中国精算师职业资格考试（准精算师概率论与数理统计）模拟试题及答案 (2026年绍兴)

中国精算师职业资格考试（准精算师概率论与数理统计）模拟试题及答案(2026年绍兴)一、单项选择题（每题2分，共30题，共60分）1.设A、B为两个随机事件，已知P(A)=0.4，A.0.2B.0.4C.0.5D.0.62.设随机变量X∼BA.3.0B.5.1C.6.0D.2.13.设二维连续型随机变量(X$$f(x,y)=

\begin{cases}

4xy,&0<x<1,\0<y<1,\\

0,&\text{其他},

\end{cases}$$则PA.1B.1C.1D.3答案：A解析：$$P\left(X<\frac{1}{2},Y<\frac{1}{2}\right)

=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{\frac{1}{2}}4xy\,dx\,dy

=4\left(\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}\right)

=\frac{1}{16}.$$4.设事件A与B相互独立，P(A)=A.0.18B.0.42C.0.30D.0.725.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{XA.1B.2C.3D.46.设随机变量X∼N(0,1)，YA.NB.NC.ND.N7.设总体X∼N(μ,σ2A.NB.tC.χD.F8.设随机变量X的概率密度为$$f(x)=

\begin{cases}

2x,&0<x<1,\\

0,&\text{其他},

\end{cases}$$则EA.1B.2C.3D.4答案：B解析：E9.某工厂产品的不合格率为0.1，现随机抽取10个产品，则恰好有2个不合格品的概率最接近A.0.1937B.0.3487C.0.3874D.0.0574P10.设X∼UA.1B.1C.1D.311.设随机变量X的矩母函数为M(t)A.3和2B.3和4C.2和3D.4和312.下列关于大数定律的说法正确的是A.伯努利大数定律说明事件发生的概率趋于频率B.辛钦大数定律要求随机变量同分布但不需要相互独立C.切比雪夫大数定律要求随机变量相互独立且方差一致有界D.大数定律保证了样本均值几乎处处收敛于总体均值13.设总体X的均值为μ，X1,…A.1B.1C.1D.max14.设θ是参数θ的极大似然估计，g(θ)是θA.gB.1C.gD.不能确定15.假设检验中，显著性水平α是指A.原假设为真时拒绝原假设的概率B.原假设为假时接受原假设的概率C.原假设为假时拒绝原假设的概率D.原假设为真时接受原假设的概率16.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则对任意s>0，tA.eB.eC.1D.117.设事件A与B互斥，P(A)=A.0.12B.0.58C.0.70D.0.7218.设随机变量X的期望E(XA.5B.5C.ED.819.设随机变量X与Y相互独立，E(X)=A.1B.2C.3D.0.520.设X∼N(μ,A.NB.NC.ND.N21.设X∼B(n,p)A.泊松分布B.正态分布C.指数分布D.均匀分布22.设[X−1.96A.该区间有95%的概率包含μB.重复抽样多次，约有95%的区间包含μC.μ落在该区间内的概率为95D.该区间长度与μ有关23.设总体X∼N(μ,A.XB.XC.XD.X24.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则DA.λB.λC.2D.λ25.设随机变量X与Y的方差分别为D(X)=4，A.1B.5C.7D.13Cov故D26.设随机变量X的方差为σ2，由切比雪夫不等式，对任意εA.PB.PC.PD.P27.设总体X服从参数为p的0-1分布，X1,…A.maxB.minC.XD.128.假设检验中，p值的正确解释是A.在原假设成立时，观察到检验统计量当前值或更极端值的概率B.原假设为真的概率C.备择假设为真的概率D.犯第二类错误的概率29.设P(A)=0.5，A.4B.3C.2D.5P故P30.同时投掷两枚均匀骰子，掷得点数之和为8的概率是A.1B.5C.1D.7二、计算题（每题10分，共4题，共40分）1.设随机变量X的概率密度为$$f(x)=

\begin{cases}

kx(1-x),&0<x<1,\\

0,&\text{其他}.

\end{cases}$$求：(1)常数k；(2)E(X)(3)PX答案：(1)由规范性$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx

=\int_{0}^{1}kx(1-x)\,dx

=k\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)

=\frac{k}{6}=1,$$得k=(2)$$E(X)=\int_{0}^{1}6x^2(1-x)\,dx

=6\int_{0}^{1}(x^2-x^3)\,dx

=6\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)

=\frac{1}{2},$$$$E(X^2)=\int_{0}^{1}6x^3(1-x)\,dx

=6\int_{0}^{1}(x^3-x^4)\,dx

=6\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)

=\frac{3}{10},$$故$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

=\frac{3}{10}-\frac{1}{4}

=\frac{1}{20}=0.05.$$(3)$$P\left(X>\frac{1}{2}\right)

=\int_{\frac{1}{2}}^{1}6x(1-x)\,dx

=6\int_{\frac{1}{2}}^{1}(x-x^2)\,dx

=6\left(\frac{3}{8}-\frac{7}{24}\right)

=\frac{1}{2}.$$解析：本题综合考查连续型随机变量的概率密度、数字特征及概率计算。先利用密度函数积分为1确定常数，再利用期望定义计算一阶、二阶矩，最后用积分计算区间概率。2.设二维随机变量(X$$f(x,y)=

\begin{cases}

2,&0<y<x<1,\\

0,&\text{其他}.

\end{cases}$$求：(1)X和Y的边缘概率密度fX(x(2)E(X)(3)Cov(答案：(1)当0<$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy

=\int_{0}^{x}2\,dy

=2x,$$故$$f_X(x)=

\begin{cases}

2x,&0<x<1,\\

0,&\text{其他}.

\end{cases}$$当0<$$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx

=\int_{y}^{1}2\,dx

=2(1-y),$$故$$f_Y(y)=

\begin{cases}

2(1-y),&0<y<1,\\

0,&\text{其他}.

\end{cases}$$(2)$$E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2x\,dx

=\int_{0}^{1}2x^2\,dx

=\frac{2}{3},$$$$E(Y)=\int_{0}^{1}y\cdot2(1-y)\,dy

=2\int_{0}^{1}(y-y^2)\,dy

=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)

=\frac{1}{3}.$$(3)$$E(XY)=\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}2xy\,dx\,dy

=\int_{0}^{1}y\left[x^2\right]_{y}^{1}\,dy

=\int_{0}^{1}(y-y^3)\,dy

=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}

=\frac{1}{4},$$故$$\operatorname{Cov}(X,Y)

=E(XY)-E(X)E(Y)

=\frac{1}{4}-\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}

=\frac{1}{36}.$$解析：本题通过积分求边缘密度和矩，注意积分区域的确定。联合密度仅在0<3.设总体X∼N(μ,σ2)，σ2(15)=2.131$）$$\bar{x}\pmt_{0.025}(15)\frac{s}{\sqrt{n}}

=62.5\pm2.131\times\frac{8}{\sqrt{16}}

=62.5\pm2.131\times2

=62.5\pm4.262.$$故μ的95%置信区间为(58.238解析：本题属于单个正态总体方差未知时的均值区间估计。关键是用样本标准差s代替σ，并使用t分位数替代z分位数。4.设总体X的概率密度为$$f(x;\theta)=

\begin{cases}

\thetax^{\theta-1},&0<x<1,\\

0,&\text{其他},

\end{cases}$$其中θ>0为未知参数。设(1)求θ的矩估计量；(2)求θ的极大似然估计量。答案：(1)先求总体均值：$$E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot\thetax^{\theta-1}\,dx

=\theta\int_{0}^{1}x^{\theta}\,dx

=\frac{\theta}{\theta+1}.$$令E(θ解得θ的矩估计量为θ(2)似然函数为$$L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}\thetax_i^{\theta-1}

=\theta^n\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{\theta-1},$$对数似然为ln对θ求导并令其为0：$$\frac{d\lnL(\theta)}{d\theta}

=\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^{n}\lnx_i=0,$$解得θ的极大似然估计量为θ解析：矩估计用样本矩替代总体矩并解方程；极大似然估计通过构造似然函数、取对数、求导并令导数为零来求解。本题中i=参考答案与解析一、单项选择题1.答案：B解析：P(AB2.答案：B解析：E(X)=n4.答案：B解析：由独立性P(AB5.答案：B解析：由λe−λ=λ6.答案：B解析：独立正态变量的线性组合仍服从正态分布，E(Z)=07.答案：C解析：根据抽样分布定理，(n9.答案：A解析：设不合格品数X∼10.答案：C解析：|X−2|>1即11.答案：B解析：正态分布N(μ,σ2)的矩母函数为eμ12.答案：C解析：伯努利大数定律说明频率依概率收敛于概率，A错误；辛钦大数定律要求独立同分布，B错误；切比雪夫大数定律要求独立且方差一致有界，C正确；“几乎处处收敛”对应强大数定律，不是一般大数定律，D错误。13.答案：A解析：矩估计以样本均值估计总体均值，即μ=14.答案：A解析：极大似然估计具有不变性，g(θ)15.答案：A解析：显著性水平α是犯第一类错误（弃真错误）的概率。16.答案：A解析：指数分布具有无记忆性，P(17.答案：C解析：互斥即AB=⌀18.答案：A解析：利用期望的线性性质E(19.答案：B解析：独立时E(20.答案：A解析：正态分布的线性变换仍为正态分布，且E(Y)21.答案：B解析：德莫弗-拉普拉斯中心极限定理表明，此时二项分布可用正态分布近似。22.答案：B解析：置信区间的频率解释：大量重复抽样时，约95%的置信区间包含参数真值μ23.答案：A