第01讲 集合及其运算 2026-2027学年高中数学一轮复习讲义（人教版2019）

第01讲集合及其运算内内容导航知识点1集合核心概念知识点2集合间关系知识点3集合基本运算知识点4核心性质与思想知识点5元素与集合的关系知识点6元素特征知识点7Venn图的应用知识点8运算确定集合或参数知识点9容斥原理的应用知识点10新定义问题题型1常用数集及其记法题型2集合的确定性、互异性、无序性题型3判断两个集合是否相同题型4两个集合相等的应用题型5判断元素与集合的属于关系题型6元素与集合的属于关系的应用题型7列举法表示集合题型8描述法表示集合题型9集合并集关系的应用题型10Venn图表集合的包含关系题型11判断两个集合的包含关系题型12集合的包含关系的应用题型13子集的判断与求解题型14集合交集关系的应用题型15集合交集关系的应用题型16集合交并补混合关系的应用知知识点通关知识点1集合核心概念1.关系属于：；不属于：；2.元素三特性确定性：元素是否在集合中可判定互异性：集合中元素互不相同无序性：元素顺序不影响集合3.常用数集自然数集、正整数集或、整数集、有理数集、实数集4.表示方法列举法、描述法、Venn图法知识点2集合间关系关系符号核心含义子集A中所有元素都属于B真子集A⊆B且B中至少一个元素∉A相等A⊆B且B⊆A空集不含任何元素，是任何集合的子集必记结论（1）含n个元素的集合，子集数，真子集数。（2）子集关系的传递性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。方法技巧由集合间的关系求参数的解题方法连续数集：用数轴标范围，注意端点虚实。离散数集：按包含关系列方程求解。核心转化：A∩B=A⇔A⊆BA∪B=A⇔B⊆A易错分析易忽略集合为空集忽略空集：空集是任何集合的子集、非空集合的真子集，含参数时必须讨论A=∅的情况。知识点3集合基本运算运算文字语言符号表示Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合方法技巧明确各个运算的几何意义交：A∩B→既在A又在B并：A∪B→在A或在B补：∁ᵤA→全集中不在A的元素工具：连续数集用数轴，离散数集直接列举。易错分析补集运算忘记全集范围。端点取舍错误（如≤和<）。知识点4核心性质与思想A∩B=A⇔A⊆BA∪B=A⇔B⊆A知识点5元素与集合的关系方法技巧判断元素与集合关系直接法：集合元素明确列出时，直接判断元素是否在集合内。推理法：集合用描述法表示时，先明确元素满足的条件，再验证元素是否符合。符号区分：∈（属于）用于元素与集合；⊆（包含于）用于集合与集合。易错分析混淆元素与集合、集合与集合的关系符号，如把0⊆A写成0∈A。知识点6元素特征方法技巧应用集合元素的特性解题的要点解题核心：先明确集合元素是什么，再用三特性检验。求参数时：先由确定性列方程求参数，再用互异性排除重复元素。无序性：集合元素顺序不影响集合本身。易错分析求参数后忘记检验互异性，导致出现重复元素，答案错误。知识点7Venn图的应用方法技巧德・摩根定律阴影部分：先看是交/并/补哪种组合，再对应计算。德・摩根定律：∁ᵤ(A∪B)=∁ᵤA∩∁ᵤB；∁ᵤ(A∩B)=∁ᵤA∪∁ᵤB。易错分析看错阴影区域看错阴影区域，把A∩∁ᵣB看成∁ᵣA∩B。知识点8运算确定集合或参数方法技巧求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路先化简集合，再把运算关系转成包含关系。数轴法：画数轴定范围，列不等式组。分类讨论：含参数时按空集、非空集讨论。易错分析端点没等号列不等式时端点没等号，范围扩大/缩小。忽略参数使集合为空集的情况。知识点9容斥原理的应用方法技巧在排列组合中的应用（1）容斥定理在排列组合中应用更广泛，一般应用与存在两个限制条件的排列组合问题中，结合正难则反的思想解决问题。（2）运用公式：易错分析重复计数，多算/少算交集部分。知识点10新定义问题方法技巧严格按题目定义运算，不套用旧公式。分步：先理解新符号含义→代入元素→按规则计算→检验集合特性。新定义集合：先列举所有元素，再求交、并、补或个数。易错分析曲解新定义，用常规集合运算代替题目规定规则。考考点演练题型1常用数集及其记法【典例1】给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Z，③0∉N*，④4∈N，⑤π∉Q，⑥A．2 B．4 C．3 D．5【变式1】实数﹣3，−5，−A．﹣3 B．−5 C．−1题型2集合的确定性、互异性、无序性【典例1】定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊗B的所有元素之和为（）A．0 B．4 C．5 D．6【变式1】集合{x，x2﹣1，2}中的x不能取的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3题型3判断两个集合是否相同【典例1】已知集合M＝{1，0}，则与集合M相等的集合为（）A．{(x，y)|x−y=−1x+y=1} C．{x|x=(−1)n【变式1】下列选项中的两个集合相等的有（）A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z} B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+} C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x=1+(−1)n2，nD．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}题型4两个集合相等的应用【典例1】已知集合A＝{a，1}，B＝{0，a+1}，若A＝B，则实数a＝（）A．0 B．1 C．0或1 D．2【变式1】已知{x|ax2﹣4x+1＝0}＝{b}，其中a，b∈R，则b＝（）A．0 B．14或12 C．12题型5判断元素与集合的属于关系【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，若a∈A，且a+3∈A，则a的取值范围是（）A．[﹣2，3] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣2，0] D．[﹣3，2]【变式1】设集合M＝{x∈R|x＜1且x∉Q}，则（）A．23∈M B．5−2∈M 题型6元素与集合的属于关系的应用【典例1】已知集合A＝{x∈N*|1≤x≤2026}．设集合B＝{b1，b2，b3，…，bn}满足B⊆A，且对任意的bi，bj，bk∈B（i，j，k∈{1，2，3，…，n}），存在m∈N*，使得bi+bj+bk＝39m，则n的最大值为（）A．50 B．51 C．52 D．53【变式1】对于n个复数z1，z2，⋯，zn，如果存在n个不全为零的实数k1，k2，⋯，kn，使得k1z1+k2z2+⋯+knzn＝0，就称z1，z2，⋯，zn线性相关．若复数z1＝1，z2＝2i，z3＝1+i线性相关，则满足题意的非零实数组（k1，k2，k3）可以为（）A．（2，3，﹣2） B．（3，1，﹣2） C．（2，﹣1，2） D．（2，1，﹣2）题型7列举法表示集合【典例1】已知集合A＝{x|2x2﹣3x﹣2＝0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{2} B．{3} C．[2，+∞） D．[3，+∞）【变式1】下面关于集合的表示正确的是（）A．{2，3}≠{3，2} B．{（x，y）|x+y＝1}＝{x|x+y＝1}． C．{x|x＞1}＝{y|y＞1} D．∅＝{0}．题型8描述法表示集合【典例1】已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{y|y＝2x，x≤2}，则（）A．A∪B＝B B．A∪B＝A C．A∩B＝B D．A∩（∁RB）＝R【变式1】用描述法表示所有偶数组成的集合．题型9集合并集关系的应用【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{x|（x﹣m）[x﹣（m+2）]＞0}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，3] C．（﹣1，3） D．[﹣1，3]【变式1】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x≥﹣1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3） B．[﹣1，3） C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，3）题型10Venn图表集合的包含关系【典例1】下列Venn图能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2﹣2x＝0}关系的是（）A． B． C． D．【变式1】card（A）表示有限集合A中元素的个数，已知card（A∪B）＝25，card（A）＝22，card（B）＝20，则card（A∩B）＝．题型11判断两个集合的包含关系【典例1】设集合A＝{x|x2+2x＜0}，集合B={x|2x＞12A．（﹣2，0） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣2）【变式1】已知U为全集，集合A，B满足A⊆∁UB，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝U题型12集合的包含关系的应用【典例1】已知集合A＝{x|﹣1＜x＜a}，B＝{x|x≤2a﹣1}，且A⊆B，则a的取值范围是（）A．（﹣1，1] B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【变式1】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|x﹣a＞0}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，﹣4）题型13子集的判断与求解【典例1】对于集合S，若存在集合S的两两不同的子集A1，A2，⋯，Ak，k≥1满足A1⊆A2⊆⋯⊆Ak，则称其为集合S的一条“链”，称k为这条“链”的长度．当集合S的元素个数|S|＝n时，下列说法正确的是（）A．集合S的最长“链”的长度为n+1 B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中 C．当|S|＝4时，该集合的任意两条长为5的“链”中一定具有相同集合 D．集合S的最长“链”的总数为n!【变式1】已知集合A＝{1，2，…，10}共有k个三元子集．任意一个三元子集Ti＝{x，y，z|x＜y＜z}，i∈{1，2，…k}，定义m（Ti）＝y．则i=1km(T题型14集合交集关系的应用【典例1】已知集合M＝{3，4，x2}，N＝{4，x+2}，若M∩N＝N，则x＝（）A．﹣1或1 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或1或2【变式1】已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞4}，B＝{x|a﹣7＜x＜a}，且A∩B＝B，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（11，+∞） B．[﹣2，11] C．（﹣2，11） D．（﹣∞，﹣2]∪[11，+∞）题型15集合交集关系的应用【典例1】已知全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{x∈U|x2＞1}，则∁UA＝（）A．{﹣3，﹣2，2，3} B．{﹣1，0，1} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【变式1】已知全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{3，7，a﹣1}，若∁UA＝{1，5}，则a＝（）A．4 B．6 C．8 D．10题型16集合交并补混合关系的应用【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x∈Z|﹣2＜x＜5}，则（∁RA）∩B＝（）A．（2，5） B．[2，5） C．{3，4} D．{2，3，4}【变式1】已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…n}（n≥2，n∈N+）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k﹣a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n），求f（9）﹣f（8）的值为．过过关验收1．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则﹣a∉N；③集合{x∈R|x2﹣2x+1＝0}中有2个元素；④集合{x∈Q|6x∈N其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．02．已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2023+b2022＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知非空集合A＝{x|m＜x2﹣3x+3＜n}，B={x|m−xx−n＞0}．若A＝B，则m﹣n4．已知集合A＝{x∈R|x2＝3}，下列式子错误的是（）A．3∈A B．∅⊆A C．A⊆∁RQ D．5．已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{x|﹣2＜x≤0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{﹣1，0}6．已知集合M={2A．2+1∉M B．2∈M C．1∈M 7．对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设S＝{a1，a2，…，an}，n∈N*，其中a1＜a2＜…＜an，则S的“绝对交错和”为|a1−a2+a3−a4+⋯+(−1)A．5040 B．4920 C．4856 D．48328．已知集合A＝{x|x2﹣x+2a＜0}，且a∈A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，2）9．已知函数f(x)=|tanπ4x|−t，−2＜x≤1−x2+4x+t，x＞1，集合M＝{m|∃x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝m}．若对任意m1，m2∈M，都有|A．[−52，−12) B．10．已知集合A＝{x|x＜3，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x|0≤x＜3}11．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|1≤x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|x＜4}12．设集合P＝{1，2}，则满足P∪Q＝{1，2，3}的不同集合Q共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个13．设集合A＝{2，3，a2﹣2a﹣3}，B＝{0，3}，C＝{2，a}，若A∪B＝A，A∩C＝{2}，则a＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．314．已知集合A＝{x|x2+px+q＝0}，B＝{x|qx2+px+1＝0}，同时满足A∩B≠∅，A∩∁RB＝{﹣2}，则A∪B＝．15．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≥2}，B＝{x|x2﹣4x＜0}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|3≤x＜4} C．{x|0＜x≤3} D．{x|x≥4}16．如图，已知全集U＝R，集合A＝{x|（2x﹣3）•（x+1）≤0}，B＝{x|x＞0}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x＜﹣1} C．{x|x≤0或x＞32}17．已知集合M＝{x|log2x＜3}，N={x|x+1A．N⊆M B．M∩N＝（0，3） C．M∪N＝（﹣∞，3） D．∁RN＝[3，+∞）18．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝4k±2，k∈Z}，则A，B之间最适合的关系为（）A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．B∩A＝∅19．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4，5}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝{2，3} D．M∪N＝{1，4}20．设集合A＝{1，2}，B＝{x|ax﹣2＝0}，若B⊆A，则由实数a组成的集合为（）A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{0，1，2}21．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B为A的真子集，则m的取值范围是（）A．{m|m＜2} B．{m|2≤m＜3} C．{m|m≤3} D．{m|2＜m≤3}22．设S是实数集R的真子集，且满足下列两个条件：①1不属于S；②若a∈S，则11−a问：（Ⅰ）若2∈S，则S中一定还有哪两个数？（Ⅱ）集合S中能否只有一个元素？说明理由．23．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜1}，B＝{m，3}，且A∩B的元素个数是一个，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，1） B．[﹣2，1] C．[﹣2，1） D．（﹣2，1]24．已知集合A＝{a2，a}，B＝{1，3}，若A∩B＝{1}，则a＝（）A．1 B．3 C．﹣1 D．±125．已知集合A＝{x||x﹣1|＜a}，B＝{﹣4，3}，若A∩B＝∅，则a的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．526．已知全集U＝{﹣1，3，5，7，9}，∁UA＝{﹣1，9}，B＝{3，7，9}，则A∩B＝（）A．{3，7} B．{3，5} C．{3} D．{9}27．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2第01讲集合及其运算内内容导航知识点1集合核心概念知识点2集合间关系知识点3集合基本运算知识点4核心性质与思想知识点5元素与集合的关系知识点6元素特征知识点7Venn图的应用知识点8运算确定集合或参数知识点9容斥原理的应用知识点10新定义问题题型1常用数集及其记法题型2集合的确定性、互异性、无序性题型3判断两个集合是否相同题型4两个集合相等的应用题型5判断元素与集合的属于关系题型6元素与集合的属于关系的应用题型7列举法表示集合题型8描述法表示集合题型9集合并集关系的应用题型10Venn图表集合的包含关系题型11判断两个集合的包含关系题型12集合的包含关系的应用题型13子集的判断与求解题型14集合交集关系的应用题型15集合交集关系的应用题型16集合交并补混合关系的应用知知识点通关知识点1集合核心概念1.关系属于：；不属于：；2.元素三特性确定性：元素是否在集合中可判定互异性：集合中元素互不相同无序性：元素顺序不影响集合3.常用数集自然数集、正整数集或、整数集、有理数集、实数集4.表示方法列举法、描述法、Venn图法知识点2集合间关系关系符号核心含义子集A中所有元素都属于B真子集A⊆B且B中至少一个元素∉A相等A⊆B且B⊆A空集不含任何元素，是任何集合的子集必记结论（1）含n个元素的集合，子集数，真子集数。（2）子集关系的传递性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。方法技巧由集合间的关系求参数的解题方法连续数集：用数轴标范围，注意端点虚实。离散数集：按包含关系列方程求解。核心转化：A∩B=A⇔A⊆BA∪B=A⇔B⊆A易错分析易忽略集合为空集忽略空集：空集是任何集合的子集、非空集合的真子集，含参数时必须讨论A=∅的情况。知识点3集合基本运算运算文字语言符号表示Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合方法技巧明确各个运算的几何意义交：A∩B→既在A又在B并：A∪B→在A或在B补：∁ᵤA→全集中不在A的元素工具：连续数集用数轴，离散数集直接列举。易错分析补集运算忘记全集范围。端点取舍错误（如≤和<）。知识点4核心性质与思想A∩B=A⇔A⊆BA∪B=A⇔B⊆A知识点5元素与集合的关系方法技巧判断元素与集合关系直接法：集合元素明确列出时，直接判断元素是否在集合内。推理法：集合用描述法表示时，先明确元素满足的条件，再验证元素是否符合。符号区分：∈（属于）用于元素与集合；⊆（包含于）用于集合与集合。易错分析混淆元素与集合、集合与集合的关系符号，如把0⊆A写成0∈A。知识点6元素特征方法技巧应用集合元素的特性解题的要点解题核心：先明确集合元素是什么，再用三特性检验。求参数时：先由确定性列方程求参数，再用互异性排除重复元素。无序性：集合元素顺序不影响集合本身。易错分析求参数后忘记检验互异性，导致出现重复元素，答案错误。知识点7Venn图的应用方法技巧德・摩根定律阴影部分：先看是交/并/补哪种组合，再对应计算。德・摩根定律：∁ᵤ(A∪B)=∁ᵤA∩∁ᵤB；∁ᵤ(A∩B)=∁ᵤA∪∁ᵤB。易错分析看错阴影区域看错阴影区域，把A∩∁ᵣB看成∁ᵣA∩B。知识点8运算确定集合或参数方法技巧求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路先化简集合，再把运算关系转成包含关系。数轴法：画数轴定范围，列不等式组。分类讨论：含参数时按空集、非空集讨论。易错分析端点没等号列不等式时端点没等号，范围扩大/缩小。忽略参数使集合为空集的情况。知识点9容斥原理的应用方法技巧在排列组合中的应用（1）容斥定理在排列组合中应用更广泛，一般应用与存在两个限制条件的排列组合问题中，结合正难则反的思想解决问题。（2）运用公式：易错分析重复计数，多算/少算交集部分。知识点10新定义问题方法技巧严格按题目定义运算，不套用旧公式。分步：先理解新符号含义→代入元素→按规则计算→检验集合特性。新定义集合：先列举所有元素，再求交、并、补或个数。易错分析曲解新定义，用常规集合运算代替题目规定规则。考考点演练题型1常用数集及其记法【典例1】给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Z，③0∉N*，④4∈N，⑤π∉Q，⑥A．2 B．4 C．3 D．5【答案】D【解答】解：对于①，因为22是实数，所以22∈R，故对于②，因为3不是整数，所以3∉Z，故②对于③，因为0不是正整数，所以0∉N*，故③正确；对于④，因为4=2是正整数，所以4∈N，故对于⑤，因为π是无理数，所以π∉Q，故⑤正确；对于⑥，因为|﹣2|＝2，所以|﹣2|∈Z，故⑥正确．所以其中正确命题的个数为5个．故选：D．【变式1】实数﹣3，−5，−A．﹣3 B．−5 C．−1【答案】A【解答】解：由题意可知，实数﹣3，−5，−故选：A．题型2集合的确定性、互异性、无序性【典例1】定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊗B的所有元素之和为（）A．0 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：∵A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．又A＝{0，1}，B＝{2，3}，∴A⊗B＝{0，2，3}所以集合A*B的所有元素之和为0+2+3＝5故选：C．【变式1】集合{x，x2﹣1，2}中的x不能取的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】解：集合{x，x2﹣1，2}中，由互异性可知，x≠2且x2﹣1≠2且x≠x2﹣1，得x≠2或x≠±3或x≠故选：C．题型3判断两个集合是否相同【典例1】已知集合M＝{1，0}，则与集合M相等的集合为（）A．{(x，y)|x−y=−1x+y=1} C．{x|x=(−1)n【答案】D【解答】解：A：集合{（x，y）|x−y=−1x+y=1}与集合M的元素不同，AB：{（x，y）|y=x−1+1−x}与集合MC：{x|x=(−1)n−12，n∈ND：{y|y＝|sinnπ2，n∈N*}＝{1，0}＝M，D故选：D．【变式1】下列选项中的两个集合相等的有（）A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z} B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+} C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x=1+(−1)n2，nD．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}【答案】AC【解答】解：选项A：因为集合P，Q表示的都是所有偶数组成的集合，所以P＝Q；选项B：集合P中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，集合Q是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q，所以P≠Q；选项C：集合P＝{0，1}，集合Q中：当n为奇数时，x＝0，当n为偶数时，x＝1，所以Q＝{0，1}，则P＝Q；选项D：集合P表示的是数集，集合Q表示的是点集，所以P≠Q；综上，选项AC表示的集合相等，故选：AC．题型4两个集合相等的应用【典例1】已知集合A＝{a，1}，B＝{0，a+1}，若A＝B，则实数a＝（）A．0 B．1 C．0或1 D．2【答案】A【解答】解：由题意可知，集合A＝{a，1}，B＝{0，a+1}，且A＝B，所以a=01=a+1解得a＝0．故选：A．【变式1】已知{x|ax2﹣4x+1＝0}＝{b}，其中a，b∈R，则b＝（）A．0 B．14或12 C．12【答案】B【解答】解：由题意知：b为方程ax2﹣4x+1＝0的根，当a＝0时，方程ax2﹣4x+1＝0转化为﹣4x+1＝0，解得x=14，所以当a≠0时，有ab2−4b+1=0故选：B．题型5判断元素与集合的属于关系【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，若a∈A，且a+3∈A，则a的取值范围是（）A．[﹣2，3] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣2，0] D．[﹣3，2]【答案】C【解答】解：A＝{x|﹣2≤x≤3}；因为a∈A且a+3∈A，所以−2≤a≤3−2≤a+3≤3，解得﹣2≤a所以a的取值范围是[﹣2，0]．故选：C．【变式1】设集合M＝{x∈R|x＜1且x∉Q}，则（）A．23∈M B．5−2∈M 【答案】B【解答】解：由集合M＝{x∈R|x＜1且x∉Q}，可得集合M表示小于1的无理数，对于A，由23∈Q，所以23对于B，由5−2＜1且5−2对于C，由2−1＜1且2−1∉Q，所以2−1∈M对于D，由3−3＞1，所以3−3故选：B．题型6元素与集合的属于关系的应用【典例1】已知集合A＝{x∈N*|1≤x≤2026}．设集合B＝{b1，b2，b3，…，bn}满足B⊆A，且对任意的bi，bj，bk∈B（i，j，k∈{1，2，3，…，n}），存在m∈N*，使得bi+bj+bk＝39m，则n的最大值为（）A．50 B．51 C．52 D．53【答案】C【解答】解：集合A＝{x∈N*|1≤x≤2026}，设集合B＝{b1，b2，b3，…，bn}满足B⊆A，对任意的bi，bj，bk∈B（i，j，k∈{1，2，3，…，n}），∵39＝1×39＝3×13，由选项可知n的最大值大于3，若对任意的bi，bj，bk∈B，存在m∈N*，使得bi+bj+bk＝39m，则集合B的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，即B＝{39，78，…，39n}或B＝{13，52，…，39n﹣26}或B＝{26，65，…，39n﹣13}，若B＝{39，78，117，…，39n}，则39n≤2026，解得n≤202639∈(51，52)若B＝{13，52，…，39n﹣26}，则39n﹣26≤2026，解得n≤68413∈(52，53)若B＝{26，65，…，39n﹣13}，则39n﹣13≤2026，解得n≤203939∈(52，53)综上，n的最大值为52．故选：C．【变式1】对于n个复数z1，z2，⋯，zn，如果存在n个不全为零的实数k1，k2，⋯，kn，使得k1z1+k2z2+⋯+knzn＝0，就称z1，z2，⋯，zn线性相关．若复数z1＝1，z2＝2i，z3＝1+i线性相关，则满足题意的非零实数组（k1，k2，k3）可以为（）A．（2，3，﹣2） B．（3，1，﹣2） C．（2，﹣1，2） D．（2，1，﹣2）【答案】D【解答】解：∵复数z1＝1，z2＝2i，z3＝1+i线性相关，∴k1z1+k2z2+k3z3＝k1+2k2i+k3（1+i）＝k1+k3+（2k2+k3）i＝0，∴k1+k3＝0，2k2+k3＝0，分析四个选项得：（k1，k2，k3）为（2，3，﹣2）不满足要求，故A错误；（k1，k2，k3）为（3，1，﹣2）不满足要求，故B错误；（k1，k2，k3）为（2，﹣1，2）不满足要求，故C错误；（k1，k2，k3）为（2，1，﹣2）满足要求，故D正确．故选：D．题型7列举法表示集合【典例1】已知集合A＝{x|2x2﹣3x﹣2＝0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{2} B．{3} C．[2，+∞） D．[3，+∞）【答案】A【解答】解：集合A＝{x|2x2﹣3x﹣2＝0}＝{−12，2}，B＝{x|则A∩B＝{2}．故选：A．【变式1】下面关于集合的表示正确的是（）A．{2，3}≠{3，2} B．{（x，y）|x+y＝1}＝{x|x+y＝1}． C．{x|x＞1}＝{y|y＞1} D．∅＝{0}．【答案】C【解答】解：对于A，可知{2，3}＝{3，2}，故错误；对于B，元素不相同，故不是相等集合，故错误；对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确；对于D，{0}不是空集，故错误．故选：C．题型8描述法表示集合【典例1】已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{y|y＝2x，x≤2}，则（）A．A∪B＝B B．A∪B＝A C．A∩B＝B D．A∩（∁RB）＝R【答案】A【解答】解：由log2x≤1解得0＜x≤2；由x≤2，则0＜2x≤4；所以A＝{x|0＜x≤2}，B＝{y|0＜y≤4}，则A⊆B，且∁RB＝{y|y≤0，或y＞4}，则A∪B＝B，A∩B＝A，A∩∁RB＝∅．故选：A．【变式1】用描述法表示所有偶数组成的集合．【答案】{x|x＝2n，n∈Z}．【解答】解：描述法为：{x|x＝2n，n∈Z}．故答案为：{x|x＝2n，n∈Z}．题型9集合并集关系的应用【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{x|（x﹣m）[x﹣（m+2）]＞0}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，3] C．（﹣1，3） D．[﹣1，3]【答案】C【解答】解：因为A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}＝{x|（x+1）（x﹣5）＜0}＝（﹣1，5），由（x﹣m）[x﹣（m+2）]＞0，显然m+2＞m，解得x＞m+2或x＜m，所以B＝{x|（x﹣m）[x﹣（m+2）]＞0}＝（﹣∞，m）∪（m+2，+∞），若A∪B＝R，则m＞−1m+2＜5，解得﹣1＜m即实数m的取值范围是（﹣1，3）．故选：C．【变式1】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x≥﹣1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3） B．[﹣1，3） C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，3）【答案】C【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥﹣1}，∴A∪B＝{x|x≥﹣1}．故选：C．题型10Venn图表集合的包含关系【典例1】下列Venn图能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2﹣2x＝0}关系的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：因为N＝{x|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，M＝{0，1，2}，故N⊆M．故选：B．【变式1】card（A）表示有限集合A中元素的个数，已知card（A∪B）＝25，card（A）＝22，card（B）＝20，则card（A∩B）＝．【答案】17．【解答】解：由容斥原理可知，card（A∩B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∪B）＝22+20﹣25＝17．故答案为：17．题型11判断两个集合的包含关系【典例1】设集合A＝{x|x2+2x＜0}，集合B={x|2x＞12A．（﹣2，0） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣2）【答案】C【解答】解：由x2+2x＜0，得﹣2＜x＜0，所以A＝（﹣2，0），由2x＞12，可得所以A∩B＝（﹣1，0）．故选：C．【变式1】已知U为全集，集合A，B满足A⊆∁UB，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝U【答案】C【解答】解：由题意可知，集合A，B满足A⊆∁UB，画出Venn图，如图所示：所以A∩B＝∅，而A与B之间没有包含关系，且A∪B不一定是全集．故选：C．题型12集合的包含关系的应用【典例1】已知集合A＝{x|﹣1＜x＜a}，B＝{x|x≤2a﹣1}，且A⊆B，则a的取值范围是（）A．（﹣1，1] B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【答案】D【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜a}，B＝{x|x≤2a﹣1}，当a≤﹣1时，A＝∅，满足A⊆B，当A≠∅时，由A⊆B，得a＞−12a−1≥a，解得a所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．故选：D．【变式1】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|x﹣a＞0}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，﹣4）【答案】B【解答】解：由不等式x2﹣3x﹣4≤0，可得（x﹣4）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤4，所以A＝[﹣1，4]，因为x﹣a＞0，所以x＞a，则B＝（a，+∞），因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以a＜﹣1，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．题型13子集的判断与求解【典例1】对于集合S，若存在集合S的两两不同的子集A1，A2，⋯，Ak，k≥1满足A1⊆A2⊆⋯⊆Ak，则称其为集合S的一条“链”，称k为这条“链”的长度．当集合S的元素个数|S|＝n时，下列说法正确的是（）A．集合S的最长“链”的长度为n+1 B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中 C．当|S|＝4时，该集合的任意两条长为5的“链”中一定具有相同集合 D．集合S的最长“链”的总数为n!【答案】ACD【解答】解：A选项，设S＝{a1，a2，⋯，an}，两两不同的子集A1，A2，⋯，Ak，k≥1，满足A1⊆A2⊆⋯⊆Ak，故Ak+1中的元素要至少比Ak多一个元素，要想集合S的一条“链”为最长“链”，需满足A1＝∅，且Ak+1中元素比Ak中元素多1，所以A1＝∅，A2＝{at}，A3＝{at，aq}，⋯，Ak＝S，故集合S的最长“链”的长度为n+1，A正确；B选项，不妨设Am＝{1}，Aw＝{2}，显然两个集合不存在包含关系，故不能都出现在同一个“链”中，B错误；C选项，当|S|＝4时，长为5的“链”必然包括空集和本身，所以C选项正确．D选项，由A选项值，S的最长“链”的长度为n+1，其中A2＝{at}有n种选择，A3＝{at，aq}有（n﹣1）种选择，以此类推，Ar＝{at，aq，⋯，au}中共有（r﹣1）个元素，有（n﹣r+2）种选择，综上，S的最长“链”的总数为n!，D正确．故答案为：ACD．【变式1】已知集合A＝{1，2，…，10}共有k个三元子集．任意一个三元子集Ti＝{x，y，z|x＜y＜z}，i∈{1，2，…k}，定义m（Ti）＝y．则i=1km(T【答案】660．【解答】解：对于集合A中的元素y（2≤y≤9），要使y在三元子集{x，y，z|x＜y＜z}中，则x可以从1到y﹣1这y﹣1个元素中任选1个，z可以从y+1到10这10﹣y个元素中任选1个，根据分步乘法计数原理，y作为三元子集{x，y，z|x＜y＜z}的中间数出现的次数为（y﹣1）（10﹣y），则ki=1故答案为：660．题型14集合交集关系的应用【典例1】已知集合M＝{3，4，x2}，N＝{4，x+2}，若M∩N＝N，则x＝（）A．﹣1或1 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或1或2【答案】A【解答】解：由N＝{4，x+2}，可得x+2≠4，即x≠2，而集合M＝{3，4，x2}，由M∩N＝N，得N⊆M，得x+2＝3或x+2＝x2，所以x＝1或x＝﹣1．故选：A．【变式1】已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞4}，B＝{x|a﹣7＜x＜a}，且A∩B＝B，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（11，+∞） B．[﹣2，11] C．（﹣2，11） D．（﹣∞，﹣2]∪[11，+∞）【答案】D【解答】解：因为A∩B＝B，所以B⊆A，又因为集合A＝{x|x＜﹣2或x＞4}，B＝{x|a﹣7＜x＜a}，且显然B≠∅，则a≤﹣2或a﹣7≥4，解得a≤﹣2或a≥11，综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[11，+∞）．故选：D．题型15集合交集关系的应用【典例1】已知全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{x∈U|x2＞1}，则∁UA＝（）A．{﹣3，﹣2，2，3} B．{﹣1，0，1} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【答案】B【解答】解：全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＞1}＝{x∈U|x＞1或x＜﹣1}＝{﹣3，﹣2，2，3}，故∁UA＝{﹣1，0，1}．故选：B．【变式1】已知全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{3，7，a﹣1}，若∁UA＝{1，5}，则a＝（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【解答】解：∵U＝{1，3，5，7，9}，A＝{3，7，a﹣1}，∁UA＝{1，5}，∴a﹣1＝9，即a＝10．故选：D．题型16集合交并补混合关系的应用【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x∈Z|﹣2＜x＜5}，则（∁RA）∩B＝（）A．（2，5） B．[2，5） C．{3，4} D．{2，3，4}【答案】C【解答】解：根据题意，x2﹣x﹣2≤0⇒﹣1≤x≤2，则A＝{x|﹣1≤x≤2}，故∁RA＝{x|x＜﹣1或x＞2}，又B＝{x∈Z|﹣2＜x＜5}＝{﹣1，0，1，2，3，4}，故（∁RA）∩B＝{3，4}．故选：C．【变式1】已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…n}（n≥2，n∈N+）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k﹣a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n），求f（9）﹣f（8）的值为．【答案】31【解答】qev：当n＝2时，M＝{0}，{1}，{2}，{0，2}，{0，1，2}具有性质P，对应的k分别为0，1，2，1，1，故f（2）＝5．n＝k时，具有性质P的集合M的个数为f（t），则当n＝k+1时，f（t+1）＝f（t）+g（t+1），其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数，下面计算g（t+1）关于t的表达式，此时应有2k≥t+1，即k≥t+12，故对n＝①当t为偶数时，t+1为奇数，故应该有k≥t+2则对每一个k，t+1和2k﹣t﹣1必然属于集合M，且t和2k﹣t，…，k和k共有t+1﹣k组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M，故对每一个k，对应的具有性质P的集合M的个数为Ct+1−k0+Ct+1−k所以g（t+1）=2②当t为奇数时，t+1为偶数，故应该有k≥t+1同理g（t+1）=2∴f（t+1）=f(t)+2×由累加法得：f（n）=6×∴f（9）﹣f（8）＝4×25﹣9﹣5﹣（6×24﹣8﹣5）＝31．故答案为：31．过过关验收1．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则﹣a∉N；③集合{x∈R|x2﹣2x+1＝0}中有2个元素；④集合{x∈Q|6x∈N其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【解答】解：①{0}中有元素0，不是空集，故①不正确；②若a∈N，则﹣a∉N，不正确，例如a＝0，0∈N，而﹣0∈N；③集合A＝{x∈R|x2﹣2x+1＝0}＝{1}有1个元素，故③不正确；④当x为正整数的倒数时，6x∈N，故集合{x∈Q|6x∈N}是无限集，故故选：A．2．已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2023+b2022＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解答】解：∵A＝B，∴a2=1ab=ba≠1或a2∴a2023+b2022＝﹣1．故选：A．3．已知非空集合A＝{x|m＜x2﹣3x+3＜n}，B={x|m−xx−n＞0}．若A＝B，则m﹣n【答案】﹣3．【解答】解：由A＝{x|m＜x2﹣3x+3＜n}为非空集合可知m＜n，故B＝{x|m−xx−n＞0}＝{x|x−mx−n＜0}＝{x|（x﹣m）（x﹣n）＜0}＝{x|m＜由于A＝B，故m＜（x2﹣3x+3）min，即m＜3m，n是x2﹣3x+3＝n的两个不相等的实数根，故m+n＝3且mn＝3﹣n，解得m＝0，n＝3或m＝2，n＝1（舍去），故m﹣n＝﹣3．故答案为：﹣3．4．已知集合A＝{x∈R|x2＝3}，下列式子错误的是（）A．3∈A B．∅⊆A C．A⊆∁RQ D．【答案】D【解答】解：由题意可知，集合A＝{x∈R|x2＝3}＝{−3，3所以3∈A，故A因为空集是任何集合的子集，所以∅⊆A，故B正确；∁RQ表示无理数组成的集合，而±3均为无理数，所以A⊆∁RQ，故C因为集合A＝{−3，3所以{−3}⊆A，故故选：D．5．已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{x|﹣2＜x≤0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{﹣1，0}【答案】D【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{x|﹣2＜x≤0}，根据交集的定义可知，A∩B＝{﹣1，0}．故选：D．6．已知集合M={2A．2+1∉M B．2∈M C．1∈M 【答案】C【解答】解：对于A，当m＝1时，2m+1=2+1∈M对于B，令2m+1=2，解得m=2−12对于C，当m＝0时，2m+1=1∈M，故C对于D，令2m+1=1−2，解得m＝﹣1∉N，故1−2故选：C．7．对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设S＝{a1，a2，…，an}，n∈N*，其中a1＜a2＜…＜an，则S的“绝对交错和”为|a1−a2+a3−a4+⋯+(−1)A．5040 B．4920 C．4856 D．4832【答案】A【解答】解：T＝{15，23，26，630}，当子集为单元素集合时，子集的“绝对交错和”的总和为15+23+26+630＝694；子集为两个元素的集合时，子集的“绝对交错和”的总和为T中任意两个元素的差的绝对值之和，即|15﹣23|+|15﹣26|+|15﹣630|+|23﹣26|+|23﹣630|+|26﹣630|＝8+11+615+3+604＝1848；子集为三个元素的集合时，若是{15，23，26}，则“绝对交错和”为|15﹣23+26|＝18；若{15，23，630}，则“绝对交错和”为|15﹣23+630|＝622；若{15，26，630}，则“绝对交错和”为|15﹣26+630|＝619；若{23，26，630}，则“绝对交错和”为|23﹣26+630|＝627；故子集的“绝对交错和”的总和为18+622+619+627＝1886；当子集为四个元素的集合时，“绝对交错和”为|15﹣23+26﹣630|＝612，则694+1848+1886+612＝5040．故选：A．8．已知集合A＝{x|x2﹣x+2a＜0}，且a∈A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，2）【答案】B【解答】解：由集合A＝{x|x2﹣x+2a＜0}，且a∈A代入得a2﹣a+2a＜0，解得﹣1＜a＜0．故选：B．9．已知函数f(x)=|tanπ4x|−t，−2＜x≤1−x2+4x+t，x＞1，集合M＝{m|∃x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝m}．若对任意m1，m2∈M，都有|A．[−52，−12) B．【答案】A【解答】解：函数f(x)=|tan集合M＝{m|∃x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝m}，对任意m1，m2∈M，都有|m1﹣m2|＜3，由图象可知，f（x）在（﹣2，0）单调递减，在（0，1]单调递增，（1，2）单调递增，（2，+∞）单调递减，且f（0）＝﹣t，f（1）＝1﹣t，x＞1且x→1时，f（x）→3+t，f（2）＝4+t，如图①，当f（2）≥f（1）时，即4+t≥1−t⇒t≥−32，此时3+t≥﹣若对任意m1，m2∈M，都有|m1﹣m2|＜3，此时|m1﹣m2|max＝4+t﹣（﹣t）＜3，解得t＜−1此时−3如图②，当f（2）＜f（1）时，即4+t＜1−t⇒t＜−32，此时3+t＜﹣若对任意m1，m2∈M，都有|m1﹣m2|＜3，此时只需1−t−(3+t)≤3⇒t≥−故−5综上，−5故t的取值范围为[−5故选：A．10．已知集合A＝{x|x＜3，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x|0≤x＜3}【答案】C【解答】解：由题意可知，A＝{x|x＜3，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，所以A∩B＝{0，1，2}．故选：C．11．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|1≤x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|x＜4}【答案】C【解答】解：由题意得A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}．故选：C．12．设集合P＝{1，2}，则满足P∪Q＝{1，2，3}的不同集合Q共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】B【解答】解：由题意可知，P＝{1，2}，P∪Q＝{1，2，3}，所以Q＝{3}，{1，3}，{2，3}或{1，2，3}，即满足P∪Q＝{1，2，3}的不同集合Q共有4个．故选：B．13．设集合A＝{2，3，a2﹣2a﹣3}，B＝{0，3}，C＝{2，a}，若A∪B＝A，A∩C＝{2}，则a＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】B【解答】解：因为A∪B＝A，所以B⊆A，因为集合A＝{2，3，a2﹣2a﹣3}，B＝{0，3}，所以0∈A，所以a2﹣2a﹣3＝0，解得a＝3或a＝﹣1，当a＝3时，A＝{2，3，0}，C＝{2，3}，A∩C＝{2，3}，不符合题意，当a＝﹣1时，A＝{2，3，0}，C＝{2，﹣1}，A∩C＝{2}，符合题意，综上所述，a＝﹣1．故选：B．14．已知集合A＝{x|x2+px+q＝0}，B＝{x|qx2+px+1＝0}，同时满足A∩B≠∅，A∩∁RB＝{﹣2}，则A∪B＝．【答案】{1，−12，−2}【解答】解：设x0∈A，若x0＝0，又﹣2∈A，故p＝2，q＝0，此时B={x|2x+1=0}={−1故x0≠0，所以x02+px0即集合A，B中的元素互为倒数，因为A∩B≠∅，所以存在x0∈A，使得1x0∈B且x0又因为A∩∁RB＝{﹣2}，所以A＝{1，﹣2}或A＝{﹣1，﹣2}，若A＝{﹣1，﹣2}，则B={−1，−12}若A＝{1，﹣2}，则B={1，−12}综上所述，A∪B={1，−12，−2}故答案为：{1，−12，−2}15．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≥2}，B＝{x|x2﹣4x＜0}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|3≤x＜4} C．{x|0＜x≤3} D．{x|x≥4}【答案】B【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≥2}＝{x|x≥3或x≤﹣1}，B＝{x|x2﹣4x＜0}＝{x|0＜x＜4}，则图中阴