2026-2027学年福建省厦门市双十中学高三上学期月考检测（9月）数学试卷

/2026-2027学年福建省厦门双十中学高三（上）月考检测数学试卷（9月）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,−2,1,4}，B={x|A.{−1,1} B.⌀ C.{−1,4} D.{−1,−2}2.已知复数z=4cos60∘A.2+23i B.2−23i3.已知某AI智能软件处理相关数据量x(单位：TB)与所需时间y(单位：min)之间的关系为y=λlog3x，当要处理的数据量从27A.12min B.15min C.16min4.母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为2π，若它们的侧面积之比为2：1，则体积比为(

)A.2：1 B.4：1 C.5：1 5.设x，y∈R，则“x3+yA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为AA1，CC1的中点，G在DA.25

B.13

C.147.若函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=−f(xA.−8 B.8 C.−12 D.128.已知正实数a，b满足aea−2=eA.e2028<ab<e2029 B.e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若6a=2，6bA.a+b=1 B.a2+b10.已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，E是BC的中点DF=−2AF，AE与BF交于点M，P是线段CD上一点(含端点)A.AE⋅BF=12

B.cos∠AMB=−3392611.已知函数f(x)=A.对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1−x2)⋅[f(x1)−f(x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，a⋅b=b213.设a>0，a≠1.若函数y=x,x≤214.如图，△ABC是边长为43的正三角形，D，E分别是AC，AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A1DE，

(1)当平面A1DE⊥平面BCDE时，四棱锥A1−BCDE四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB延长线上的一点，∠BCD=30°，BC=2．

(1)若BD=2，求AB的长；16.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，D为AC中点，过点A1，B1，D的平面与BC交于点E，AC=AA1=2，∠A1AC=60°，AB=BC=217.(本小题15分)

设抛物线C：y2=4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点M，直线l过点M．

(1)若直线l与C相切，求直线l的方程；

(2)若直线l与C交于A，B两点，且MB=218.(本小题17分)

一般地，对于定义在区间D上的函数f(x)：

若存在x0∈D，使得f(x0)=x0，则称x0为函数f(x)的一阶不动点，简称不动点；

若存在x0∈D，使得f[f(x0)]=x0，则称x0为函数f(x)的二阶不动点，简称稳定点．

(1)已知函数19.(本小题17分)

已知f(x)=x2−πx+asinx，a∈R．

(1)求证：f(x)图象关于直线x=π2对称；

(2)当1.【正确答案】D

2.【正确答案】B

3.【正确答案】A

4.【正确答案】D

5.【正确答案】C

6.【正确答案】C

7.【正确答案】A

8.【正确答案】A

9.【正确答案】ACD

10.【正确答案】BCD

11.【正确答案】AD

12.【正确答案】π313.【正确答案】(0,114.【正确答案】2

15.【正确答案】26+216.【正确答案】解：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABC/​/平面A1B1C1，

而平面ABC∩平面A1B1D=DE，平面A1B1C1∩平面A1B1D=A1B1，

得DE/​/A1B1．

∵AB/​/A1B1，∴DE/​/AB，

∵D为AC中点，∴E为BC中点．

(2)连接BD，∵AB=BC且D为AC中点，∴BD⊥AC．

在△A1AD中，由余弦定理可知A1D=A1A2+AD2−2A1A×AD×cos∠A1AC=3．

故在△A17.【正确答案】x+y+1=0或x18.【正确答案】(1)证明：充分性：若x0是f(x)的不动点，则f(x0)=x0，故f[f(x0)]=f(x0)=x0即x0是f(x)的稳定点，充分性成立．

必要性：若x0是f(x)的稳定点，则f[f(x0)]=x0．

假设f(x0)≠x0，若f(x0)>x0，由f(x)单调递增得f[f(x0)]>f(x0)，即x0>f(x0)矛盾；

若f(x0)<x0，由f(x)单调递增得f[f(x0)]<f(x0)，即x0<f(x0)，矛盾．

故f(x0)=x0，即x0是f(x)的不动点，必要性成立．

综上，原命题得证；

(2)解：求不动点：令2x2−1=x，即219.【正确答案】解：(1)证明：∵f(π−x)=(π−x)2−π(π−x)+asin(π−x)=x2−πx+asinx=f(x)

∴f(x)关于直线x=π2对称．

(2)由(1)知f(x)关于直线x=π2对称，故仅考虑x∈(0,π2],

f′(x)=2x−π+acosx，设g(x)=f′(x)，g′(x)=2−asinx．

(i)当a≤2时，g′(x)≥0恒成立．∴g(x)=f′(x)在(0,π2]单调递增，

此时，f′(x)≤f′(π2)=0∴f(x)在(0,π2]单调递减．

所以f(x)<f(0)=0，此时f(x)在(0,π2]不存在最大值．

(ii)当a>2时，∃x1∈(0,π2)使sinx1=2a，

当x∈(0,x1)时，g′(x)>0，g(