第一章 空间向量与立体几何 立体几何中的折叠和探索性问题（题型专练 原卷版）高二数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何立体几何中的折叠和探索性问题（11种题型专练）题型01面面平行的探索性问题1.核心逻辑

假设存在动点，两个平面平行等价于两个平面的法向量互相平行（坐标成比例）；解出参数后，参数必须落在线段范围之内。2.解题步骤

①建系，用参数表示出动点坐标；

②分别求出两个平面的法向量；

③利用法向量平行（坐标对应成比例）列方程，求解；

④检验；

⑤下结论，说明点的位置或判定不存在。3.易错提醒

法向量算错；只解方程不验证参数范围；把面面平行条件记成数量积等于0（这是面面垂直）。【例3】【多选】（2026高三·云南曲靖·阶段检测）已知正方体的棱长为，动点满足，，则下列说法正确的是（

）A．时，B．对任意，存在，使得平面平面C．若，则满足条件的动点组成图形的面积为D．若，则三棱锥体积为【变式1-1】【多选】（2026高二·浙江杭州·期末）如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则（

）A．三棱锥的体积为定值B．线段上存在点，使平面平面C．设直线与平面所成角为，则的最小值为D．三棱锥的外接球半径的最大值为【变式1-2】（2026高二·辽宁抚顺·期末）如图，正三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，是的中点.（1）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在指出点在线段上的位置，若不存在，请说明理由；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【变式1-3】【多选】（2026·广东肇庆·模拟预测）在正四棱柱中，，点分别为棱上的点（含端点），则（

）A．当为的中点时，存在点，使得平面B．当为的中点时，存在点，使得平面平面C．对任意给定的点，存在点，使得D．对任意给定的点，存在点，使得▌题型02线面平行的探索性问题1.核心逻辑

假设棱上存在满足条件的动点，用参数写出动点坐标；线面平行等价于直线方向向量与平面法向量数量积等于0，同时动点要在棱上（）。2.解题步骤

①建立空间直角坐标系；

②设动点：若点在线段上，设，写出动点坐标；

③求出直线方向向量，求出目标平面的法向量；

④由线面平行条件：方向向量平面法向量，解出参数；

⑤检验，参数在范围内则存在，说明点位置；否则不存在。3.易错提醒

解方程得到参数后，忘记检验参数范围；混淆线面平行与线面垂直的向量条件。【例2】（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，，(1)求证：平面平面;(2)线段上，是否存在点，使得平面.【变式2-1】（2026高二·江苏苏州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点．(1)求与所成角的余弦值：(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)记是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2026·浙江温州·模拟预测）如图所示，三棱锥中，，，且，，E，F分别为和的中点．(1)证明：上存在点P，使得平面；(2)当时，求二面角的正弦值．【变式2-3】（2026高二·广西南宁·阶段检测）如图，在长方体中，，E为CD的中点．(1)求证：．(2)若，求平面与夹角的余弦值．(3)在棱上是否存在一点P，使得平面．若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．题型03立体几何的折叠问题1.核心逻辑

平面图形沿折痕翻折，折痕同侧线段长度、角度不变；折痕两侧的二面角、空间距离发生改变。经常利用翻折后得到的线线垂直、面面垂直建立坐标系，再完成证明、求角、求体积计算。2.解题步骤

①对照翻折前平面图形，标出所有不变的边长、垂直关系；

②分析翻折后哪些线、面位置发生改变，寻找翻折后出现的垂直，搭建空间直角坐标系；

③写出翻折后各关键点坐标；

④结合向量完成证明、求角、求体积、求距离；

⑤体积最值：当翻折后点到底面距离最大时，几何体体积取得最大值。3.易错提醒

直接照搬翻折前跨折痕的角度、垂直关系；建系忽略翻折后垂直是否仍然成立。【例1】（2026高二·湖南邵阳·阶段检测）如图，正方形的边长为．如图，现将正方形沿着对角线翻折，其中为原正方形的中心．

(1)证明：平面平面；(2)翻折至四面体的体积最大时，求与平面所成的角的正弦值．【变式3-1】（2026高一·广东广州·期中）如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面．(1)求证：平面；(2)已知点为棱上的点，且，①求三棱锥的体积及其外接球的表面积；②过点作平面，使平面，且平面交边于点，平面交于点，求点、的位置．【变式3-2】（2026·河北·模拟预测）在中，，，，为的中点，为中点，如图，沿将翻折至的位置，使点落到点的位置，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【变式3-3】（2026高二·河南驻马店·期末）如图1，四边形是边长为4的正方形，在扇形中，，点是弧的中点．现将正方形沿进行翻折，使得点到达点的位置，点到达点的位置，如图2所示，其中．(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积；(3)求平面与平面夹角的余弦值．▌题型04线线垂直的探索性问题1.核心逻辑

两条直线垂直两条直线方向向量的数量积等于0。将动点用参数表示，列数量积为0的方程求解参数。2.解题步骤

①建立空间直角坐标系；

②设线段上动点，写出坐标；

③写出两条直线对应的方向向量；

④令两向量数量积等于0，解参数；

⑤判断是否属于，给出存在/不存在结论，描述点位置。3.易错提醒

向量坐标书写错误；忽略参数取值范围；异面直线垂直同样适用数量积为0。【例4】（2026高二·福建漳州·期中）如图，在正三棱柱中，点满足，其中，.(1)是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．【变式4-1】（2026高三·海南·开学考试）如图（1），在中，，点为的中点.将沿折起到的位置，使，如图（2）.(1)求证：.(2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，请说明理由.【变式4-2】（福建省泉州市鲤城区2025-2026学年高三学期5月联考数学试卷）如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点.(1)求证：平面；(2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由.【变式4-3】（2026·河北邢台·模拟预测）如图，在正三棱柱中，．点D，E，F分别为，，的中点，连接BD，FE，CE，CF，BE．

(1)试问：线段BE上是否存在一点G，使得？若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由．(2)求直线BD与平面CEF所成角的正弦值．▌题型05线面垂直的探索性问题1.核心逻辑

直线垂直平面直线方向向量与平面法向量互相平行（坐标成比例）。2.解题步骤

①建系，设棱上动点，引入参数，写出动点坐标；

②求出这条直线的方向向量；

③求出平面的法向量；

④利用向量共线（坐标成比例）建立方程组，求解参数；

⑤检验参数是否在，给出结论。3.易错提醒

混淆线面垂直、线面平行向量条件；方程组无解直接忽略，没有写“不存在”。【例5】（2026高三·全国·一轮复习）如图，在正三棱柱中，分别是的中点．在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由．【变式5-1】（2026·北京昌平·模拟预测）如图，在直三棱柱中，．

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【变式5-2】（2026·全国·模拟预测）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面三角形是等边三角形）中，，、、分别是，，的中点．(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由．【变式5-3】（2026·湖北·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．

(1)若，求证：平面平面；(2)是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．▌题型06面面垂直的探索性问题1.核心逻辑

两个平面垂直两个平面法向量数量积等于0。2.解题步骤

①建系，参数表示线段上动点坐标；

②分别求两个平面的法向量；

③令两个法向量数量积等于0，解方程求；

④验证参数；

⑤若解在区间内，则存在，说明点位置；否则不存在。3.易错提醒

把面面垂直记成法向量平行；求出参数不做范围检验。【例6】（2026高二·上海·期末）已知正方体的棱长为1，P是对角面（包含边界）内一点，且.(1)求的长度；(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由；(3)过点作平面与直线垂直，求平面与平面所成锐二面角的最小值，并求此时平面截正方体所得截面图形的周长.【变式6-1】（2026高二·江苏·单元复习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，.(1)求证：；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【变式6-2】（2026高二·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．

(1)求证：；(2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【变式6-3】（2026高二·广东佛山·阶段检测）如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.▌题型07与线线角有关的探索性问题1.核心逻辑

异面直线所成角，；已知角度，代入公式列方程求参数，参数需要满足。2.解题步骤

①建系，用表示棱上动点；

②写出两条直线的方向向量；

③代入异面直线夹角余弦公式，去掉绝对值后平方化简方程；

④解出参数；

⑤检验，给出结论。3.易错提醒

忘记公式的绝对值；直接用向量夹角代替异面直线角；不检验参数范围。【例7】（2026高一·全国·期末）如图1是一个由菱形和两个直角三角形和所组成的平面图形，其中，现将和分别沿折起，使得点与点重合于点，连接，得到如图2所示的四棱锥.(1)求证：平面；(2)若为棱上一点，记，是否存在点使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由.【变式7-1】（2026高二·福建三明·期中）如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.(1)求证：；(2)求直线和平面所成角的正弦值；(3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【变式7-2】（2026高二·辽宁大连·期中）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.(1)求证：直线平面；(2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值.【变式7-3】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，为直角，侧面为等腰直角三角形，平面平面，且，．(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在内（不含边界）是否存在点，使直线与直线、所成的角均为，若存在，求点到点的距离；若不存在，请说明理由．▌题型08与线面角有关的探索性问题1.核心逻辑

线面角，，直线方向向量，平面法向量；已知线面角，建立关于参数的方程求解。2.解题步骤

①建系，参数表示动点；

②求直线方向向量、平面法向量；

③代入线面角正弦公式，列等式，平方去掉绝对值；

④解方程求；

⑤检验，给出存在与否。3.易错提醒

误用代替；丢掉绝对值，符号出错。【例8】（2026高二·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.(1)证明：平面；(2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【变式8-1】（2026高一·重庆·期末）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，将沿折起，连接与，如图2.

(1)设为中点，求证:平面；(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.【变式8-2】（2026·云南·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，(1)证明：平面；(2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【变式8-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中．(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和；(2)若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．（i）求点到平面的距离；（ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．▌题型09与面面角有关的探索性问题1.核心逻辑

二面角与两平面法向量夹角相等或互补；锐二面角取绝对值；已知二面角大小，列方程解参数。2.解题步骤

①建系，参数表示动点；

②求出两个平面的法向量；

③根据二面角是锐角/钝角，选择是否加绝对值，列出方程；

④化简解方程，得到参数；

⑤检验，下结论。3.易错提醒

不看图判断二面角是锐角还是钝角，直接照搬法向量夹角；不检验参数范围。【例9】（2026高二·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，．(1)证明：平面；(2)已知二面角是，，点到平面的距离为．①求；②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【变式9-1】（2026·陕西渭南·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，．(1)求证：平面平面；(2)线段PB上是否存在点M（不包括端点），使得平面PAB与平面MCD夹角的余弦值为？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由．【变式9-2】（2026·贵州毕节·模拟预测）“阳马”一词出自《九章算术·商功》，它是指底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在阳马中，平面，，，，点在棱上，且.(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求点的位置，若不存在，请说明理由.【变式9-3】（2026高二·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示．(1)求异面直线与所成角；(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．▌题型10与点线距有关的探索性问题1.核心逻辑

已知点到直线距离，用投影+勾股定理版点到直线距离公式：，带入距离定值，建立含参数的方程求解。2.解题步骤

①建系，用参数表示动点坐标；

②确定直线定点、方向向量，写出相关向量；

③代入点到直线距离公式，等式两边平方消根号；

④解方程，得到参数；

⑤检验以及分母模长不为0，得出结论。3.易错提醒

根号内平方相减顺序颠倒；忘记平方直接解方程，出现漏解。【例10】（2026高二·河南驻马店·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点．(1)求证：平面；(2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．【变式10-1】（2026高三·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点.(1)若，求证：平面；(2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由.【变式10-2】（2026高二·浙江宁波·期中）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点.(1)求证：平面；(2)若侧面底面，且，；①求与平面所成的角；②在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【变式10-3】（2026高三·北京·阶段检测）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面，，为的中点．