，可得，代入得，

因为△CPQ是直角三角形（直角在P），

所以

，当且仅当，即t=2时取等号，

此时由，得成立，

故△CPQ面积的最小值为8．

18.【答案】（1）解：由关于x的不等式（m+a）x2+（m-b）x-1≥0的解集为A，

若，且a＞0，b＞0，

当x=-1时，（m+a）×（-1）2+（m-b）×（-1）-1=0，解得：a+b=1，

所以，当且仅当时取等号，此时取得最小值为4．

（2）令f（x）=（m+a）x2+（m-b）x-1=（m+a）x2+（m+a-1）x-1=[（m+a）x-1]（x+1）≥0，

若m+a≠0，令f（x）=0，解得，x2=-1，

①当x1＞0，即：m+a＞0时，x1＞x2，此时令f（x）≥0，解得或x≤-1；

②当x1＜-1，即：-1＜m+a＜0时，x1＜x2，此时令f（x）≥0，解得；

③当x1=-1，即：m+a=-1时，x1=x2，此时令f（x）≥0，得x=-1；

④当x1＞-1，即：m+a＜-1时，x1＞x2，此时令f（x）≥0，解得．

若m+a=0，则x+1≤0，即：x≤-1；

综上所述，解集为：．

（3）解：当解集为单点时，f（x）=0有且只有一解，且抛物线开口朝下，即：m+a＜0，且Δ=（m-b）2+4（m+a）=0，

展开得：m2+（4-2b）m+4a+b2=0，即：关于m的一元二次方程有实根，则Δ′=（4-2b）2-4（4a+b2）≥0，

解得：a+b≤1，当且仅当Δ′=0时取等号，此时a+b的最大值为1．

19.【答案】解：（1）证明：易知，

满足和谐集的定义，所以集合是“和谐集”；

（2）证明：根据“和谐集”的定义知a1a2=a1+a2（a1≠a2），所以（a1-1）（a2-1）=1，

则a1-1，a2-1同号，

设a1≤2，a2≤2，所以-1＜a1-1≤1，-1＜a2-1≤1，

若-1＜a1-1＜0，-1＜a2-1＜0，则（a1-1）（a2-1）＜1，不符题意；

若0＜a1-1≤1，0＜a2-1≤1，则（a1-1）（a2-1）≤1，当且仅当a1-1=a2-1=1取得等号，

但a1=a2不符集合元素的互异性，即a1，a2不能均小于等于2，

故a1，a2至少有一个大于2；

（3）不妨设A={a1，a2，⋯，an}（n≥2，n∈N）中的元素满足a1＜a2＜a3＜⋯＜an的正整数，

结合a1+a2+⋯+an=a1×a2×⋯×an得，a1×a2×⋯×an＜n×an，

即a1×a2×⋯×an-1＜n,再由于n≥2，

所以当n=2时，有a1＜2，由于a1是正整数，则a1=1，

再由“和谐集”定义得：1+a2=1×a2，显然a2无解，即当n=2时，不存在“和谐集”；

当n=3时，结合上面结论可得：a1×a2＜3，

又由于a1，a2是不相等正整数，则只有a1=1，a2=2，

再由“和谐集”定义得：1+2+a3=1×2×a3，解得a3=3，

即当n=3时，仅存在一个“和谐集”为{1，2，3}；

当n≥4时，由a1×a2×⋯×