第22讲 平面向量基本定理及坐标表示 2026-2027学年高中数学一轮复习讲义（人教版2019）

第22讲平面向量基本定理及坐标表示内内容导航知识点1平面向量的基本定理知识点2平面向量的坐标运算知识点3平面向量共线的坐标表示知识点4基底的概念及辨析知识点5向量共线的坐标表示及应用题型1平面向量的基底题型2用平面向量的基底表示平面向量题型3平面向量的正交分解及坐标表示题型4平面向量加减法的坐标运算题型5平面向量数乘和线性运算的坐标运算题型6平面向量数量积的坐标运算知知识点通关知识点1平面向量的基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．知识点2平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).（2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知识点3平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.知识点4基底的概念及辨析方法技巧判断所给的两个向量能否作为一组基的方法由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基的向量必为非零向量知识点5向量共线的坐标表示及应用方法技巧判断向量共线的方法及应用（1）判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量平行的坐标来判断，即先求出，，若，则．（2）由向量共线求参数的值已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的方程或方程组求解．考考点演练题型1平面向量的基底【典例1】如果{e1→，A．e2→，e1→−2e2→ B．eC．e1→−3e2→，6e2→−2【变式1】下列各组向量中，能作为基底的是（）A．e1B．e1C．e1D．e题型2用平面向量的基底表示平面向量【典例1】如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成．若AE＝EF，则（）A．AF→=45C．AF→=4【变式1】在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（）A．EF→=12C．EF→=1题型3平面向量的正交分解及坐标表示【典例1】已知两点A（4，1），B（7，﹣3），则与AB→同向的单位向量是【变式1】一条河宽为80000m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为h．题型4平面向量加减法的坐标运算【典例1】已知向量OA→=(2，1)，OB→A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（5，5） D．（﹣5，﹣5）【变式1】设a→，b→为单位向量，且A．3 B．2 C．1 D．2题型5平面向量数乘和线性运算的坐标运算【典例1】已知向量AB→=(2，−1)，BC→=(m，4)，且A．32 B．34 C．352【变式1】设向量a→=(−1，2)，b→=(3，−2)，c→=(5，−2)，若c→=λa→A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3题型6平面向量数量积的坐标运算【典例1】已知向量a→=（1，0），b→=（2，3），c→=（1，﹣1），若（λA．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【变式1】已知向量a→=(2x−1，x)，b→=(1，1)，若A．2 B．22 C．3 D．过过关验收1．若{e1→，A．{e1→−eB．{2e1→−eC．{e1→+e2→D．{3e1→−2e2→2．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．e1→=（0，0），B．e1→=（﹣1，2），C．e1→=（2，﹣3），e2→=D．e1→=3．在△ABC中，BC→=4BD→，若AD→A．12 B．−12 4．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝3AB，点E在对角线AC上，且AE=12ECA．AB→−23AD→ B．35．在等腰梯形ABCD中，DC→=2AB→，若E为BC的中点，记A．12a→+34b→ 6．如图，在平行四边形中，边AB→=a→，AD→=b→，点A．23a→+13b→ 7．向量a→，b→，e1→，A．2e1→−4C．2e1→8．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点O是AD的中点，若BO→=λAB→+μAC→，则λ+μ＝；若BO→⊥AC9．如图，在4×4正方形网格中，向量a→，b→满足|a→|=1（1）用a→，b→分别表示向量c→（2）求c→10．已知平面向量a→=(2，3)，bA．（0，﹣5） B．（8，7） C．（0，5） D．（8，5）11．平面向量a→=（3，﹣1），b→=（x，1），且A．﹣1 B．2 C．5 D．312．已知向量a→=(−1，1)，b→A．（﹣3，2） B．（1，0） C．﹣3 D．313．已知向量a→=（x，1），b→=（1，﹣2），且满足|a→A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣214．已知向量AB→=（5，1），BC→=（m，9），CD→=（8，5）．若A，A．54 B．﹣11 C．11 D．15．已知向量a→=(2，1)，b→=(2，−1)，则m→=λa→A．存在唯一的实数对（λ，μ），使得m→B．存在唯一的实数对（λ，μ），使得m→C．存在唯一的实数对（λ，μ），使得m→D．存在唯一的实数对（λ，μ），使得|16．已知点A（1，1），B（5，3），若将AB→绕点A逆时针旋转90°得到AC→，则点C的坐标为17．已知平面向量a→=(1，2)，b→=(−1，3)A．±2 B．±12 C．±218．设向量a→=(x+2，x)，A．“x＝﹣1”是“a→∥B．“x＝﹣3”是“a→⊥C．“x＝﹣2”是“a→∥D．“x＝0”是“a→19．已知向量a→=(1，0)，b→=(1，1)A．1 B．﹣1 C．12 D．20．已知向量a→=(2，x)，b→=(2，4)A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4第22讲平面向量基本定理及坐标表示内内容导航知识点1平面向量的基本定理知识点2平面向量的坐标运算知识点3平面向量共线的坐标表示知识点4基底的概念及辨析知识点5向量共线的坐标表示及应用题型1平面向量的基底题型2用平面向量的基底表示平面向量题型3平面向量的正交分解及坐标表示题型4平面向量加减法的坐标运算题型5平面向量数乘和线性运算的坐标运算题型6平面向量数量积的坐标运算知知识点通关知识点1平面向量的基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．知识点2平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).（2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知识点3平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.知识点4基底的概念及辨析方法技巧判断所给的两个向量能否作为一组基的方法由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基的向量必为非零向量知识点5向量共线的坐标表示及应用方法技巧判断向量共线的方法及应用（1）判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量平行的坐标来判断，即先求出，，若，则．（2）由向量共线求参数的值已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的方程或方程组求解．考考点演练题型1平面向量的基底【典例1】如果{e1→，A．e2→，e1→−2e2→ B．eC．e1→−3e2→，6e2→−2【答案】C【解答】解：由共线向量基本定理知，选项A，B和D中的两个向量均不共线，故可以作为平面的基底，因为e1→−3e2→=−12（6e2→−2e故选：C．【变式1】下列各组向量中，能作为基底的是（）A．e1B．e1C．e1D．e【答案】C【解答】解：对于A：由于e2→=−2对于B：由于e2→=对于C：由于不存在实数λ，使得e1→=λ对于D：由于e1→=(0，0)故选：C．题型2用平面向量的基底表示平面向量【典例1】如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成．若AE＝EF，则（）A．AF→=45C．AF→=4【答案】C【解答】解：如图，过F作FM⊥AB，垂足为M，设AE＝EF＝BF＝1，则AB=5，FM=25所以AF→故选：C．【变式1】在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（）A．EF→=12C．EF→=1【答案】C【解答】解：根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB→=DC所以EF→故选：C．题型3平面向量的正交分解及坐标表示【典例1】已知两点A（4，1），B（7，﹣3），则与AB→同向的单位向量是【答案】（35，−【解答】解：AB→∴与AB→AB→|AB→|故答案为：（35，−【变式1】一条河宽为80000m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为h．【答案】5【解答】解：根据题意，作出如图所示的示意图，则|v1→|＝20km/h，|v2→|＝12因为v实际所以|v实际→|=|v1所以所需时间t=8016=故答案为：5．题型4平面向量加减法的坐标运算【典例1】已知向量OA→=(2，1)，OB→A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（5，5） D．（﹣5，﹣5）【答案】A【解答】解：因为OA→=(2，1)，所以AB→故选：A．【变式1】设a→，b→为单位向量，且A．3 B．2 C．1 D．2【答案】A【解答】解：根据题意，a→，b则（a→+b→）2=a→2+b→2+2则（a→−b→）2=a→2+b→2﹣2故选：A．题型5平面向量数乘和线性运算的坐标运算【典例1】已知向量AB→=(2，−1)，BC→=(m，4)，且A．32 B．34 C．352【答案】C【解答】解：向量AB→=(2，−1)，可得AC→=AB由|AB→+AC→|=|故|AC故选：C．【变式1】设向量a→=(−1，2)，b→=(3，−2)，c→=(5，−2)，若c→=λa→A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【答案】D【解答】解：因为c→所以（5，﹣2）＝λ（﹣1，2）+μ（3，﹣2）＝（﹣λ+3μ，2λ﹣2μ），即−λ+3μ=52λ−2μ=−2，解得λ＝1，μ所以λ+μ＝1+2＝3．故选：D．题型6平面向量数量积的坐标运算【典例1】已知向量a→=（1，0），b→=（2，3），c→=（1，﹣1），若（λA．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【答案】C【解答】解：向量a→=（1，0），b→可得λa→+b→若（λa→+b→）⊥c→故选：C．【变式1】已知向量a→=(2x−1，x)，b→=(1，1)，若A．2 B．22 C．3 D．【答案】D【解答】解：因为向量a→=(2x−1，x)，b→所以a→⋅b→=解得x=1所以a→=（−1所以3a所以|3a故选：D．过过关验收1．若{e1→，A．{e1→−eB．{2e1→−eC．{e1→+e2→D．{3e1→−2e2→【答案】C【解答】解：对于选项A，e1→−e2对于选项B，2e1→−e2对于选项C，不存在实数λ，使得e1→+e2→=λ对于选项D，﹣6e1→+4e2→=−2（3故选：C．2．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．e1→=（0，0），B．e1→=（﹣1，2），C．e1→=（2，﹣3），e2→=D．e1→=【答案】B【解答】解：A.e1→与B.e1→与C.e1→=4e2→D.2e1→=e2故选：B．3．在△ABC中，BC→=4BD→，若AD→A．12 B．−12 【答案】A【解答】解：AD=AB所以x=34，y=1故选：A．4．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝3AB，点E在对角线AC上，且AE=12ECA．AB→−23AD→ B．3【答案】A【解答】解：根据题意，可得DE=−AD故选：A．5．在等腰梯形ABCD中，DC→=2AB→，若E为BC的中点，记A．12a→+34b→ 【答案】A【解答】解：由题意可得，DB→则DE→=12(故选：A．6．如图，在平行四边形中，边AB→=a→，AD→=b→，点A．23a→+13b→ 【答案】C【解答】解：由题意可得，AE→故选：C．7．向量a→，b→，e1→，A．2e1→−4C．2e1→【答案】B【解答】解：设向量a→、b→的起点分别为A、B，可得AB→根据图形，可得AB→=2e故选：B．8．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点O是AD的中点，若BO→=λAB→+μAC→，则λ+μ＝；若BO→⊥AC【答案】−1【解答】解：由题意得BO→=BA=−3∴λ+μ=−3∵BO→∴BO→⋅AC→=−3∴−3解得cosA=1故答案为：−19．如图，在4×4正方形网格中，向量a→，b→满足|a→|=1（1）用a→，b→分别表示向量c→（2）求c→【答案】（1）c→=−2a（2）﹣2．【解答】解：（1）由图可得c→=−2a（2）∵a→∴a→∵c→=−2a∴c→10．已知平面向量a→=(2，3)，bA．（0，﹣5） B．（8，7） C．（0，5） D．（8，5）【答案】C【解答】解：因为a→=(2，3)，所以2a故选：C．11．平面向量a→=（3，﹣1），b→=（x，1），且A．﹣1 B．2 C．5 D．3【答案】B【解答】解：由题意可得，a→所以3﹣x＝1，解得x＝2．故选：B．12．已知向量a→=(−1，1)，b→A．（﹣3，2） B．（1，0） C．﹣3 D．3【答案】B【解答】解：由题可得：a→+b故选：B．13．已知向量a→=（x，1），b→=（1，﹣2），且满足|a→A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【解答】解：向量a→=（x，1），可得a→−2b→=（x由|a→−2b可得(x−2)2+故选：A．14．已知向量AB→=（5，1），BC→=（m，9），CD→=（8，5）．若A，A．54 B．﹣11 C．11 D．【答案】C【解答】解：因为向量AB→=(5，1)，所以AC→因为A、C、D三点共线，则AC→CD→所以5（m+5）＝8×10，解得m＝11．故选：C．15．已知向量a→=(2，1)，b→=(2，−1)，则m→=λa→A．存在唯一的实数对（λ，μ），使得m→B．存在唯一的实数对（λ，μ），使得m→C．存在唯一的实数对（λ，μ），使得m→D．存在唯一的实数对（λ，μ），使得|【答案】C【解