2026-2027学年安徽省蚌埠市高三上学期开学调研性监测数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量，若，则（）A. B. C. D.4.将一个斜边为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体的表面积为（）A. B. C. D.5.已知数列是等差数列，且，，若，则的值为（）A.7 B.8 C.9 D.106.如图，单位圆上角的始边为轴正半轴，终边射线交单位圆于点，过点作轴的垂线，垂足为，将点到射线的距离表示为的函数，则在上的图象大致为（）A. B.C. D.7.已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（）A. B. C. D.8.若甲盒中有个红球，个黄球，个白球，乙盒中有个红球（），个黄球，个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分.9.某同学记录了我市年月中旬连续天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：，，，，，，，，则这个数据的（）A.极差为 B.众数为C.中位数为 D.平均数为10.设正实数，，满足，则下列结论正确的是（）A.的最小值为 B.的最小值为C. D.11.王虹因彻底证明了困扰数学界逾百年的“三维挂谷猜想”于年月日获得菲尔兹奖（国际数学界最高荣誉）.定义方向向量为的直线上长度为的线段为“理想线段”，下列结论正确的是（）A.，平移“理想线段”可使其两端点均在直径为的圆上B.，平移“理想线段”，可使其两端点均在勒洛三角形的边界上（的边长均为，分别以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，所围成的平面区域称为勒洛三角形）C.，平移“理想线段”，可使其两端点均在双曲线上D.，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，则该椭圆的离心率三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中常数项是__________.（用数字作答）.13.如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______.14.已知连续函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的内角，，的对边分别为，，，已知函数的最小正周期为，其中，，的图象关于直线对称，且.（1）求函数的解析式及的值；（2）若，的面积为，求的周长.16.如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.17.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）讨论函数的单调性.18.已知抛物线经过点.过点的直线与交于，两点，为坐标原点，直线交准线于点，直线与轴平行.（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）求的值；（3）若，求的外接圆的一般方程.19.自动驾驶技术是汽车研发的重要方向.某实验室对一款智驾汽车模型进行障碍识别探测试验，已知该汽车模型在单次测试中，有效识别障碍物的概率为，无效识别的概率为，每次测试相互独立.（1）若对该汽车模型连续进行3次障碍识别测试，记有效识别的次数为，求的分布列与期望；（2）若规定累计出现2次无效识别时停止测试，并对汽车模型进行检修.记恰好在第次测试后停止的概率为.（i）求，；（ii）求.

数学满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：利用复数的几何意义写出复数对应的点的坐标即得.解答过程：因为复平面内，复数对应的点为，所以表示复数的点在第四象限.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分别算出集合和，再结合集合的运算即可求解.解答过程：已知集合，得，，所以，因此，故C正确.3.已知平面向量，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据平面向量垂直的坐标表示建立方程求解即可.解答过程：由平面向量，若，则，解得.4.将一个斜边为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，母线长为的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和解答过程：等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体是两个同底的圆锥底面重合的组合体.设等腰直角三角形为，，斜边，由题可知：，且，解得：，设边上的高为，利用等面积法可得：，即，即，因此，旋转后形成的两个圆锥底面半径，母线，由圆锥的侧面积公式可得：，两个圆锥的侧面积之和为：，故所形成的几何体的表面积为.5.已知数列是等差数列，且，，若，则的值为（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：A解析：思路：利用等差数列的性质求解即可.解答过程：因为数列是等差数列，且，所以,由于,所以数列的公差为，所以，解得：6.如图，单位圆上角的始边为轴正半轴，终边射线交单位圆于点，过点作轴的垂线，垂足为，将点到射线的距离表示为的函数，则在上的图象大致为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据三角函数的定义、三角形的面积结合正弦函数的图象即可判定.解答过程：由三角函数定义及的面积可得：，由正弦函数的图象可知B项正确.而对于A、C项，显然可排除；对于D项，显然当时，M与O重合，此时，可排除.故选：B.7.已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可.解答过程：如图所示，要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或，又，所以的取值范围为：，由，所以直线的斜率可以是.8.若甲盒中有个红球，个黄球，个白球，乙盒中有个红球（），个黄球，个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，结合全概率公式得，再解不等式即可得答案.解答过程：设从甲盒中取出红球、黄球、白球的事件分别为，从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件，则，，，所以，根据全概率公式得：，所以，整理得：，解得，所以满足题意的的最大值为.二、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分.9.某同学记录了我市年月中旬连续天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：，，，，，，，，则这个数据的（）A.极差为 B.众数为C.中位数为 D.平均数为答案：BC解析：解答过程：从小到大排序得：29，31，31，32，34，35，35，35，故极差为：；众数为：35，中位数为：，平均数为.10.设正实数，，满足，则下列结论正确的是（）A.的最小值为 B.的最小值为C. D.答案：ABD解析：思路：利用基本不等式依次判断选项即可.解答过程：由题设且，对于A，，当且仅当时取等号，A对；对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对；对于C，，由于，所以，当且仅当时取等号，C不正确；对于D，因为，因为，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，故D正确11.王虹因彻底证明了困扰数学界逾百年的“三维挂谷猜想”于年月日获得菲尔兹奖（国际数学界最高荣誉）.定义方向向量为的直线上长度为的线段为“理想线段”，下列结论正确的是（）A.，平移“理想线段”可使其两端点均在直径为的圆上B.，平移“理想线段”，可使其两端点均在勒洛三角形的边界上（的边长均为，分别以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，所围成的平面区域称为勒洛三角形）C.，平移“理想线段”，可使其两端点均在双曲线上D.，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，则该椭圆的离心率答案：ABD解析：思路：易知“理想线段”的长度均为，所以平移后，可使其两端点均在直径为的圆上，所以A正确；只需将平移后的“理想线段”的一个端点与顶点或或重合，另一端点一定会落在勒洛三角形的边界上，所以B正确；分析时的情况，可知当双曲线的实轴长大于时，与结论不符，所以C不正确；平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，只需令即可，从而求得离心率和的关系，从而判断D.解答过程：“理想线段”的长度均为，所以平移后，可使其两端点均在直径为的圆上，所以A正确；“理想线段”的长度均为，将其平移后，使其一端点与顶点或或重合，则其另一端点一定相应的落在以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，上，即在勒洛三角形的边界上，又点也在勒洛三角形的边界上，所以B正确；当时，，方向向量为的直线与轴平行，与轴平行的直线与双曲线相交的线段最短为双曲线的实轴长，即.因为“理想线段”的长度均为，所以若，则“理想线段”的两端点就不能落在双曲线上，所以C不正确；，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，则该椭圆的短轴长，即，所以，，所以，即.所以D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中常数项是__________.（用数字作答）.答案：160解析：思路：由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项解答过程：二项式的展开式的通项公式为，令，即，∴常数项为.故160.13.如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______.答案：解析：思路：以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，结合圆的方程，即可求得的取值范围.解答过程：如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，则，，所以圆的方程为.设，则.由点是劣弧（包括端点）上一点，且在圆上，得，解得，所以，即的取值范围为.14.已知连续函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为______.答案：解析：思路：构造函数，利用函数性质将原不等式转化为，结合的单调性即可得解.解答过程：当时，，则，令，，当时，，所以函数在上单调递增，因为函数是定义在上的奇函数，所以，即是上的偶函数，所以函数在上单调递减，又，不等式，即，即，所以，由解得，所以由，即，解得，综上，所以不等式的解集为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的内角，，的对边分别为，，，已知函数的最小正周期为，其中，，的图象关于直线对称，且.（1）求函数的解析式及的值；（2）若，的面积为，求的周长.答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据对称轴求出，再将代入函数解析式就可以求出；（2）先由面积公式得到，再由余弦定理可求得即可求出周长.（1）因为函数的最小正周期为，所以，又，所以.因为的图象关于直线对称，所以，解得，又，所以，即函数的解析式为.所以，又，故，所以，解得，.（2）由面积，可得，由余弦定理得，即，解得，所以的周长为.16.如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）取的中点，连接，，因为为的中点，所以，且.在直三棱柱中，，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，求平面的法向量和直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论即可.（1）略（2）设直三棱柱的侧棱长，，故.如图建立空间直角坐标系，可得，，，，则，，，设平面的法向量为，则取，得，，得.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.17.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）讨论函数的单调性.答案：（1）（2）当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.解析：思路：（1）应用导数的几何意义及已知平行关系即可求出；（2）求出函数的定义域以及导数，在定义域下，讨论大于0、等于0、小于0情况下导数的正负，即可得到函数的单调性．（1）求导得，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以曲线在点处的切线斜率为2.所以解得.（2）令，解得或，当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，，当变化时，，的变化情况如下，00单调递增极大值单调递减极小值单调递增当时，，当变化时，，的变化情况如下，0单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.18.已知抛物线经过点.过点的直线与交于，两点，为坐标原点，直线交准线于点，直线与轴平行.（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）求的值；（3）若，求的外接圆的一般方程.答案：（1）焦点坐标为，（2）（3）或解析：思路：（1）直接利用抛物线定义和性质即可求出；（2）利用直线和抛物线联立方程，借助韦达定理求处纵坐标之积，再利用直线与x轴平行计算即可；（3）根据向量关系求出A,B坐标后，代入圆的一般方程即可求出，注意两种不同的情况.（1）将点的坐标代入得，，解得，因为，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为，（2）由（1）知抛物线的方程为，依题意可设直线的方程为，记，的坐标分别为，，由得，则，且，直线的方程为，令，得，即点的纵坐标为，依题意直线与轴平行，所以，即，从而，解得