数学一轮复习基础讲义下册（适合艺术生、基础生一轮复习）第27讲平面向量的数量积含答案及解析

第27讲平面向量的数量积

1、向量的数量积（内积）

对于两个非零向量［与我们把数量|2||/；|cos<2〃>叫做2和B的数量积（或内积），记作即

—•—•

a'b=\a\\h\cos<a,b>»

2、两个向量内积有如下重要性质

（1）如果e是单位向量，则。"=乙。=|aICOS<4,6>（。=0）.

（2）a_L石J>a•6=0

⑶。•a二|a/或a=\!a-ci

ab

(4)cos<〃,〃>=

\a\\b\

⑸|Z4国Z||B|

【题型一：平面向量数量积的定义】

UUtlU11L1

1.（江西景德镇一中高一期中（理））在A43c中,若AC.43Vo,则此三角形为（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形I).等腰三角形

2.（北京东城・）若2,6都是单位向量,则下列结论一定正确的是（)

A.a—bB.ab=\C.a//bD.

3.（上海）下列等式正确的是（）

A.()c=0B.a(bc)=(ab)-cC.6/0=0D.6b=0

4.（全国）下列命题正确的是（）

A.\a-bHa\\b\B.a.$h0=|〃|+1方|H0

C.a^=0=|a||B|=0D.(a+b)c=ac-i-bc

5.（全国高一课时练习）下列命题正确的个数是

①3月+44=0；②0人8=0；@AB-AC=BC;®0A/i=0

A.1B.2C.3D.4

6.（浙江高一单元测试）设〃、5、不是非零向量，则下列说法中正确是

A.("5)♦才=3•6)•dB.卜一同印+司

C.若d-B=a•3，则万=下D.若利瓦制"则可|）

【题型二：平面向量数量积的意义】

1.（江西九江一中高一期中）向量£=（-1,1）在向量否=（-3,-4）上的射影为（）

A,正B&

a5D

22-4

2.（四川成都外国语学校而一期中（理））已知同=6,W=3,向量△在方方向上投影是4,则,石为（）

A.12B.8C.-8D.2

3.（河北巨鹿中学高一月考）已知同=2,向量2与向量B的夹角为120。，"是与办同向的单位向量，则Z

在方上的投影向量为（）

A.eB.-\［3eC.y/5eD.-e

4.（浙江绍兴・）已知向量力二（3,T）,6=（1,0）,则3在万方向上的投影是（）

A.-1B.0C.1D.3

5.（江苏省太湖高级中学高一期中）已知向量3=（2,1）,石=（1,-D,向量Z在B方向上的投影向量为（）

A.（2,-2）B.（J,-！）C.（，！）D.~

225522

6.（全国高二课时练习）若忖=4,M=2,%和方的夹角为30,则2在方的方向上的投影向量的模长为（）

A.2B.6C.26D.4

7.（湖北）己知向量2=（（）,-2b），=石），与否同向的单位向量为"则向量［在各方向二的投影向量

为（）

A.百"B.3工C.-\［3eD.一3工

【题型三：模】

1.（嘉峪关市第一中学高二期末［文））已知向量Z，各的夹角为60。，忖=1,忖=2,则|2£-4=（）

A.1B.2GC.y/lD.2

2.（全国）已知*为单位向量，且己=2e，5=-3々，则|4一4〃|=（）

A.3B.5C.10D.14

3.（梁河县第一中学高二月考）已知同=4,问=8,G与5的夹角为120。，则悭-同=（）

A.8石B.6GC.5x/3D.8&

4.（河西•天津实验中学）平面向量2与坂的夹角为60°,Z=（2,0），W=l,则收+20等于（）

A.x/3B.273C.4D.12

5.（海口中学高三月考）已知|Z|=2,|M=2,7B=1,则（）

A.V6B.2C.272D.3

6.（遵义市第三中学高一期中）已知向量入b，满足7石=0,同=1,忸卜2.则悭-q=（）

A.4B.2啦C.6D.8

7.（泾县中学高一月考）设向量；，］均为单位向量，且满足7JJ,则忸+3彳=（）

A.屈B.13C.4D.5

8.（湖南）已知向量Z，6的夹角为:，3=（—3,4）,7万=10,则|闸=（）

A.2&B.2>/3C.36D.472

9.（陕西汉中-高三月考（理））若单位向量酒满足（12年（£+/；）=-；,则口，|等于（）

A.1B.72C.6D.正

3

10.（酉阳土家族苗族自治县第三中学校高三模拟预测）已知向量满足|刈=|加=|2+5|=1,则|22+5卜

（）

A.3B.73C.7D."

11.（全国高三模拟预测（理））平面向量力与3的夹角为60。，冏=2,6=3』,则|2。-昨（）

A.12B.2>?3C.6D.x/6

12.（西藏拉萨中学高三月考（文））已知平面向量2与G的夹角为30°，且2=（1,6），5为单位向量，则

|£+型|=（）

A.1B.V13C.&TD.7+26

13.（全国高三月考）已知平面向量2与占的夹角为60°,〉=[2,0），I昨1，则|2-26的值为（）

A.72B.2

C.4D.1

14.（威远中学校高一月考（文））已知[满足：I司=3,|5|=2,卜+同=4,则k-同=（）

A.x/3B.x/5C.V2D.VlO

【题型四：平行与垂直关系】

1.（广东惠州,高一期中）已知向量4=（1,-1）,方且6_1_5,则，=（）

A.-2B.2C.-II）.1

2.（厦门市湖滨中学）已知向量日=（2,-1,2）,A（-l,x,l）,若％_!_荏，则实数x的值为（）

A.-5B.0C.-1D.5

3.（沙坪坝•重庆八中高三月考）已知向量不=（-L4）,1=（2，M,若。15,则；-2力=（）

A.（-5,20）B.（-5,-12）C.（-5,5）D.（-5,3）

4.（贵州凯里一中高二期末（文））若|Z|=1GJL万，则1@-2£）=（）

A.-1B.1C.-2D.2

5.（全国高一课时练习）已知向量。=（T2）,力=（2,/）,且山/5,那么£等于（）

A.-4B.-1C.1D.4

6.（四川射洪中学高二月考（文〉）已知d-（3,1）,6-（2,2）,若力而，则实数2的值为（)

7.（湖南高二月考）向量。=（4,2）,方=（6,），），若£//儿则丁=（）

A.3B.-3C.12D.-12

【题型五：夹角】

1.（全国）:工为平面向量，已知「=（1,2）工=（1,0），则：上夹角的余弦值等于（）

在B.一立C.-

A.D

555-4

（云南省南涧县第一中学高一月考）设向量：=（3,4）,/>=（-1,1）,则cos<Z$>=（）

2.

&R3x^0「五Vio

A.n

101055

3.（山西临汾・）设口=（6,1）/=（-3,6），则4与5的夹角为（）

土B.£C.生D.龙

A.

2334

4.（浙江邺州•宁波咸祥中学高一期中）已知Z=（2,T）出=（1,3）,则用卜夹角的余弦值等于])

石口右「五D.—亚

A.--D.----U.---

551010

5.（江苏江都•高一期中）已知向量3=（-6,1）,石=（2,-26），则Z与方的夹角为（）

D.史

A.7B.-7：C.-

6634

6.（山东蒲泽•高一期末）设向量〃二（b」），Z>=（x,-3）,若：_La»则£6与a的夹角为（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

7.（全国高三专题练习（文））已知非零向量。=（/,0）4若Z%=-4,则Z+2万与否的夹角为

（）

8.（全国高三专题练习（理））设向量Z=（x,T）,U（l,-x）,向量〉与否的夹角为锐角，则x的取值范

围为（）

A.（-2,2）B.（0,+oo）

C.（0,2）u（2,+oo）[）.[-2,2]

9.（嫩江市第一中学校高一期末）己知非零向量入A满足|昨&㈤，且（1眼（3£+町则J与坂的

夹角为（）

A.45°B.135°C.80°D.120°

10.（河南南阳•高二期末（理））已知向量痴=（1,2）,CD=（-2,w）,则是“〈工反C力〉为钝

角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

第27讲平面向量的数量积

1、向量的数量积（内积）

对于两个非零向量[与我们把数量|2||/；|cos<2〃>叫做2和B的数量积（或内积），记作即

—•—•

a-b=\a\\h\cos<a,b>»

2、两个向量内积有如下重要性质

（1）如果e是单位向量，则。♦e=e・〃=|a|cos<a,e>（。工0）.

（2）a_L〃J>a•5=0

⑶。•a二|aF或。=\!a-ci

一一ci•h

（4）cos<ab>=——.

ylallbl

（5）|ZB|SM|石|

题型一：平面向量卷售积的定义

1.（江西景德镇一中局一期中（埋））在A46c中，若陇.浅<0，则此二角形为（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形

【答案】A

【详解】

,?砧亚=|叫国cosA<0,

cos4<0,

・・・/A是钝角,则△/!用?是钝角二角形.

故选:A.

2.（北京东城-）若[1都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）

A.a=bB.ab=\C.a!lbD.4=%

【答案】D

【详解】

方向相同大小相等的向量是相等向量，但是♦出不一定方向相同，故A错误；

«-/?=|a|-|^|-cosa=l,a为33的夹角，因为。«0,乃|,所以cosae[-1,1],所以>/；不一定等于1,故B

错误；

方向相同或者相反的向量是平行向量，但是不一定方向相同或相反，故C错误；

因为词都是单位向量，所以同=i，w=i,所以H=M，故D正确，

故选:D.

3.（上海）下列等式正确的是（)

A.()"?=()B.a[bc)=(ab)cC.-0=0D.0/?=0

【答案】D

【详解】

对A,0-?=0»故A错误；

对B,由于向量的数量积为数，所以向量不满足乘法的结合律，故B错误；

对C,6/0=0»故c错误，

对D,向星的数星积为数，故0.6=O正确.

故选：D.

4.(全国)下列命题正确的是()

A.\ab\=\a\\b\B.ah^0<=>\a\+\b\^()

C.6/-/?=0<=>|«||/?|=0D.(a+b)c=ac+bc

【答案】I)

【详解】

解：对于A：|叫叩胤cos<a网，故A错误；

对于B：由〃.Bw0可以得到|a|+|力快0,但是由IaI+1B0得不到〃.4。0,当ad.〃时a.〃=(),故B错误;

对于C若>否=0贝1」|翻』|=0或八5,故C错误；

对干D：(a+b)c=ac+hc,故D正确；

故选：D

5.(全国高一课时练习)下列命题正确的个数是

①检+函=0;②0.而=0;®AB-AC=BCi④。.丽=0

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【详解】

由两相反向量的和为零向量知①正确；

由于两向量的数量积结果为•实数知②错误，正确结果应为0；

由向量的减法运算法则丽-女=。8,③错；

由向量数乘的意义知O.AB=0，④错，

即正确的个数是1,故选A.

6.(浙江高一单元测试)设4、5、d是非零向量，则下列说法中正确是

A.(6?-/?)•?=((J-b)-dB.k一力卜卜+同

C.若〃贝1]石=下D.若可历,万|伍，则51m

【答案】D

【详解】

由睡意得，对于A中，(心6)1表示与共线的向量,

6•力・万表示与及共线的向量,所以不正确;

对干B中，”「=0时,此时卜+可=。，

而k-0=2忖>。，所以不正确；

对干C中，若"〃=HY=O,

而此时Z?•与。不一定是相等向量，所以不正确；

对于D中，因为4、B、^是非零向量，

若。/〃;,<?/归，则6/%是正确.

故选：D.

题型二：平面向量数量积的意义

1.(江西九江一中高一期中)向最1=(-11)在向量方=(-3.-4)上的射影为()

A.—B.--C.1D.--

2255

【答案】D

【详解】

向量£=(-1,1)在向量6=(—3,T)上的射影为

ab=(-l)x(-3)+lx(—4)二」

WJ(-3)2+(—4)25，

故选：D

2.(四川成都外国语学校高一期中(理))已知同=6,忖=3,向鼠日在B方向上投影是4,则。石为()

A.12B.8C.-8I).2

【答案】A

【详解】

解：设两个向量的夹角为仇由题意已知同=6,|同=3,

.dh

向量4在〃方向上投影是4,则4=M，

所以无5=4忖=12；

故选：A.

3.(河北巨鹿中学高一月考)已知同=2,向量£与向量石的夹角为120。，工是与否同向的单位向量，则，

在加上的投影向星为()

A.eB.-yj3eC.也e【）.-e

【答案】D

【详解】

解：因为同=2,向量》与向量的夹角为120。，3是与B同向的单位向量，

所以3在B上的投影向量为

p/|cos120°-e=2x-g）e=-e,

故选：D

4.（浙江绍兴・）已知向量Z=（3,-l）,万=（1,0）,则2在另方向上的投影是（）

A.-1B.0C.1D.3

【答案】D

【详解】

汴5方向上的投影为14cos<£出>=时=『=3.

故选：D

5.（江苏省太湖高级中学高一期中）已知向量2=（2,1）,坂=（1,-D,向量£在5方向上的投影向量为（）

A.（2»-2）B.（y»-！）C.（"I",!）D.（立~,

225522

【答案】B

【点睛】

a,b2—1\p2

向量2在方方向上的投影=不丁=

M*+（-I）-'

因为投影向量与5方向相同，||=2y（

所以向量2在B方向上的投影向量为《Y>/2n

故选:B

6.（全国高二课时练习）若问=4,*2，Z和B的夹角为30，则联在行的方向上的投影向量的模长为（）

A.2B.6C.2GD.4

【答案】C

【详解】

=|«|-|^|cos30=4X2X^=4V3，

注」的方向上的投影向量为：阵。s3(Fxg=4x曰,=符,

所以-在B的方向上的投影向量的模长为2*26,

故选：c.

7.(湖北)已知向量3=(0,-26),b=(l,此,与否同向的单位向量为工，则向量2在5方向二的投影向量

为()

A.丛%B.3eC.->/3eI).-3e

【答案】D

【详解】

・.々在B方向上的投影为维=0*+("6=-3,又©是与B方向相同的单位向量，.•*在B方向上

\b\V段T+3

的投影向量为-3己

故选：D

题型三：模

1.(嘉峪关市第一中学高二期末1文))已知向量Z，B的夹角为60°,同=1,1*2,则悭4卜()

A.1B.2x/3C.币D.2

【答案】D

【详解】

;向量2,B的夹角为60",且同=1,忖=2，*,•«-Z?=1x2xcos60°=1，

；・2a—b=yj(2ei-b)2=《4a~-4ab+b=14—4+4=2.

故选:D.

2.(全国)己知*为单位向量，且4=2，，5=-3々，则|不一4/；|=()

A.3B.5C.10D.14

【答案】I)

【详解】

因为。为单位向量，所以

15-4/?|=痴-川；)2=J(2G+12再2=J(14刃2=14.

故选：D

3.(梁河县第一中学高二月考)已知同=4,问=8,。与B的夹角为120。，则忸叫=()

A.8x/3B.6GC.56I).8&

【答案】A

【详解】

忸-/?|=J（2d-6）=y/4d2-4ab+b2

=J4x42+4x4x8x-+82=8G.

故选：A

4.（河西•天津实验中学）平面向量£与I的夹角为60°,Z=（2,0），M=l,则卜+24等于（）

A.GB.C.4D.12

【答案】B

【详解】

因为a=（2,O），W=l，

所以口|=2,

因为向量［与1的夹角为60°,

所以ad=WWcos60。=2xlxg=I,

所以卜+2^=+4ab+4b=J4+4+4=2石，

故选：B

5.（海口中学高三月考）已知|£|=2,|/；|=2,£"；=1,则一）|=（）

A.瓜B.2C.2&D.3

【答案】A

【详解】

rrrrrr

Ia-b\2=a2-2ab+b2=4-2xl+4=6，

所以I。-向=卡.

故选：A

6.（遵义市第三中学高一期中）已知向量入b，满足7坂=0,同=1,忖=2.则|2£-1=（）

A.4B.2&C.6I）.8

【答案】B

【详解】

因为£・石=0,卜卜1,W=2‘

所以12〃-q=J4a-41〃+Z?=J4-0+4=2&，

故选：B

7.（泾县中学高一月考）设向量7,，•均为单位向量，且满足71］,则忸+3］卜（）

A.713B.13C.4D.5

【答案】A

【详解】

因为所以丁］=0

所以|27+3）［=J（2i+3,=朋呻『+12盯=后

故选:A

8.（湖南）已知向量Z，B的夹角为?，。=（-3,4）,3力=10,则田=（）

A.2垃B.273C.373D.4及

【答案】A

【详解】

解：由。=（一3,4）,得问［（-3）2+42=5,

因为向量入B的夹角为g,7B=10，

所以州际?=10,所以5x*W=10,解得呵=2夜，

故选：A

9.（陕西汉中・高三月考（理））若单位向量涧满足（£-20（£+与=彳，则卜力|等于（）

A.1B.V2C.GD.手

【答案】C

【详解】

解：因为'石为单位向最，

所以（£_2B）.（£+B）=忖_£石-2M=-ab-\=-^t所以=

所以口一7；卜后同=铜匚嬴印=6，

故选:C.

10.（酉阳土家族苗族自治县第三中学校高三模拟预测）已知向量75满足|〃|=1B|=|£+5|=1,则悔+5卜

（）

A.3B.8C.7D."

【答案】B

【详解】

:向量满足|a=|加二|£+5|=1,

2

.•.|i+B|2=jZ|2+2a.b+\b\=2+2cib=\,

:.2ab=-\»

.-.|22+引2=4y『+4"石+历『=4一2+1=3,

.•.忸+目=百，

故选:B

11.（全国高三模拟预测（理））平面向量1与B的夹角为60。，同=2,5=（1,-6），则|2"5|=（）

A.12B.273C.6D.在

【答案】B

【详解】

由已知出1=2,

.1.|2a-5|2=（2a-^）2=4d2-4fl^+^=4x22-4x2x2xcos60o+22=12,

.•」/一5|=26.

故选：B.

12.（西藏拉萨中学高三月考（文））已知平面向量£与坂的夹角为30°,且2=（1,石），石为单位向量，则

|£十取|=（）

A.1B.V13C.&T【）・7+26

【答案】B

【详解】

由已知可得|3|=2,|6|=1,则7印|曲8530。=6

所以|£+\®|2=（3+G/；）2=1+2技％+3/2=4+6+3=13，则12+同1=旧.

故选：B.

13.（全国高三月考）已知平面向量［与5的夹角为60°,>=，20），向=1，则卜-2q的值为（）

A.41B.2

C.4D.

【答案】B

【详解】

因为£=（2,0）,所以|a=2,又平面向量［与5的夹角为60°,|/；|=1

22

卜-2牛J|ZFT|『||/；|COS6（）O+4而=^2-4x2xlxl+4xl=2

故选：B

14.(威远中学校高一月考(文))已知d,B满足：同=3,刊=2,卜+*4,则K一同=()

A.x/3B.75C.y/2D.x/10

【答案】D

【详解】

卜+4+|«-/?|=(^i+b)2+(a-b)2=a-2ab+b+a+2a-b+b=2a+2b~=2x32+2x2,=26,

所以J"引2=26巾+q=1(),\a-b\=y/i5.

故选:D.

题型四：平行与垂直关系

1.(广东惠州•高一期中)已知向量2=(1,-1),b=(-U),且£_1人则—()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【详解】

由题知，向量4=(1,一1),/?=(-!,/),

若2_1方，则1x(—1)+(—i)x/=o,r=-i.

故选：C.

2.(厦门市湖滨中学)已知向量。=(2,-1,2),A(-l,x,l),8(LT1),若Z_L而，则实数工的值为()

A.-5B.0C.-1D.5

【答案】A

【详解】

由题意得，7=(-1,占1),丽所以而=丽-西=(2,-l-x,0),

因为a_LA8,所以月=0，所以a・4Q=2x2+(—1)x(—l—x)+2x0=0,得x=—5.

故选:A

3.(沙坪坝•重庆八中高三月考)已知向量值=(一1,4),6=(2M),若d上5,则2力=()

A.(-5,20)B.(-5,T2)C.(-5,5)D.(-5,3)

【答案】D

【详解】

由条件，ab=—2+4m-0»所以〃?=5,从而1一2石=(―5,3).

故选：D

4.(贵州凯里一中高二期末(文))若则7(万-2l)=()

A.-1B.1C.一2D.2

【答案】c

【详解】

a（b-2d）=ab-2同~=0-2=-2

故选：C

5.（全国高一课时练习）已知向量己=（-1,2）,力=（2/）,且力必，那么［等于（）

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】A

【详解】

因为@=（一1,2）,/；=（2j）,且W/B，

所以=9）'|即TX/=2X2,解得/二T

故选:A

6.（四川射洪中学高三月考（文））已知G=（3,l）出=（2乂），若则实数义的值为（）

•2口3「23

A.--B.--C.-Dr.-

3232

【答案】C

【详解】

2

因为Z/区，所以34-2=0,解得/1=§

故选：C

7.（湖南高二月考）向量1=（4,2）》=（6,），），若2〃氏则＞'=（）

A.3B.-3C.12D.-12

【答案】A

【详解】

由于2/5所以”-2x6=0,解得y=3.

故选:A

题型五：夹角

1.（全国）：工为平面向量，已知7=（1,2）］=（1,0），则：工夹角的余弦值等于（）

【答案】A

【详解】

设；，向量的夹角为。，则cos，=yj=W=?.

⑷叫753

故选：A.

2.(云南省南涧县第一中学高一月考)设向量二=(3,4),/i=(-l,l),则cos<Z,4>=()

入五R3而72V10

A•---D•----rC.---Dn•---

101055

【答案】A

【详解】

因为0=(3,4),&=(-1,1),

-rab3x(-l)+4xl&

所以ci

故选：A.

3.(山西临汾・)设〃=(0.1)1=(-3.百)，则”与6的夹角为()

A.卫B.2C.2D.史

2334

【答案】C

【详解】

解:因为五="5,1)出=(一3,《),

所以|砧=2,出|=2百，a-^=>/3x(-3)+lxV3=-2>/3,

设向量d与5的央角夕，

所以cos〃=上a-=二?2$=_；,

又暇旧万，

所以M与万的夹角为等.

故选：C.

4.(浙江邺州•宁波咸祥中学高一期中)已知0=(2.-1)石=(1,3),则♦(夹角的余弦值等于1)

A,正B,正C.旦D,一旦

551010

【答案】D

【详解】

依题意3小/-”r\=衲=瓦而-1=_而V2.

故选：D

5.（江苏江都•高一期中）已知向量"=（-"1）,/；=（2,-2石），则Z与加的夹角为（）

B.?乃371

C.-D.

63T

【答案】B

【详解】