2026-2027学年福建省莆田市砺志学校高三上学期第一次模拟考试数学试卷（含解析）

/数学满分：150分考试时间：120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“”的否定为（）A.B.C.D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.函数的定义域为（）A. B. C. D.4.若，，则“，且”是“，且”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，，且，则的最小值为（）A. B. C. D.6.若函数是奇函数，则（）A.-1 B.0 C.1 D.37.若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或8.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与10.已知，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.11.已知是定义域为的奇函数，且，则（）A.B.为奇函数C.为增函数D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.函数，则______．13.已知，则函数的最小值为_______________．14.若函数满足，且，则__________．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知全集，集合求：（1）（2）（3）16.已知函数，.（1）若不等式对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）求关于x的不等式的解集.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）证明：在上单调递减；（3）若，求m的取值范围.19.已知函数．（1）当时，证明：有且仅有一个零点．（2）当时，恒成立，求a的取值范围．（3）证明：．

数学满分：150分考试时间：120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“”的否定为（）A.B.C.D.答案：A解析：思路：根据存在量词命题的否定规则，更换量词、保留原变量的取值范围、否定结论即可求解.解答过程：原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以命题“”的否定为.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据条件结合一元二次不等式的解法求得集合，再由集合的交集运算即可求解.解答过程：因为，所以.故选：A.3.函数的定义域为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，根据分式函数和对数函数的性质，可得，解得，即，B正确.4.若，，则“，且”是“，且”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：由充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质即可判断.解答过程：若“，且”，则“，且”，若已知“，且”，可取，，满足，且，但不满足，且，所以“，且”是“，且”的充分不必要条件；故选：A5.已知，，且，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程.因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，当且仅当时，等号成立.6.若函数是奇函数，则（）A.-1 B.0 C.1 D.3答案：C解析：思路：根据奇函数的性质，结合指数运算即可求解.解答过程：的定义域为，关于原点对称，则，即，故，解得，故选：C7.若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或答案：B解析：思路：依题意可得为关于的一元二次方程的两根且，利用韦达定理得到，再代入，解得即可.解答过程：因为关于的一元二次不等式的解集为或，所以为关于的一元二次方程的两根且，所以，所以，则不等式即，因为，所以，即，解得，所以不等式的解集是.故选：B.8.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题，即对于，​成立.设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减，最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为.充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有(−1,+∞)⫋因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与答案：ACD解析：解答过程：对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确；对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误；对于C：，需满足，即，而，需满足，即，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确；对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确.10.已知，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.答案：BCD解析：思路：利用不等式的性质，利用作差法和基本不等式对选项依次判断即可.解答过程：对于A，因为，，，故A错误；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，，所以，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确．故选：BCD．11.已知是定义域为的奇函数，且，则（）A.B.为奇函数C.为增函数D.答案：ABD解析：解答过程：对于A，因为是定义域为的奇函数，所以，令，代入得，故A正确；对于B，由奇函数性质有，故B正确；对于C，表明，对于任意，比大，但并不意味着为增函数，例如：函数满足题意，当时，，当时，，，但，所以不是增函数，故C错误；对于D，，故D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.函数，则______．答案：3解析：解答过程：由题意可得，，所以.13.已知，则函数的最小值为_______________．答案：11解析：解答过程：令，由，得，且．将代入中，可得，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立．此时，则，满足题设条件，故函数的最小值为11．14.若函数满足，且，则__________．答案：解析：思路：先通过递推式推出函数周期为6，再利用周期性把转化为，最后递推得.解答过程：因为，所以，两式相加得，则，所以函数的周期是6，因为，所以.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知全集，集合求：（1）（2）（3）答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）（2）（3）根据集合的交集，并集，补集的定义，计算即可.（1）由题意，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以.16.已知函数，.（1）若不等式对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）求关于x的不等式的解集.答案：（1）（2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或.解析：思路：（1）先判断时是否合题意，当时，结合二次函数的图象开口向下，且与x轴无交点，列式求解即可；（2）分，，讨论即可，其中，时还要比较对应一元二次方程的两个根的大小关系.（1）①当时，恒成立，符合题意；②当时，由已知可得，解得.综上，a的取值范围是.（2）不等式可化为，即，①当时，可化为，得，原不等式的解集；当时，方程的两根为和2，②当时，可化为，解得，原不等式的解集为；③当时，解得或，则原不等式的解集为或；④当时，解得，则原不等式的解集为⑤当时，解得或，则原不等式的解集为或；综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明:底面为矩形，所以，又因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，可知平面平面；（2）解析：思路：（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果.（1）略；（2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知，则，设平面的法向量为，则，令，可得，可得，所以；因此直线与平面所成角的正弦值为.18.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）证明：在上单调递减；（3）若，求m的取值范围.答案：（1）（2）证明：任取，，且，，因为，所以，，，，所以，即，所以在上单调递减；（3）解析：思路：（1）由，求解即可；（2）由函数单调性的定义求证即可；（3）由函数的单调性、奇偶性去求解即可.（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，经检验符合题意，所以，所以，解得，所以；（2）略（3）因为，所以，所以，解得，即m的取值范围是.19.已知函数．（1）当时，证明：有且仅有一个零点．（2）当时，恒成立，求a的取值范围．（3）证明：．答案：（1）证明：当时，函数定义域为，则，令，则在上恒成立，则在上单调递增，则，即在上恒成立，在上单调递增，而，，所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点．（2）；（3）证明：由（2）可知，当时，有，则，因此，所以．解析：思路：（1）利用导数探讨函数的单调性，再利用零点存在性定理推理即得.（2）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最