第18讲 三角恒等变换 2026-2027学年高中数学一轮复习讲义（人教版2019）

第18讲三角恒等变换内内容导航知识点1两角和与差的三角函数公式知识点2二倍角公式与升降幂公式知识点3辅助角公式知识点4三角恒等变换通用化简原则知识点5给角求值知识点6给值求值知识点7给值求角知识点8三角函数的化简与证明知识点9辅助角公式综合知识点10恒等变换与解三角形综合题型1求两角和与差的三角函数值题型2两角和与差的三角函数的逆用题型3求二倍角的三角函数值题型4二倍角的三角函数的逆用题型5半角的三角函数题型6三角函数恒等式的证明题型7三角函数的恒等变换及化简求值题型8三角函数中的恒等变换应用知知识点通关知识点1两角和与差的三角函数公式一、核心公式两角和与差的正弦两角和与差的余弦

cos⁡(α+β)=两角和与差的正切

tanα+β（α,β,α±β均不等于π2知识点2二倍角公式与升降幂公式一、二倍角基础公式正弦二倍角：sin⁡2余弦二倍角（三种形式）：cos⁡2α=2正切二倍角：tan⁡2α=2tan⁡α1−二、升降幂公式（余弦二倍角逆向变形，化简必备）升幂公式（去根号、化整式）

1+cos降幂公式（降次数、化一次）

sin2三、补充常用变形sin1±知识点3辅助角公式一、公式形式

对于asin⁡x+bcos⁡x（a,b不同时为0），可统一为单一三角函数：

asin⁡x+bcos也可化为余弦形式：

a二、核心作用求三角函数的值域、最值、最小正周期；求解三角函数的单调区间、对称轴、对称中心；解三角形、三角实际应用中的最值问题。知识点4三角恒等变换通用化简原则统一角：利用和差、二倍角、诱导公式，将所有角转化为同一种角；统一函数名：切割化弦，将正切、余切全部转化为正弦、余弦；统一次数：高次式用降幂公式，含根号用升幂公式，最终化为一次式；常数代换：灵活运用1=sin结构优化：通过因式分解、通分、约分简化式子结构。知识点5给角求值方法技巧1.非特殊角拆分：将目标角拆分为30∘,45∘,2.公式逆用：观察式子结构，匹配和差角公式的右侧形式，直接合并为单角三角函数；

3.负角、大角先通过诱导公式转化为锐角，再套用和差公式。易错分析1.正弦、余弦和差公式的符号记混，导致结果符号错误；

2.正切公式分子分母符号颠倒；

3.特殊角的三角函数值记忆错误。知识点6给值求值方法技巧1.先定范围：根据已知角的区间，确定所求三角函数的符号，避免多解；

2.配凑优先：优先用已知角的和差表示目标角，不单独求解未知角，减少运算量；

3.齐次式变形：sin⁡α±cos⁡α类式子优先平方，转化为sin⁡αcos⁡α整体运算。易错分析1.忽略角的区间限制，开平方时符号判断错误；

2.角的配凑关系错误，和差颠倒；

3.多步运算中符号累积出错。知识点7给值求角方法技巧1.选函数：根据角的范围选择单调函数，(0,π)选余弦，(−π2,π2易错分析1.只计算三角函数值，不限制角的范围，导致出现多解；

2.选择的函数在区间内不单调，无法唯一确定角；

3.范围缩小不充分，遗漏取舍条件。知识点8三角函数的化简与证明方法技巧1.化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂；

2.证明方法：从繁到简、左右归一、作差为0、变更命题；

3.常用技巧：1的代换、因式分解、配方、通分约分。易错分析1.变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形；

2.二倍角公式记错，升降幂变形错误；

3.切割化弦时正切换算遗漏分母，运算失误。知识点9辅助角公式综合方法技巧1.标准步骤：先降幂、再展开、最后用辅助角公式统一为Asin⁡(ωx+φ)形式；

2.性质求解：统一形式后，直接套用正弦函数的周期、最值、单调区间公式；

3.区间最值：根据x的范围求出ωx+φ的范围，结合三角函数图象求值域。易错分析1.辅助角φ的符号与象限判断错误；

2.降幂公式记错，二倍角变形出错；

3.求单调区间时遗漏k∈ℤ知识点10恒等变换与解三角形综合方法技巧1.内角和转化：A+B+C=π，故sin⁡(B+C)=sin⁡A，cos⁡(B+C)=−cos⁡A；

2.边角互化：正弦定理、余弦定理实现边角转化后，用恒等变换化简；

3.最值问题：统一为单角三角函数，结合辅助角公式求值域，或用基本不等式求解。易错分析1.三角形内角和诱导公式符号记错；

2.忽略三角形内角范围(0,π)，导致符号判断错误；

3.求最值时遗漏等号成立条件。考考点演练题型1求两角和与差的三角函数值【典例1】已知α∈（0，π），且2cos2α﹣cosα＝1，则sin(α+πA．2−64 B．2+64【变式1】已知tanxtany＝2，cos(x+y)=13，则cos（x﹣A．﹣1 B．1 C．−19 题型2两角和与差的三角函数的逆用【典例1】已知α，β∈(0，π2)，sinα−cosβ=13A．79 B．−C．429 D．−【变式1】已知α，β∈（0，π），且sinα+sin(β−π2)=0，sinβ+cosα＝0，则满足条件的一组α，β的值可以是α＝，β＝题型3求二倍角的三角函数值【典例1】若tan（α+π）＝3，则sin2α﹣2cos2α＝（）A．−25 B．25 C．−【变式1】已知α∈(π2，π)，且sinβcos(α−β)−sin(A．34 B．−34 C．4题型4二倍角的三角函数的逆用【典例1】在平面直角坐标内（O为坐标原点），已知A(1，0)，B(45，−35)，将B绕O沿逆时针方向旋转60°到点C，设∠AOC＝α，则【变式1】设α∈(π4，π2)，若sin2α=13，则cos题型5半角的三角函数【典例1】已知α∈(π2，π)，25cos2α﹣10sinαA．3 B．43 C．34 【变式1】若α∈(−π2，π2A．13 B．33 C．23题型6三角函数恒等式的证明【典例1】（1）证明：sin3x＝3sinx﹣4sin3x；（2）若sin10°∈(1n+1，1n)，n【变式1】求证：sin(2α+β)sinα−2cos（α+β）题型7三角函数的恒等变换及化简求值【典例1】已知π4＜θ＜π3，若a=tanθtan2θ+1，b=A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【变式1】sin15°+cos15°＝（）A．62 B．64 C．32题型8三角函数中的恒等变换应用【典例1】已知函数f（x）＝2cosx﹣sin2x，则下列结论不正确的是（）A．f（x）的周期为2π B．y＝f（x）的图象关于x=π2C．f（x）的最大值为33D．f（x）在区间(7π【变式1】已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx+2sin2ωx（ω＞0）在[π4，A．（0，4] B．[32，73]过过关验收1．已知锐角α，β满足cos(α+β)=25m，cos(α−β)=35A．2 B．3 C．5 D．152．如图是函数y＝sin（ωx+φ），ω＞0，0＜φ＜π的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（）A．sin(2x−2π3) C．cos(2x+π6)3．设θ是锐角，cos(θ+π4)=cos(θ−A．2+1 B．2+12 C．24．cos50°cos10°﹣sin130°sin10°＝（）A．cos40° B．sin40° C．12 D．5．若tan(α+π4)=A．−35 B．35 C．−6．sin50°+sin70°sin80°A．23 B．3 C．2 7．已知锐角α，β满足sin（α+β）＝3sin（α﹣β），则sin（α﹣β）的最大值是（）A．31010 B．12 C．108．已知cos(α−π6)=A．18 B．−18 C．79．已知0＜α＜π2，且sinα−cosα=1A．19 B．49 C．7910．若α为第二象限角，且tan2α=sinα2+cosα，则tanA．−15 B．−1515 C．−12．若sin(θ+π3)=A．−79 B．−29 C．13．已知cosα=−79，α∈(π，A．−223 B．−13 14．若θ∈(0，π2)，cos2θ=A．12 B．34 C．415．已知4sin2α2=2−sinα，则sin216．已知sinθ=817，θ∈(0，A．81717 B．41717 C．17．若θ∈(−π2，π2A．64 B．104 C．±618．已知|cosθ|=35且5π2＜θ＜3π，则tan19．已知α是第三象限角，cos(α+π2)=35，则20．在△ABC中，A、B为锐角且B＜A，sinA=55，sin2B（1）求角C的值；（2）求证：5cosAcos（A+3B）＝2sinB．21．已知sinθ+cosθ＝a，sinθ﹣cosθ＝b，求证：a2+b2＝2．22．已知θ∈(0，π2)，sin(A．33−410 B．43−31023．若π2＜α＜π，则A．0 B．1 C．2 D．﹣224．若函数f(x)=2sin(2x+φ)+cos2x(|φ|＜π2)A．4−32 B．32 C．525．已知α，β∈R，则“存在k∈Z，使得α＝2kπ+β”是“cosα＝cosβ”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件26．在平面直角坐标系xOy中，已知锐角α的终边与单位圆交于A（x1，y1），角(α+π4)的终边与单位圆交于B（x2，y2），若x1y227．已知函数f（x）＝sinx+sin（x+θ）+sin（x+2θ），θ∈(0，π2)，且f(5π6)=0，则当x∈[0，A．[−3+12，C．[−3+1228．设f（x）＝（a+b）cos2x+（a﹣b）sin2x，若{f（x）|x∈R}＝{2}，则（）A．a＝1且b＝1 B．a＝2且b＝0 C．a＝0且b＝2 D．a＝1且b＝﹣129．函数y＝cos2（x−π12）+sin2（xA．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数30．已知函数f（x）＝asinx+cos2x（a＞0），x∈[0，2π]，若f（x）的最大值为32A．a=12，f（x）有2个零点 B．a=12，fC．a＝2，f（x）有2个零点 D．a＝2，f（x）有3个零点31．在△ABC中，AB＝1，sin2A+sin2B＝4sinAsinBcosC，则△ABC的面积的最大值为（）A．14 B．34 C．12第18讲三角恒等变换内内容导航知识点1两角和与差的三角函数公式知识点2二倍角公式与升降幂公式知识点3辅助角公式知识点4三角恒等变换通用化简原则知识点5给角求值知识点6给值求值知识点7给值求角知识点8三角函数的化简与证明知识点9辅助角公式综合知识点10恒等变换与解三角形综合题型1求两角和与差的三角函数值题型2两角和与差的三角函数的逆用题型3求二倍角的三角函数值题型4二倍角的三角函数的逆用题型5半角的三角函数题型6三角函数恒等式的证明题型7三角函数的恒等变换及化简求值题型8三角函数中的恒等变换应用知知识点通关知识点1两角和与差的三角函数公式一、核心公式两角和与差的正弦两角和与差的余弦

cos⁡(α+β)=两角和与差的正切

tanα+β（α,β,α±β均不等于π2知识点2二倍角公式与升降幂公式一、二倍角基础公式正弦二倍角：sin⁡2余弦二倍角（三种形式）：cos⁡2α=2正切二倍角：tan⁡2α=2tan⁡α1−二、升降幂公式（余弦二倍角逆向变形，化简必备）升幂公式（去根号、化整式）

1+cos降幂公式（降次数、化一次）

sin2三、补充常用变形sin1±知识点3辅助角公式一、公式形式

对于asin⁡x+bcos⁡x（a,b不同时为0），可统一为单一三角函数：

asin⁡x+bcos也可化为余弦形式：

a二、核心作用求三角函数的值域、最值、最小正周期；求解三角函数的单调区间、对称轴、对称中心；解三角形、三角实际应用中的最值问题。知识点4三角恒等变换通用化简原则统一角：利用和差、二倍角、诱导公式，将所有角转化为同一种角；统一函数名：切割化弦，将正切、余切全部转化为正弦、余弦；统一次数：高次式用降幂公式，含根号用升幂公式，最终化为一次式；常数代换：灵活运用1=sin结构优化：通过因式分解、通分、约分简化式子结构。知识点5给角求值方法技巧1.非特殊角拆分：将目标角拆分为30∘,45∘,2.公式逆用：观察式子结构，匹配和差角公式的右侧形式，直接合并为单角三角函数；

3.负角、大角先通过诱导公式转化为锐角，再套用和差公式。易错分析1.正弦、余弦和差公式的符号记混，导致结果符号错误；

2.正切公式分子分母符号颠倒；

3.特殊角的三角函数值记忆错误。知识点6给值求值方法技巧1.先定范围：根据已知角的区间，确定所求三角函数的符号，避免多解；

2.配凑优先：优先用已知角的和差表示目标角，不单独求解未知角，减少运算量；

3.齐次式变形：sin⁡α±cos⁡α类式子优先平方，转化为sin⁡αcos⁡α整体运算。易错分析1.忽略角的区间限制，开平方时符号判断错误；

2.角的配凑关系错误，和差颠倒；

3.多步运算中符号累积出错。知识点7给值求角方法技巧1.选函数：根据角的范围选择单调函数，(0,π)选余弦，(−π2,π2易错分析1.只计算三角函数值，不限制角的范围，导致出现多解；

2.选择的函数在区间内不单调，无法唯一确定角；

3.范围缩小不充分，遗漏取舍条件。知识点8三角函数的化简与证明方法技巧1.化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂；

2.证明方法：从繁到简、左右归一、作差为0、变更命题；

3.常用技巧：1的代换、因式分解、配方、通分约分。易错分析1.变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形；

2.二倍角公式记错，升降幂变形错误；

3.切割化弦时正切换算遗漏分母，运算失误。知识点9辅助角公式综合方法技巧1.标准步骤：先降幂、再展开、最后用辅助角公式统一为Asin⁡(ωx+φ)形式；

2.性质求解：统一形式后，直接套用正弦函数的周期、最值、单调区间公式；

3.区间最值：根据x的范围求出ωx+φ的范围，结合三角函数图象求值域。易错分析1.辅助角φ的符号与象限判断错误；

2.降幂公式记错，二倍角变形出错；

3.求单调区间时遗漏k∈ℤ知识点10恒等变换与解三角形综合方法技巧1.内角和转化：A+B+C=π，故sin⁡(B+C)=sin⁡A，cos⁡(B+C)=−cos⁡A；

2.边角互化：正弦定理、余弦定理实现边角转化后，用恒等变换化简；

3.最值问题：统一为单角三角函数，结合辅助角公式求值域，或用基本不等式求解。易错分析1.三角形内角和诱导公式符号记错；

2.忽略三角形内角范围(0,π)，导致符号判断错误；

3.求最值时遗漏等号成立条件。考考点演练题型1求两角和与差的三角函数值【典例1】已知α∈（0，π），且2cos2α﹣cosα＝1，则sin(α+πA．2−64 B．2+64【答案】D【解答】解：由2cos2α﹣cosα＝1得4cos2α﹣cosα﹣3＝0，解得cosα＝1，cosα=−3又α∈（0，π），所以cosα=−34，所以sin(α+π故选：D．【变式1】已知tanxtany＝2，cos(x+y)=13，则cos（x﹣A．﹣1 B．1 C．−19 【答案】A【解答】解：由tanxtany=sinxsinycosxcosy=2得sinxsiny＝2cosx由cos(x+y)=13，得所以cosxcosy=−13，所以cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny＝﹣1．故选：A．题型2两角和与差的三角函数的逆用【典例1】已知α，β∈(0，π2)，sinα−cosβ=13A．79 B．−C．429 D．−【答案】B【解答】解：因为α，β∈(0，π2)，所以α+β∈（0，π因为sinα−cosβ=13，所以所以sinα＞cosβ=sinα＞sin(π因为y＝sinx在(0，π所以α＞π2−β所以α+β∈(π所以cos（α+β）＜0，由sinα−cosβ=13，得(sinα−cosβ由cosα−sinβ=−33，得(cosα−sinβ)两式相加可得sin所以2−2(sinαcosβ+cosαsinβ)=49，即2−2sin(α+β)=4因为cos（α+β）＜0，所以cos(α+β)=−4故选：B．【变式1】已知α，β∈（0，π），且sinα+sin(β−π2)=0，sinβ+cosα＝0，则满足条件的一组α，β的值可以是α＝，β＝【答案】5π6，π【解答】解：因为sinα+sin(β−π所以sinα﹣cosβ＝0，两边平方得，sin2α﹣2sinαcosβ+cos2β＝0①，将sinβ+cosα＝0两边平方得，sin2β+2sinβcosα+cos2α＝0②，①+②得，2﹣2sinαcosβ+2sinβcosα＝0，即2+2sin（β﹣α）＝0，所以sin（β﹣α）＝﹣1，又α，β∈（0，π），所以﹣α∈（﹣π，0），β﹣α∈（﹣π，π），所以β﹣α=−π2，即α﹣β若取α=5π6，则β故答案为：5π6，π题型3求二倍角的三角函数值【典例1】若tan（α+π）＝3，则sin2α﹣2cos2α＝（）A．−25 B．25 C．−【答案】B【解答】解：由题意得tan（α+π）＝tanα＝3，因为tanα＝3≠0，所以sin2α−2co=2×3−2故选：B．【变式1】已知α∈(π2，π)，且sinβcos(α−β)−sin(A．34 B．−34 C．4【答案】D【解答】解：由已知等式可得sinβcos(α−β)+cosβsin(α−β)=4可得sinα=4又α∈(π2，π)所以1−cos2αsin2α故选：D．题型4二倍角的三角函数的逆用【典例1】在平面直角坐标内（O为坐标原点），已知A(1，0)，B(45，−35)，将B绕O沿逆时针方向旋转60°到点C，设∠AOC＝α，则【答案】35【解答】解：根据A（1，0），B(45，−35所以点A、B在以O为原点，半径r＝1的圆上，设∠AOB＝β，可得cosβ=45，sinβ=−35，结合题意可知而3＝cos（α+30°）＝cos（β+90°）＝﹣sinβ=3故答案为：35【变式1】设α∈(π4，π2)，若sin2α=13，则cos【答案】−【解答】解：因为α∈(π所以cosα＜sinα，又sin2α=1所以（cosα﹣sinα）2＝cos2α+sin2α﹣2cosαsinα＝1﹣sin2α＝1−1所以cosα﹣sinα=−6故答案为：−6题型5半角的三角函数【典例1】已知α∈(π2，π)，25cos2α﹣10sinαA．3 B．43 C．34 【答案】A【解答】解：25cos2α﹣10sinα﹣1＝0，则25（1﹣2sin2α）﹣10sinα﹣1＝0，25sin2α+5sinα﹣12＝0，解得sinα=3故sinα=2sinα2cos故选：A．【变式1】若α∈(−π2，π2A．13 B．33 C．23【答案】D【解答】解：因为sinα=−223所以cosα=1−si又α2所以cosα故选：D．题型6三角函数恒等式的证明【典例1】（1）证明：sin3x＝3sinx﹣4sin3x；（2）若sin10°∈(1n+1，1n)，n【答案】（1）证明略；（2）n＝5．【解答】解：（1）证明：sin3x＝sin（2x+x）＝sin2xcosx+cos2xsinx＝2sinxcos2x+（1﹣2sin2x）sinx＝2sinx（1﹣sin2x）+sinx﹣2sin3x＝3sinx﹣4sin3x；（2）由（1）可知，sin30°＝3sin10°﹣4sin310°=1即sin10°是方程4x3﹣3x+1令f（x）＝4x3﹣3x+12，则f'（x）＝12x2﹣3＝3（2x+1）（2显然0＜sin10°＜sin30°=12，当0＜x＜12时，所以f（x）＝4x3﹣3x+12在（0，又f（16）＝4×（16）3＞0，f（15）＝4×（15）所以sin10°∈（16，15），即【变式1】求证：sin(2α+β)sinα−2cos（α+β）【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα＝sin[（α+β）+α]﹣2cos（α+β）sinα＝sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝sin[（α+β）﹣α]＝sinβ．两边同除以sinα得sin(2α+β)sinα−2cos（α+β）∴原式得证题型7三角函数的恒等变换及化简求值【典例1】已知π4＜θ＜π3，若a=tanθtan2θ+1，b=A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【答案】C【解答】解：a=tanθb=1c=1又π4＜θ＜π3，则所以c＝sinθtanθ＞b＝sin2θ＞a＝sinθcosθ．故选：C．【变式1】sin15°+cos15°＝（）A．62 B．64 C．32【答案】A【解答】解：sin15°+cos15°=2（22sin15°+22cos15°）=2故选：A．题型8三角函数中的恒等变换应用【典例1】已知函数f（x）＝2cosx﹣sin2x，则下列结论不正确的是（）A．f（x）的周期为2π B．y＝f（x）的图象关于x=π2C．f（x）的最大值为33D．f（x）在区间(7π【答案】B【解答】解：函数f（x）＝2cosx﹣sin2x，对于A：函数f（x+2π）＝2cos（x+2π）﹣sin（2x+4π）＝2cosx﹣sin2x＝f（x），故A正确；对于B：函数f（x+π2）＝2cos（x+π2）﹣sin（2x+π）＝﹣2sinx+sin2x，f（π2−x）＝2cos（π2−x）﹣sin（π﹣2x）＝2sinx﹣sin2x，故对于C：由于f（x）＝2cosx﹣sin2x，所以f′（x）＝﹣2sinx﹣2cos2x＝2（2sinx+1）（sinx﹣1），在x∈（0，2π）内，令f′（x）＝0，解得x=π2，x=7π根据函数的性质，函数在（0，π2）上单调递减，在（π2，7π6故函数在x=11π6时，函数取得最大值，f（11π6）=对于D：由选项C得：函数在区间(7π6，故选：B．【变式1】已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx+2sin2ωx（ω＞0）在[π4，A．（0，4] B．[32，73]【答案】B【解答】解：f（x）＝2sinωx•cosωx+2sin2ωx＝sin2ωx﹣cos2ωx+1=2sin（2ωx−因为ω＞0，当π4≤x≤3π因为函数f（x）在[π即π2ω−π由4k+32≤8k3+7因此，实数ω的取值范围是[3故选：B．过过关验收1．已知锐角α，β满足cos(α+β)=25m，cos(α−β)=35A．2 B．3 C．5 D．15【答案】A【解答】解：根据cos(α+β)=25m可得3cos（α+β）＝2cos（α﹣β），所以3cosαcosβ﹣3sinαsinβ＝2cosαcosβ+2sinαsinβ，整理得5sinαsinβ＝cosαcosβ，可得tanαtanβ=sinαsinβ根据α、β均为锐角，可知tanα＞0，tanβ＞0，所以tanα+5tanβ≥25tanα⋅tanβ=2，当且仅当所以当tanα=1，tanβ=15时，tanα+5tan故选：A．2．如图是函数y＝sin（ωx+φ），ω＞0，0＜φ＜π的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（）A．sin(2x−2π3) C．cos(2x+π6)【答案】C【解答】解：由图像可知T=2(2π3−将(π6，0)代入y＝sin（ωx+φ）中得sin(2×∵0＜φ＜π，故φ=2π∴y=sin(2x+2π故选：C．3．设θ是锐角，cos(θ+π4)=cos(θ−A．2+1 B．2+12 C．2【答案】C【解答】解：因为θ为锐角，原等式可化为tanθ=cos(θ+整理得，tan2θ+2tanθ﹣1＝0，解得tanθ=2故选：C．4．cos50°cos10°﹣sin130°sin10°＝（）A．cos40° B．sin40° C．12 D．【答案】C【解答】解：因为sin130°＝sin（180°﹣50°）＝sin50°，所以cos50°cos10°﹣sin130°sin10°＝cos50°cos10°﹣sin50°sin10°＝cos（50°+10°）＝cos60°=1故选：C．5．若tan(α+π4)=A．−35 B．35 C．−【答案】D【解答】解：∵tan(α+π4)=∴cos2α=co故选：D．6．sin50°+sin70°sin80°A．23 B．3 C．2 【答案】B【解答】解：因为sin50°＝sin（60°﹣10°）＝sin60°cos10°﹣cos60°sin10°，sin70°＝sin（60°+10°）＝sin60°cos10°+cos60°sin10°，所以sin50°+sin70°＝2sin60°cos10°，可得sin50°+sin70°sin80°=2sin60°cos10°故选：B．7．已知锐角α，β满足sin（α+β）＝3sin（α﹣β），则sin（α﹣β）的最大值是（）A．31010 B．12 C．10【答案】D【解答】解：因为sin（α+β）＝3sin（α﹣β），所以sinαcosβ+cosαsinβ＝3sinαcosβ﹣3cosαsinβ，化简得sinαcosβ＝2cosαsinβ，结合α、β为锐角，可得sinαcosα=2sinβcosβ，即tan设tanβ＝t，t＞0，则tanα＝2t，根据同角三角函数的基本关系，求得sinα=2t4t2+1，cosα=所以sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=cosαsinβ=1令f(t)=1当且仅当t=22时取到等号，故sin（α﹣β）的最大值为故选：D．8．已知cos(α−π6)=A．18 B．−18 C．7【答案】D【解答】解：因为cos(α−π则sin(2α+π6)=sin[π2+（2α−π3）]＝cos（2α−π3）＝2cos故选：D．9．已知0＜α＜π2，且sinα−cosα=1A．19 B．49 C．79【答案】D【解答】解：由sinα−cosα=13两边平方，可得即sin结合sin2α+cos2α＝1，2sinαcosα＝sin2α，可得1−sin2α=19，故故选：D．10．若α为第二象限角，且tan2α=sinα2+cosα，则tanA．−15 B．−1515 C．−【答案】A【解答】解：根据α为第二象限角，可知sinα≠0，tan2α=sin2αcos2α=去分母、整理得2cosα（2+cosα）＝2cos2α﹣1，解得cosα=−1结合α为第二象限角，可得sinα=1−co故选：A．12．若sin(θ+π3)=A．−79 B．−29 C．【答案】C【解答】解：由题意得sin(2π所以cos(4π故选：C．13．已知cosα=−79，α∈(π，A．−223 B．−13 【答案】B【解答】解：∵cosα=−79，α∈(π，32∵cosα=2cos2α2−1=−故选：B．14．若θ∈(0，π2)，cos2θ=A．12 B．34 C．4【答案】A【解答】解：因为cos2θ＝2cos2θ﹣1=3所以cos由于θ∈(0，π2)，所以sinθ所以cosθ=255所以tanθ=sinθ故选：A．15．已知4sin2α2=2−sinα，则sin2【答案】45【解答】解：因为4sin所以4×1−cosα整理得sinα＝2cosα，又sin2α+cos2α＝1，所以sin2α+所以sin2α=2sinαcosα=sin故答案为：4516．已知sinθ=817，θ∈(0，A．81717 B．41717 C．【答案】A【解答】解：因为sinθ=8所以cosθ=1517=2cos所以cosθ2则1+sinθ+cosθsinθ2故选：A．17．若θ∈(−π2，π2A．64 B．104 C．±6【答案】B【解答】解：若θ∈(−π2，所以−π则cosθ=1则cosθ故选：B．18．已知|cosθ|=35且5π2＜θ＜3π，则tan【答案】2．【解答】解：根据5π2＜θ＜3π，可知cos所以|cosθ|=−cosθ=35，即sinθ=1−co所以tanθ故答案为：2．19．已知α是第三象限角，cos(α+π2)=35，则【答案】﹣2．【解答】解：因为cos(π所以sinα=−3因为α是第三象限角，所以cosα=−45，则所以1−tanα故答案为：﹣2．20．在△ABC中，A、B为锐角且B＜A，sinA=55，sin2B（1）求角C的值；（2）求证：5cosAcos（A+3B）＝2sinB．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵A为锐角，sinA=∴cosA=1−∵B＜A，sinA=5∴B＜45°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵sin2B=3∴cos2B=∴cosB=1+cos2B2=3cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB=−∴C＝135°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）证明：左边＝5cosAcos（π﹣C+2B）＝﹣5cosAcos（C﹣2B）＝﹣5cosA[cosCcos2B+sinCsin2B]＝﹣5×25×（−22×4从而得证．21．已知sinθ+cosθ＝a，sinθ﹣cosθ＝b，求证：a2+b2＝2．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵sinθ+cosθ＝a，sinθ﹣cosθ＝b，∴a2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2sinθcosθ，b2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2sinθcosθ，∴a2+b2＝1+2sinθcosθ+1﹣2sinθcosθ＝2；故原式得证．22．已知θ∈(0，π2)，sin(A．33−410 B．43−310【答案】D【解答】解：∵已知θ∈(0，π2)∴π4−θ为锐角，cos（π4−∴sin（π2−2θ）＝sin[2（π4−θ）]＝2sin（π4−θ∴cos2θ=4∴2θ∈（0，π2），sin2θ=则sin(2θ+π3)=sin2θcosπ3+故选：D．23．若π2＜α＜π，则A．0 B．1 C．2 D．﹣2【答案】A【解答】解：因为π2＜α＜π，则sinα＞0，cos所以−=−1−cosα⋅co=−1−cosα⋅1故选：A．24．若函数f(x)=2sin(2x+φ)+cos2x(|φ|＜π2)A．4−32 B．32 C．5【答案】B【解答】解：由f（x）为定义在R上的奇函数，得f（0）＝2sinφ+cos0＝2sinφ+1＝0，sinφ=−1结合|φ|＜π2，得所以f(x)=2sin(2x−πf(−x)=3因此，f(π故选：B．25．已知α，β∈R，则“存在k∈Z，使得α＝2kπ+β”是“cosα＝cosβ”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：当α＝2kπ+β，k∈Z时，cosα＝cosβ成立，当cosα＝cosβ成立时，则α＝2kπ+β或α＝2kπ﹣β（k∈Z）．故”存在k∈Z，使得α＝2kπ+β”是“cosα＝cosβ”成立的充分不必要条件．故选：A．26．在平面直角坐标系xOy中，已知锐角α的终边与单位圆交于A（x1，y1），角(α+π4)的终边与单位圆交于B（x2，y2），若x1y2【答案】22【解答】解：由题意知，x1所以x=2=2整理得2tan2α﹣5tanα﹣3