1.1.1空间向量及其线性运算常见的四种题型（基础卷）.2026-2027学年高二上数学人教A版选修一

1.1.1空间向量及其线性运算常见的四种题型（基础卷）目录TOC\o"1-2"\h\z\u题型一空间向量的概念与相等、相反向量题型二空间向量的加减法运算题型三空间向量的加减与数乘线性运算（基底表示）题型四共面向量定理与四点共面题型一空间向量的概念与相等、相反向量【解题技巧】①零向量方向任意（不是没有方向），模为0；②两向量a⃗、b⃗相等⇔模相等（|a⃗|=|b⃗|）且方向相同（与起点无关）；③单位向量模为1但方向任意，故任意两个单位向量a⃗、b⃗不一定相等；④相反向量⇔模相等且方向相反，即b⃗=−a⃗；⑤向量可以平移，任意两个空间向量a⃗、b⃗经平移后必共面；⑥零向量与任意向量a⃗平行。1．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量满足，则；④若空间向量满足，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）A．4B．3C．2 D．12．下列命题中，说法错误的是（

）A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等3．下列命题中是真命题的是()A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若，则的长度相等而方向相同或相反C．若向量，满足，且与同向，则D．若两个非零向量与满足，则题型二空间向量的加减法运算【解题技巧】空间向量加减法遵循三角形法则与平行四边形法则：加法首尾相接（起点→终点），减法共起点（指向被减向量）。用已知向量表示所求向量时，先在图中找“回路”，利用AB⃗=OB⃗−OA⃗等关系逐段拆解；遇到中点用数乘：M为AB中点则OM⃗=(OA⃗+OB⃗)/2。1．在平行六面体中，运算的结果为（

）A． B． C． D．2．已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（

）A． B． C． D．3．在正方体中，底面ABCD的对角线交于点O，且，，则等于（

）A． B． C． D．题型三空间向量的加减与数乘线性运算（基底表示）【解题技巧】用基底（通常取不共面的三个棱向量，）表示目标向量：①选定起点；②沿几何体的棱/对角线/中点构造回路；③把目标向量逐步拆成基向量的线性组合；④合并同类项。中点、分点常用：N为BC中点，ON⃗=(OB⃗+OC⃗)/2；F满足AF⃗=λAC⃗等按比例点用数乘表示。1．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（

）A． B． C． D．2．在三棱柱中，（

）A． B． C． D．3．在三棱柱中，是的中点，，则（

）A． B．C． D．4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（

）．

A．B．C． D．5．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（

）

A． B． C． D．6．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（

）A． B．C． D．题型四共面向量定理与四点共面【解题技巧】三点/四点共面判定：点P在平面ABC内⇔存在x,y,z且x+y+z=1，使OP⃗=xOA⃗+yOB⃗+zOC⃗；或存在实数λ,μ使AP⃗=λAB⃗+μAC⃗。坐标法：若三向量共面，则存在不全为零的x,y,z使xa⃗+yb⃗+zc⃗=0（向量式），或设c⃗=λa⃗+μb⃗列方程解参。四点共面常用“系数和=1”检验。1．对于空间一点和不共线三点，且有，则（

）A．四点共面 B．四点共面C．四点共面 D．五点共面2．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是A． B．C． D．3．已知空间向量，若共面，则实数的值为（

）A．0 B．-1 C．1 D．4．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（

）A． B． C． D．5．已知空间向量，，，若三向量、、共面，则实数（

）A． B． C． D．参考答案题型一空间向量的概念与相等、相反向量1．D【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．故选：D.2．D【详解】对A，因为空间向量是既有大小又有方向的量，所以不能比较大小，故A正确；对B，因为相等的向量大小相等，方向相同，所以若起点相同，则终点也相同，故B正确.对C，因为规定模为0的向量为零向量，所以只有零向量的模等于0，故C正确；对D，因为共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D错误.所以错误的选项为D.故选：D.3．D【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A错误；因为仅表示与的模相等，与方向无关，选项B错误；因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有这种写法，选项C错误；∵，∴，∴与共线，故，选项D正确.本题选择D选项.题型二空间向量的加减法运算1．C【详解】在平行六面体中，，，故C正确.故选：C2．B【详解】.故选：B.3．A【详解】如下图所示：

.故选：A.题型三空间向量的加减与数乘线性运算（基底表示）1．D【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知.故选：D.2．C【详解】由题意可得：．故选：C.3．C【详解】因为，所以，所以.故选：C4．A【详解】因为，所以，因为，所以，故选：A.5．D【详解】如图，连接，

是的中点，，，，．故选：．6．A【详解】-＝，.故选：A．题型四共面向量定理与四点共面1．B【详解】由，可得，即，根据平面向量的基本定理，可得共面，又因为三个向量有公共点，所以四点共面.故选：B.2．D【详解】不妨设.对于A选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故A选项错误.对于B选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故B选项错误.对于C选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故C选项错误.对于D选