2026-2027学年福建省泉州市泉州五中高二上学期单元测试一（月考）数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则且2.袋子里装有4支钢笔，其中2支黑笔，2支红笔，从中随机取出2支，下列事件中与事件“都是黑笔”互斥但不对立的是（）A.“恰有1支红笔” B.“至多有1支红笔”C.“至少有1支黑笔” D.“至少有1支红笔”3.如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，用，，表示为（）A. B. C. D.4.从3名男生和2名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中既有男生又有女生的概率为（）A. B.C. D.5.已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（）A. B. C. D.6.如图所示，四棱锥，底面是边长为4的正方形，棱底面，且分别是，的中点，是线段上的动点，则（）A.一定为锐角 B.一定为直角C.一定为钝角 D.锐角､直角､钝角均有可能7.已知是空间的一组基底，其中，，，若A，B，C，D四点共面，则的值为（）A. B. C.2 D.8.对于一个单位球，为球心，在球面上，若对任意的，都有，则的最大值为（）.A.4 B.6 C.7 D.8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若是空间直角坐标系中的一点，则（）A.点关于平面对称的点的坐标为B.点关于轴对称的点的坐标为C.点到平面的距离为3D.点到轴的距离为10.设为两个随机事件，且，下列说法正确的有（）A.若，则 B.若互斥，则C.若，则独立 D.若，则独立11.如图，在四棱锥中，平面，且底面为平行四边形，的中点为，点分别在棱上（均与不重合），且，四点共面，记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间向量，，且，则________13.已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________．14.已知正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________．四、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在直三棱柱中，为的中点，且，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值；（3）点到平面的距离．16.如图，正方体的棱长为1，点满足．（1）求证：平面；（2）记平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为．（ⅰ）若，求的值；（ⅱ）当取最大值时，求的值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则且答案：C解析：解答过程：对于A，两个平面垂直于同一个平面，它们的位置关系不一定是平行，也可能是相交，A错误；对于B，两条直线平行于同一个平面，它们的位置关系可以是平行､相交或异面，B错误；对于C，因为，且，过直线与平面的交点，在内作，由，得，又，根据面面垂直的判定定理，可得，C正确；对于D，当时，即使，也不能说，同理，当时，也不能说，D错误．2.袋子里装有4支钢笔，其中2支黑笔，2支红笔，从中随机取出2支，下列事件中与事件“都是黑笔”互斥但不对立的是（）A.“恰有1支红笔” B.“至多有1支红笔”C.“至少有1支黑笔” D.“至少有1支红笔”答案：A解析：思路：应用互斥事件及对立事件定义判断求解.解答过程：从4支笔中任取2支的所有情况为：2支黑笔、2支红笔、1支黑笔1支红笔，对于A：事件“都是黑笔”与“恰有1支红笔”不可能同时发生，且不是必有一个发生，二者互斥不对立，符合题干要求；对于B：“至多有1支红笔”包含1红1黑、2黑的情况，与“都是黑笔”不互斥，不符合题干要求；对于C：“至少有1支黑笔”包含1红1黑、2黑的情况，与“都是黑笔”不互斥，不符合题干要求；对于D：“至少有1支红笔”包含1红1黑、2红的情况，与“都是黑笔”为对立事件，不符合题干要求；3.如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，用，，表示为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据空间向量的基本定理求解即可.解答过程：因为在平行六面体中，是的中点，所以.故选：A.4.从3名男生和2名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中既有男生又有女生的概率为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：从5人中任选3人有，全为男生的选法有，所以所选3人全为男生的概率为，所以所选3人中既有男生又有女生的概率为.5.已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：作图如下图所示，选取基底，由题意知，，.，于是则.6.如图所示，四棱锥，底面是边长为4的正方形，棱底面，且分别是，的中点，是线段上的动点，则（）A.一定为锐角 B.一定为直角C.一定为钝角 D.锐角､直角､钝角均有可能答案：A解析：思路：建立空间直角坐标系，计算为正，从而得到即一定是锐角.解答过程：因为底面是正方形，所以，又因为底面，所以两两垂直，所以，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，因为在线段上，所以，所以，则，所以，所以一定是锐角，故选：A.7.已知是空间的一组基底，其中，，，若A，B，C，D四点共面，则的值为（）A. B. C.2 D.答案：C解析：思路：根据四点共面得到，然后列出等式求得参数的值.解答过程：因A，B，C，D共面，故，即，解得，，即，.故选：C.8.对于一个单位球，为球心，在球面上，若对任意的，都有，则的最大值为（）.A.4 B.6 C.7 D.8答案：B解析：思路：的几何意义，即向量与的夹角大于等于，结合单位球的性质，通过分析球面上点的分布情况即可确定的最大值.解答过程：设与的夹角为，已知，且，则，所以，在单位球面上，要使任意两个向量与的夹角大于等于，可以先考虑正多面体的顶点情况.对于正四面体，它有4个顶点，其顶点在单位球面上时，任意两个顶点与球心连线的夹角大于，满足的条件.对于正八面体，它有6个顶点，其顶点在单位球面上时，任意两个顶点与球心连线的夹角为，满足的条件.若，在球面上必然存在两个点，，使得与的夹角小于，不满足条件.因此，的最大值为6.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若是空间直角坐标系中的一点，则（）A.点关于平面对称的点的坐标为B.点关于轴对称的点的坐标为C.点到平面的距离为3D.点到轴的距离为答案：BC解析：思路：由空间直角坐标系点的概念逐项判断即可.解答过程：点关于平面对称的点的坐标为，A错误.点关于轴对称的点的坐标为，B正确.点到平面的距离为3，C正确.点到轴的距离为，D错误.故选：BC10.设为两个随机事件，且，下列说法正确的有（）A.若，则 B.若互斥，则C.若，则独立 D.若，则独立答案：BCD解析：解答过程：对于A，若，则，故A错误；对于B，若互斥，即事件与事件不会同时发生，则，故B正确；对于C，若，则，所以独立，故C正确；对于D，若，则由，得所以，又因为，所以，故事件与事件独立，从而也独立，故D正确．11.如图，在四棱锥中，平面，且底面为平行四边形，的中点为，点分别在棱上（均与不重合），且，四点共面，记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最小值为答案：BCD解析：思路：根据棱锥的结构特征与体积计算，利用空间向量，可得答案.解答过程：连接．设，则，因为四边形是平行四边形，为的中点，所以．由四点共面，可知存在实数，满足，即，所以则，化简得，由，得，同理可得，所以．对于AB，由题意知，又，所以，故A错误，B正确；对于C，同理可得，所以，故C正确；对于D，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为，故D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间向量，，且，则________答案：解析：思路：利用空间向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可.解答过程：由已知可得，所以，，所以.故答案为.13.已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________．答案：解析：思路：利用对立事件和互斥事件的概率公式求解即可．解答过程：因为事件和互斥，，所以，因为事件和都不发生的概率为，所以，所以，所以．14.已知正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________．答案：解析：思路：建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，设三棱锥的外接球球心，利用球的半径相等建立方程组，求解即得球心坐标，算出半径，代入球的表面积公式计算即得.解答过程：如图，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系.则，设三棱锥的外接球球心为，则，解得，故，则三棱锥的外接球的半径为，故三棱锥的外接球的表面积为.四、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在直三棱柱中，为的中点，且，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值；（3）点到平面的距离．答案：（1）由，为的中点，得，由平面，平面，得，且，所以平面，平面，所以平面，又平面，则．（2）．（3）解析：思路：（1）由等腰三角形的性质得出，再由平面得出，最后由线面垂直的判定定理和性质证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，进而由向量法得出线面角的正切值；（3）由点到平面的距离公式结合（2）中结论得出答案.（1）略（2）取的中点，连接，以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，，所以直线与平面所成角的正切值为．（3）由（2）知，，所以点到平面的距离．16.如图，正方体的棱长为1，点满足．（1）求证：平面；（2）记平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为．（ⅰ）若，求的值；（ⅱ）当取最大值时，求的值．答案：（1）证明：在正方体中，可得，且，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面，所以平面，因为且平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.（2）（ⅰ）（ⅱ）解析：思路：（1）利用线面平行的判定定理，分别证得平面和平面，再由面面平行的判定定理，证得平面平面，进而证得平面；（2）以为坐标原点，建立空间直角