27.2.3 相似三角形应用举例教学设计（初中九年级数学）

27.2.3相似三角形应用举例教学设计（初中九年级数学）【课标定位与教材分析】本节课是人教版九年级下册第二十七章第三节内容，属于“图形与几何”领域“图形的相似”板块。课程标准对本节内容的要求是：会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。教材在系统学习相似三角形的判定与性质后，专门设置应用举例，意在引导学生经历“建模—解模—验模”的完整过程，体会相似三角形作为测量工具的现实价值。本节内容承上启下，既是对相似三角形判定与性质的综合运用，又为后续学习锐角三角函数、解直角三角形奠定转化思想基础。与旧版教材相比，人教版新教材更加强调真实问题情境的创设，突出数学的应用意识与建模素养，因此在教学设计中应着力于引导学生从生活情境抽象出数学问题，再运用相似知识加以解决。【学情分析】九年级学生已经系统学习了相似三角形的定义、判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）以及相似三角形的性质（对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）。在认知发展水平上，初三学生具备一定的抽象逻辑思维能力，但将实际问题转化为数学模型的意识还比较薄弱，尤其是面对测量旗杆高度、河宽、盲区等问题时，往往不知从何处下手。同时，学生在物理课中已接触过光的直线传播原理，这为本节课中利用影子测高、利用反射测距提供了跨学科的知识支撑。因此，教学的重点不在于机械记忆步骤，而在于引导学生经历“实物—图形—符号”三重表征的转化过程，掌握相似建模的基本策略。【教学目标】一、知识与技能目标1.学生能够从实际情境中抽象出相似三角形的数学模型，并运用相似三角形的判定与性质解决测量高度、距离等实际问题。2.学生掌握利用影子测高、利用标杆测高、利用平面镜反射测距、利用相似三角形测河宽等四类基本问题模型，并能规范书写解题过程。3.学生能够根据实际条件选择适当的测量方案，并理解不同方案各自的适用条件与局限性。二、过程与方法目标1.经历“实际问题—画图建模—寻找相似—列式计算—检验反思”的完整探究过程，体会建模思想在解决实际问题中的核心作用。2.通过小组合作设计测量方案并交流评价，发展合作交流能力与批判性思维。3.学会将复杂的实际问题分解为若干基本相似模型，培养化归与转化的数学思维。三、情感态度与价值观目标1.感受相似三角形知识在现实生活（如建筑测量、工程设计、光学现象等）中的广泛应用，增强数学应用意识。2.通过古代测量问题（如刘徽《海岛算经》）的引入，体会中华优秀传统文化中的数学智慧，增强民族自豪感与文化自信。3.在小组实践中养成严谨求实的科学态度，体验数学活动的探索性与创造性。【教学重难点】重点：将实际测量问题抽象为相似三角形模型，并利用相似性质进行计算。难点：在实际情境中准确识别对应边、对应角，合理构造辅助线以形成相似三角形。【教学方法与媒体】采用“问题驱动—活动探究—变式拓展—反思建构”的教学模式，综合运用启发式教学、小组合作学习以及多媒体辅助教学。课前准备：竹竿（或标尺）、皮尺、平面镜、多媒体课件、导学案。课堂中利用几何画板动态演示测量方案的生成过程，帮助学生直观理解模型的构造思路。【教学过程】第一环节：情境导入，唤醒经验（约5分钟）课件呈现校园旗杆的实景照片，提出问题：“同学们，我们学校旗杆的高度大约是多少？如果给你一根2米长的竹竿和一把皮尺，你能测量出旗杆的高度吗？”学生自由发言，有的学生提到爬上旗杆测量（不现实），有的想到用影子（初步直觉）。教师充分肯定学生的直觉，追问：“用影子测高的道理是什么？其中蕴含着什么数学知识？”由此引出课题——相似三角形应用举例。设计意图：以校园真实场景切入，激发探究欲望，同时唤起学生对影子与物体高度关系的感性经验。第二环节：探究活动一——利用影子测高（约15分钟）问题1（基础模型）：在阳光下，测得一根长为2米的竹竿的影长为1.5米，同时测得旗杆的影长为12米，求旗杆的高度。学生独立思考后，请一名学生板演，其余学生在学案上完成。板演过程如下：解：如图所示，AB表示旗杆，BC表示旗杆的影子；DE表示竹竿，EF表示竹竿的影子。由光的直线传播可知，同一时刻太阳光线互相平行，即AE∥DF。因为AE∥DF，所以∠AEB＝∠DFC（两直线平行，同位角相等）。又因为∠ABE＝∠DEF＝90°（旗杆和竹竿均垂直于地面），所以△ABE∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似）。由相似三角形对应边成比例，得AB/DE＝BE/EF，即AB/2＝12/1.5。计算得AB＝16米。答：旗杆的高度为16米。教师引导学生总结上述模型的关键条件：①同一时刻；②阳光可视为平行光；③旗杆与竹竿均垂直于地面。三个条件缺一不可，并强调“同一时刻”是保证影子长度比例关系成立的前提。变式拓展（易错点辨析）：如果旗杆的影子有一部分落在台阶上（投影呈现图形：旗杆AB，影子BC落在地面上，CD落在与地面平行的台阶上），已知BC＝8米，CD＝2米，此时还能用简单的比例直接计算吗？学生分组讨论，发现不能直接套用原模型，需要将落在台阶上的影子CD平移至地面的延长线上，即旗杆的总影子长度为BE＝BC＋CE，其中CE＝CD＝2米。实际上，由于台阶面与地面平行，影子的水平投影长度需要叠加。学生重新运用相似模型计算。设计意图：通过变式训练，提醒学生“影子不都在同一水平面”时的处理方法，突破机械套用公式的思维定式，培养灵活建模能力。第三环节：探究活动二——利用标杆测高（约15分钟）问题2（提升模型）：一名同学身高1.7米，他站在距旗杆底部20米远的地方，眼睛距地面1.6米。他向前伸出标杆（标杆垂直于地面），调整标杆位置，使自己的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端三点恰好在同一条直线上。此时标杆底部距离该同学0.4米，标杆高2.2米。求旗杆的高度。教师引导学生在学案上画出示意图，并标注已知数据。学生尝试独立完成，教师巡视指导，发现多数学生的困难在于如何构造相似三角形。师生共同分析：设眼睛为点A，标杆顶端为点B，旗杆顶端为点C，眼睛到标杆底部的水平距离为AE＝0.4米，眼睛到旗杆底部的水平距离为AD＝20米，标杆高BE＝2.2米，眼睛高度AG＝1.6米。过点A作水平线交BE于点F，交CD于点H，则BF＝BE－EF＝2.2－1.6＝0.6米，CH＝CD－DH（DH＝AG＝1.6米）。因为AB与AC共线，且BF⊥AH，CH⊥AH，所以BF∥CH，故∠ABF＝∠ACH，∠AFB＝∠AHC＝90°，于是△ABF∽△ACH。由对应边成比例，得AF/AH＝BF/CH。其中，AF＝0.4米，AH＝AF＋FH（FH为标杆到旗杆的水平距离）＝0.4＋（20－0.4）＝20米。代入得0.4/20＝0.6/CH，解得CH＝30米。所以旗杆高度CD＝CH＋DH＝30＋1.6＝31.6米。答：旗杆的高度约为31.6米。教师强调此模型与影子测高的区别：标杆测高不依赖影子，在阴天或晚上也能使用，适用范围更广。同时强调一个关键操作：必须保证眼睛、标杆顶端、目标顶端三点共线，这是构造相似三角形的保证。学生小组交流：比较影子测高与标杆测高的异同，填写对比表（如下表1）。表1两种测高方法的对比方法 所需工具 适用条件 相似依据 需要测量的量影子测高 竹竿、皮尺 晴天有阳光，地面平坦 两角分别相等 竹竿长、竹竿影长、目标影长标杆测高 标杆、皮尺 不受天气限制，可测较高目标 两角分别相等 标杆高、眼睛高、水平距离、标杆到人距离设计意图：通过两种测高方法的对比，引导学生体会实际问题的条件不同，所采用的方案也应随之调整，发展策略选择能力。第四环节：探究活动三——利用平面镜反射测距（约10分钟）问题3（跨学科情境）：为测量一条河的宽度，一名同学在河对岸选定一个目标点A（如一棵树），在河这边选定点B，使AB垂直于河岸。他在点B处竖立一面平面镜，然后沿着与河岸平行的方向后退至点C，恰好从平面镜中看到对岸的树顶A的像。已知该同学眼睛距地面的高度为1.6米，BC＝3米，他距河岸的距离为2米，求河的宽度（即点B到对岸岸边的距离）。教师利用几何画板动态演示光路图：入射光线AB经过平面镜反射后进入人眼，根据光的反射定律，入射角等于反射角。结合平面镜的镜面与地面垂直，引导学生得出：∠ABN＝∠CBN′（这里的角是光线与镜面的夹角）。进而引导学生将问题转化为相似三角形问题。学生构造出Rt△ABO与Rt△CDO（其中O为镜面位置），因为∠AOB与∠COD为反射角与入射角的余角，且由反射定律可知这两个角相等，所以△AOB∽△COD。量得BO＝2米（同学距镜面距离加上镜面距河岸距离），OD＝3米，CD＝1.6米，则由相似得AB/BO＝CD/OD，即AB/2＝1.6/3，解得AB≈1.07米。该结果即为树顶到镜面的垂直高度（严格意义上是眼睛反射点与树顶的竖直高差），进一步通过实际测量树距水面的高度可算得河宽。本问题的核心在于建立反射模型，教师可根据学生掌握情况适当调整数据，重在让学生理解反射定律中的角相等转化为三角形相似的过程。设计意图：借助物理光学知识实现跨学科融合，拓宽学生视野，让学生看到相似三角形在不同学科领域中的工具价值。第五环节：综合建模与变式训练（约20分钟）问题4（开放探究）：如图，某同学为了测量学校池塘的宽度AB（A、B分别为池塘两端），他先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝AC；连接BC并延长到点E，使CE＝BC。连接DE并测量出DE的长为18米。请问池塘的宽度AB是多少米？学生经过前面的学习，已经具备一定的建模经验。先引导学生分析：由CD＝AC，CE＝BC，且∠ACB＝∠DCE（对顶角相等），根据两边成比例且夹角相等，可得△ABC∽△DEC，且相似比为AC/DC＝1，即△ABC≌△DEC，所以AB＝DE＝18米。教师进一步追问：如果条件改为CD＝2AC，CE＝2BC，那么AB与DE有何关系？学生迅速得出AB＝DE/2，即DE＝2AB。由此引导学生理解：通过构造相似三角形，可以把不可直接测量的距离转化为可测的距离，这是测量中常用的“间接测量法”。变式训练（学案完成）：如图，一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5米有一棵树，在河的对岸每隔50米有一根电线杆。在这岸离开岸边25米处看对岸，看到对岸相邻两根电线杆恰好被这岸两棵树遮住，且在这两棵树之间还有三棵树。求河宽。学生分析题意，画出示意图。设河宽为x米，则观察者到对岸的距离为(x＋25)米。两棵树之间的距离为5×4＝20米（第一棵树到第五棵树之间共有4个间隔，注意“还有三棵树”意味着两棵遮视线的树之间共有5棵树，间隔为4段）。对岸两根电线杆的距离为50米。由平行线分线段成比例或者相似三角形知识可得：20/50＝25/(x＋25)，解得x＋25＝62.5，故x＝37.5米。此变式题综合性较强，学生需要仔细审题，理清“遮住”的几何意义，教师巡视指导，重点关注学生画图是否准确。设计意图：变式训练层层递进，从全等到相似，从直接测量到间接构造，让学生经历不同复杂程度的建模过程，逐步形成解题策略。第六环节：文化浸润与实际应用拓展（约8分钟）教师利用课件介绍《海岛算经》中的测量问题：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？”（用白话文解释其大意：要测量海岛的高度，竖立两根等高的标杆，前后相距1000步，分别后退观测，使眼睛、标杆顶端、岛峰三点共线，通过两次后退距离的差来计算岛高。）教师引导学生发现，这就是标杆测高法的古代版本，我国魏晋时期数学家刘徽早在1700多年前就提出了这一科学的测量方法，比西方类似的测量方法早了数百年。学生在感叹古人智慧的同时，进一步认识到数学知识的源远流长。随后，教师展示生活中相似三角形应用的若干图片：建筑设计中的三角形桁架、地图比例尺、摄影师利用相似三角形测距原理的估焦、医生利用相似三角形原理的视力表设计等。帮助学生理解本课知识应用的广泛性。第七环节：课堂小结与反思（约7分钟）以学生为主体进行知识梳理，教师引导归纳：4.知识层面：今天学习了四类基本应用模型——影子测高（平行投影）、标杆测高（三点共线）、平面镜反射（光学反射）、构造相似三角形测距。它们都是利用相似三角形的判定（重点是两角分别相等）和性质（对应边成比例）来解决问题。5.方法层面：解决实际问题的关键步骤是什么？师生共同总结为五步：①审题，理解实际情境；②画图，将实物抽象为几何图形；③建模，找出（或构造）相似三角形；④计算，利用相似比求解未知量；⑤检验，看结果是否符合实际。6.思想层面：本节课贯穿了建模思想、转化思想（实际问题转化为数学问题、不可测转化为可测）以及数形结合思想。学生完成学案上的自我评价量表，从知识掌握、合作参与、建模意识三个维度进行反思。第八环节：分层作业（弹性要求，布置于课后）基础作业（必做）：教科书配套练习中关于测高、测距的基础题目4题，要求规范书写解题过程。拓展作业（选做）：以小组为单位，实际测量学校操场边的旗杆或教学楼高度，要求至少设计两种不同的测量方案，比较两种方案的误差来源与精度，形成一份简要的测量报告。实践作业（个性化）：查找资料，了解相似三角形在“北斗导航系统”测距或“卫星遥感”成像中的应用，写一篇200字左右的科普短文。【教学评价设计】本课采用过程性评价与终结性评价相结合的方式。过程性评价重点关注：学生在小组活动中的参与度（如是否能主动提出测量思路）、建模准确性（示意图是否规范、相似三角形找得是否准确）、计算严谨性（单位统一、比例式书写是否规范）。终结性评价通过课堂练习、导学案完成质量以及课后实践报告进行综合判断。评价标准如表2所示。表2课堂学习评价量表评价维度 优秀（★★★★） 良好（★★★） 达标（★★） 待提高（★）建模能力 能独立从新情境中抽象出相似模型，构造辅助线合理 能在提示下完成建模 能模仿基