第21讲 平面向量的概念及线性运算 2026-2027学年高中数学一轮复习讲义（人教版2019）

第21讲平面向量的概念及线性运算内内容导航知识点1向量的有关概念知识点2向量的线性运算知识点3向量共线定理知识点4平面向量线性运算知识点5平面向量共线定理与点共线问题题型1平面向量的概念与几何表示题型2平面向量的模题型3平面向量的模题型4平面向量的相等向量题型5平面向量的平行向量题型6平面向量的加法题型7平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则题型8平面向量的减法题型9平面向量的加减混合运算题型10两个平面向量的和或差的模的最值题型11平面向量的数乘与线性运算知知识点通关知识点1向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．（2）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．（3）单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb知识点3向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.【注意】当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．知识点4平面向量线性运算方法技巧平面向量线性运算的解题策略（1）向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.（2）[爪子定理]在△ABC中，D为BC上一点，若BDDC=mn，则AD=nm+n知识点5平面向量共线定理与点共线问题方法技巧利用向量共线定理解题的策略（1）a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.（2）若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0.（3）已知O，A，B是不共线的三点，且OP=mOA+nOB(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m+n=1.考考点演练题型1平面向量的概念与几何表示【典例1】下列命题正确的是（）A．|a→|＝|b→|，a→∥b→，则C．若a→∥b→，b→∥c【变式1】下列说法正确的是（）A．若a→∥b→，B．若a→=bC．对任意非零向量a→，a→D．零向量没有方向题型2平面向量的模【典例1】已知向量a→=(sinθ，−cosθ)，b→=(1，2)，若A．﹣2 B．1 C．2 D．3【变式1】已知向量a→=(1，2)，向量b→满足|A．﹣5 B．﹣10 C．5 D．10题型3平面向量的模【典例1】与向量a→A．b→=(35C．b→=(4【变式1】下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同题型4平面向量的相等向量【典例1】如图，点O为等腰梯形ABCD底边CD的中点，∠BCD＝60°，CD＝2AB，下列向量中，与OA→A．DO→ B．BO→ C．CB→【变式1】已知平面向量a→，b→，A．0a→=0 C．(a→⋅题型5平面向量的平行向量【典例1】已知平面向量a→，b→不共线，且2a→+yb→A．x＝2，y＝﹣3 B．x＝﹣2，y＝3 C．x＝2，y＝3 D．x＝﹣2，y＝﹣3【变式1】设a→，b→是非零向量，则A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件题型6平面向量的加法【典例1】在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2DA．记CD→=m→，A．3m→−n→ B．−m【变式1】向量a→，bA．﹣4 B．4 C．2 D．﹣8题型7平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则【典例1】某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（）A．2m/s B．23m/s C．4m/s D．25m【变式1】在△ABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足MC→A．GM→=13C．GM→=−1题型8平面向量的减法【典例1】在△ABC中，D为BC的中点，则CD→A．AC→ B．CA→ C．BA→【变式1】如图，则a→A．2e1→−3e2→ C．3e1→−2e2→题型9平面向量的加减混合运算【典例1】已知向量a→，b→，c→在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a→，A．c→=3a→−2b→ B．c→=−3a→+2b→ C．c→【变式1】如图，若D点在△ABC的边BC上，且CD→=3DB34AB→−14AC→ 题型10两个平面向量的和或差的模的最值【典例1】设平面向量a→=(−1，2)，b→=(3，t)，其中t∈R，|【变式1】已知a→是平面内的任意一个向量，向量b→、c→满足b→⋅c→=0，且题型11平面向量的数乘与线性运算【典例1】在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点．若BE→=λABA．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【变式1】在△ABC中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足BP→=1A．23 B．32 C．34过过关验收1．已知向量a→表示“向东航行3km”，向量b→表示“向南航行3km，则A．向东南航行6km B．向东南航行32km C．向东北航行32km D．向东北航行6km2．某人向东偏北60°方向走50步，记为向量a→；向北偏西60°方向走100步，记为向量b→；向正北方向走200步，记为向量c→A．23a→+b→ B．a→+23．如果a→表示“向南走5km”，b→表示“向北走10km”，c→表示“向东走10km”，d→表示“向西走5A．a→+b→ B．c→+4．如图，向量e1→，e2→，a→的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量aA．e1→+e2→ B．2e5．给出下列命题：①若a→，b→同向，则有②a→+b③若a→，b→不共线，则有④|a⑤对任意两个向量a→，b→，总有⑥若三向量a→，b→，c→其中正确的命题是（填序号）6．已知以O为起点的向量a→①a→⋅(a→②设集合M={P|OP→=λa→+μb→，0≤λ≤1，1≤μ≤2}7．2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力．如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米．若汽车从A地出发，以52km/h的静水速度向对岸航行，水流速度为5km/h，要使航程最短，大约需要（）时间（单位：A．43 B．62 C．68．已知向量a→=(−2，1)，b→=(1，msinπA．17 B．4 C．5 D．59．已知A(3，0)，B(0，1)，则与A．(32，1C．(−32，10．与平面向量a→=（5，﹣12）同向共线的单位向量的坐标为11．已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“AB→A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知平面向量a→，b→是单位向量，则“a→，b→是相等向量”是“A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件13．已知四边形ABCD中，AB→=DC→，|BDA．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形14．已知向量e1→，e2A．3 B．﹣3 C．43 D．15．已知a→、b→是两个不共线的向量，若向量3a→−2A．9 B．6 C．﹣4 D．﹣1216．已知OA→=(1，2)，OB→=(4，1)，OC→=(3+t，3−t)，若点A，A．12 B．﹣2 C．52 17．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则OA→A．OC→ B．OD→ C．OE→18．OA→A．AB→ B．BA→ C．AC→19．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则MA→A．AB→ B．CD→ C．2AB20．定义：平面内，图形Γ上的所有点在直线l上的射影所组成的图形称为Γ在l上的射影．若边长为m的正三角形在某一矩形的四条边所在直线上的射影长度之和为8，则m的取值范围为．21如图所示，空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，点M在OA上，且OM22．若向量BA→=（1，2），CA→A．（5，7） B．（﹣3，﹣3） C．（3，3） D．（﹣5，﹣7）23．已知正方形ABCD的边长为2，则|ABA．2 B．22 C．32 24．若非零向量a→，b→满足A．3 B．2 C．1 D．425．若|a→|=2，|A．3 B．5 C．32 D．26．已知在△ABC中，AB→=a→，AC→=b→，若点A．14a→−16b→ 27．在△ABC中，AN→=12NC→，P是A．19 B．15 C．128．在△ABC中，D为BC上一点，且BD→=3DC→，E为AD中点，若CE→A．−12 B．12 C．−第21讲平面向量的概念及线性运算内内容导航知识点1向量的有关概念知识点2向量的线性运算知识点3向量共线定理知识点4平面向量线性运算知识点5平面向量共线定理与点共线问题题型1平面向量的概念与几何表示题型2平面向量的模题型3平面向量的模题型4平面向量的相等向量题型5平面向量的平行向量题型6平面向量的加法题型7平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则题型8平面向量的减法题型9平面向量的加减混合运算题型10两个平面向量的和或差的模的最值题型11平面向量的数乘与线性运算知知识点通关知识点1向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．（2）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．（3）单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb知识点3向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.【注意】当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．知识点4平面向量线性运算方法技巧平面向量线性运算的解题策略（1）向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.（2）[爪子定理]在△ABC中，D为BC上一点，若BDDC=mn，则AD=nm+n知识点5平面向量共线定理与点共线问题方法技巧利用向量共线定理解题的策略（1）a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.（2）若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0.（3）已知O，A，B是不共线的三点，且OP=mOA+nOB(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m+n=1.考考点演练题型1平面向量的概念与几何表示【典例1】下列命题正确的是（）A．|a→|＝|b→|，a→∥b→，则C．若a→∥b→，b→∥c【答案】D【解答】解：对于A：由于a→可得a→可得a→对于B：由于0→对于C：若b→=0→，对任意向量此时a→对于D：若a→=b若a→=b→≠综上，若a→=b故选：D．【变式1】下列说法正确的是（）A．若a→∥b→，B．若a→=bC．对任意非零向量a→，a→D．零向量没有方向【答案】C【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当b→=0→时，任意向量都与b→对于B，向量不能比较大小，故B错误；对于C，因为a→是非零向量，所以a→|对于D，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，零向量的方向是任意的，故D错误．故选：C．题型2平面向量的模【典例1】已知向量a→=(sinθ，−cosθ)，b→=(1，2)，若A．﹣2 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】解：由已知可得(a所以a→即a→⋅b→=0因此a→⋅b故选：C．【变式1】已知向量a→=(1，2)，向量b→满足|A．﹣5 B．﹣10 C．5 D．10【答案】B【解答】解：对|a→+展开得(a即|a移项合并同类项，4a→⋅已知a→=(1，2)，计算展开目标式a→代入数值得0﹣2×5＝﹣10．故选：B．题型3平面向量的模【典例1】与向量a→A．b→=(35C．b→=(4【答案】B【解答】解：因为向量a→与向量a→同向的单位向量是b故选：B．【变式1】下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同【答案】B【解答】解：对于选项A，相等向量必须长度相等且方向相同，故错误；对于选项B，方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故正确；对于选项C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故错误；对于选项D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故错误．故选：B．题型4平面向量的相等向量【典例1】如图，点O为等腰梯形ABCD底边CD的中点，∠BCD＝60°，CD＝2AB，下列向量中，与OA→A．DO→ B．BO→ C．CB→【答案】C【解答】解：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，又CD＝2AB，点O为CD中点，则有CO＝AB，CO∥AB，则四边形ABCO为平行四边形，故CB→故选：C．【变式1】已知平面向量a→，b→，A．0a→=0 C．(a→⋅【答案】BD【解答】解：对于A，0a→=对于B，|a→⋅对于C，因为(a→⋅b→)c而向量a→与c→无任何关系，所以(a→⋅对于D，a→2=|故选：BD．题型5平面向量的平行向量【典例1】已知平面向量a→，b→不共线，且2a→+yb→A．x＝2，y＝﹣3 B．x＝﹣2，y＝3 C．x＝2，y＝3 D．x＝﹣2，y＝﹣3【答案】A【解答】解：因为2a→+yb→=x所以（2﹣x）a→=（﹣3﹣y）因为a→，b所以2﹣x＝﹣3﹣y＝0，所以x＝2，y＝﹣3．故选：A．【变式1】设a→，b→是非零向量，则A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解答】解：对于非零向量a→由a→=2b→，可知向量由a→|a→|所以设a→，b→是非零向量，则故选：C．题型6平面向量的加法【典例1】在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2DA．记CD→=m→，A．3m→−n→ B．−m【答案】A【解答】解：由题意知CA→所以2CA→=3CD→所以2CA故选：A．【变式1】向量a→，bA．﹣4 B．4 C．2 D．﹣8【答案】A【解答】解：如图，把向量a→，b→平移到同一起点，得出a→∴(a故选：A．题型7平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则【典例1】某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（）A．2m/s B．23m/s C．4m/s D．25m【答案】B【解答】解：设船在静水中的速度为v1→，水流速度为v2→，船实际航行速度为由题意知，v→要使得船实际路程最短，则v→所以|v→|=所以该船完成此段航行的实际速度为23m/s故选：B．【变式1】在△ABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足MC→A．GM→=13C．GM→=−1【答案】B【解答】解：由题意，画出几何图形如图所示：GM→∵G为△ABC的重心，M满足MC→∴AG→=2∴GM→故选：B．题型8平面向量的减法【典例1】在△ABC中，D为BC的中点，则CD→A．AC→ B．CA→ C．BA→【答案】D【解答】解：∵在△ABC中，D为BC的中点，∴CD→∴CD→故选：D．【变式1】如图，则a→A．2e1→−3e2→ C．3e1→−2e2→【答案】A【解答】解：由题意得：a→=3e1→+故a→−b→=3e1→+e故选：A．题型9平面向量的加减混合运算【典例1】已知向量a→，b→，c→在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a→，A．c→=3a→−2b→ B．c→=−3a→+2b→ C．c→【答案】A【解答】解：建立如图直角坐标系，则a→=(1，1)，b→=(−2，3)设c→=xa→+yb→故c→故选：A．【变式1】如图，若D点在△ABC的边BC上，且CD→=3DBA．34AB→−14AC→ 【答案】C【解答】解：由CD→=3DB所以AD→=AB→+故选：C．题型10两个平面向量的和或差的模的最值【典例1】设平面向量a→=(−1，2)，b→=(3，t)，其中t∈R，|【答案】4．【解答】解：根据题意可得b→所以|b当t＝2时，|b故答案为：4．【变式1】已知a→是平面内的任意一个向量，向量b→、c→满足b→⋅c→=0，且【答案】82【解答】解：根据题意可知，a→是平面内的任意一个向量，向量b→、c→满足b在如下图所示的平面直角坐标系xOy中，设B（4，0）、C1（0，4）、C2（0，﹣4），不妨设a→=OA将△ABC2绕点B逆时针旋转π2得到△A′BC′，则|AA′|=其中点C′（8，﹣4），故2|当且仅当点A与点B重合时，此时，点A′也与点B重合，等号成立，故2|a→故答案为：82题型11平面向量的数乘与线性运算【典例1】在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点．若BE→=λABA．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【答案】B【解答】解：△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，故BE→=BA→+又BE→=λAB→+μAC→，可得λ故选：B．【变式1】在△ABC中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足BP→=1A．23 B．32 C．34【答案】C【解答】解：由A，P，E共线，设BP→已知BP→所以λ=13，故所以(1−13)因为BP→所以13PA→+23PE设BP→=μBD→+(1−μ)BC→所以12BD→由BP→=12BD→+由AP：PE＝2：1知，设B到AE的距离为h，则S△BPAS△BPE=12AP⋅h12由BD：BA＝2：3知，设P到AB的距离为h1，则S△BPAS△BPD=12所以S△BPE故选：C．过过关验收1．已知向量a→表示“向东航行3km”，向量b→表示“向南航行3km，则A．向东南航行6km B．向东南航行32km C．向东北航行32km D．向东北航行6km【答案】B【解答】解：设OA→=a→，OB→=b→，则以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，由平行四边形法则可知OC→∵OA⊥OB，OA＝OB，∴平行四边形OACB是正方形，∴OC方向为东南方向，∵OA＝OB＝3，∴OC＝32．故选：B．2．某人向东偏北60°方向走50步，记为向量a→；向北偏西60°方向走100步，记为向量b→；向正北方向走200步，记为向量c→A．23a→+b→ B．a→+2【答案】A【解答】解：如图，以步为单位长度，建立平面直角坐标系，则a→=（50cos60°，50sin60°）＝（25，253），c→=（0，200），∵c→=xa解得x=23，y∴c→=2故选：A．3．如果a→表示“向南走5km”，b→表示“向北走10km”，c→表示“向东走10km”，d→表示“向西走5A．a→+b→ B．c→+【答案】C【解答】解：a→+b→表示向北走5c→+d→表示向东走5a→+2b→表示向北走15a→−b→表示向南走15故选：C．4．如图，向量e1→，e2→，a→的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量aA．e1→+e2→ B．2e【答案】C【解答】解：如图，a→=AD故选：C．5．给出下列命题：①若a→，b→同向，则有②a→+b③若a→，b→不共线，则有④|a⑤对任意两个向量a→，b→，总有⑥若三向量a→，b→，c→其中正确的命题是（填序号）【答案】①⑤．【解答】解：由向量加法的三角不等式对于任意向量都有|a→+b→|≤|a→|+|b→可以判断①⑤正确，③④错误，②中a→+b⑥中当a→故答案为：①⑤．6．已知以O为起点的向量a→①a→⋅(a→②设集合M={P|OP→=λa→+μb→，0≤λ≤1，1≤μ≤2}【答案】2；4．【解答】解：①由题意建立如图所示的平面直角坐标系，则a→=（2，1），则a→则a→•（a②设OP→=（x，∵OP→=λa→∴（x，y）＝（2λ+2μ，λ﹣μ），即x=2λ+2μy=λ−μ解得λ=x+2y又∵0≤λ≤1，1≤μ≤2，∴0≤x+2y4≤∴0≤x+2y≤4，4≤x﹣2y≤8，作出M表示的区域，如图所示；由x+2y=0x−2y=4x＝2，y＝﹣1；故点E（2，﹣1），同理可得B（4，﹣2），C（6，﹣1），D（4，0）；故四边形BCDE为菱形，则其面积为S=12|BD|•|EC|故答案为：2；4．7．2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力．如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米．若汽车从A地出发，以52km/h的静水速度向对岸航行，水流速度为5km/h，要使航程最短，大约需要（）时间（单位：A．43 B．62 C．6【答案】D【解答】解：设点B是长江对岸一点，AB所在直线与江岸垂直，当汽车实际沿AB→设汽车的行驶速度为v1→，水流的速度为则|v1→|=52在△ABC中，∠ABC＝90°，可得|v结合江岸宽1000m，可得所需航行的时间为10005000×60=12（故选：D．8．已知向量a→=(−2，1)，b→=(1，msinπA．17 B．4 C．5 D．5【答案】D【解答】解：因为a→⊥b→，所以所以b→=（1，2），则|b→故选：D．9．已知A(3，0)，B(0，1)，则与A．(32，1C．(−32，【答案】C【解答】解：AB→所以与AB→方向相同的单位向量是：AB故选：C．10．与平面向量a→=（5，﹣12）同向共线的单位向量的坐标为【答案】(5【解答】解：与a→同向共线的单位向量的坐标为：a故答案为：(511．已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“AB→A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：由于“四边形ABCD是平行四边形”，所以AB＝DC且AB∥DC，即AB→故“四边形ABCD是平行四边形”是“AB→故选：A．12．已知平面向量a→，b→是单位向量，则“a→，b→是相等向量”是“A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：a→，b→是单位向量，长度相等，从而得出：a→=b所以“a→，b故选：A．13．已知四边形ABCD中，AB→=DC→，|BDA．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形【答案】D【解答】解：根据题意，四边形ABCD中，若AB→=DC→，则AB∥CD且AB＝又|BD→|=|AD→|，∠BAD＝60°，则△故四边形ABCD是菱形．故选：D．14．已知向量e1→，e2A．3 B．﹣3 C．43 D．【答案】D【解答】解：(2e则存在t∈R，使得2e向量e1→，e2→不共线，则2t=−λ故选：D．15．已知a→、b→是两个不共线的向量，若向量3a→−2A．9 B．6 C．﹣4 D．﹣12【答案】D【解答】解：由题意可知，存在实数t∈R使得3a→−2又a→、b→是两个不共线的向量，所以3−xt=08t+2=0故选：D．16．已知OA→=(1，2)，OB→=(4，1)，OC→=(3+t，3−t)，若点A，A．12 B．﹣2 C．52 【答案】C【解答】解：由OA→=(1，2)，OB→可得：AB→=OB若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，即向量AB→与AC所以2+t3≠1−t−1，即﹣2﹣t≠3﹣3故选：C．17．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则OA→A．OC→ B．OD→ C．OE→【答案】D【解答】解：点O为正六边形ABCDEF的中心，则OA→故选：D．18．OA→A．AB→ B．BA→ C．AC→【答案】B【解答】解：原式==BA=BA故选：B．19．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则MA→A．AB→ B．CD→ C．2AB【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴M是AC，BD的中点，∴MA→+MC∴MA→+2MB→+2MC→+MD故选：A．20．定义：平面内，图形Γ上的所有点在直线l上的射影所组成的图形称为Γ在l上的射影．若边长为m的正三角形在某一矩形的四条边所在直线上的射影长度之和为