2026-2027学年福建省三明市三明第一中学高三上学期开学考试数学试卷（含解析）

/数学第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知函数且，则（）A.8 B.4 C.2 D.13.已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则（）．A. B. C. D.4.在中，，则该三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形5.已知，则（）A. B. C. D.6.已知函数（）在内有且仅有3个零点，则的值可以是（）A.3 B.5 C.7 D.97.若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ）A. B.C. D.8.已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.下列说法不正确的是（）A.若，则为第一象限角B.将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是C.终边经过点的角的集合是D.在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.函数的一条对称轴为B.在区间上单调递增C.的图象可由的图象向右平移个单位得到D.方程在区间上恰有三个不等的实根11.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（）A. B.在区间上单调递增C.的图象关于直线对称 D.函数有5个零点第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是______．13.__________．14.已知恒成立，则t的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求角A；（2）若，求三角形面积的最大值.16.在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中．（1）求的值．（2）记点B的横坐标为，若，求的值．17.函数在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数解析式；（2）求的单调递增区间；（3）当时，求的最大值和最小值．18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求；（2）为边上一点，若，且，求的面积.19.已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，若对于任意，不等式恒成立，求a的取值范围．

数学第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解不等式求出集合、，再求即可.解答过程：集合，，则.2.已知函数且，则（）A.8 B.4 C.2 D.1答案：D解析：思路：根据导数的运算法则，求得，结合极限的运算法则，列出方程，即可求解.解答过程：由函数，可得，所以，又由，即，解得.3.已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则（）．A. B. C. D.答案：B解析：思路：令，求得定点，然后再由角的终边经过点，利用三角函数的定义求解.解答过程：令，则，所以函数（，且）的图象恒过点，又角的终边经过点，所以，故选：B4.在中，，则该三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形答案：A解析：思路：根据正弦定理边角互化，再三角恒等变换求角的关系即可.解答过程：已知等式，由正弦定理得，所以，即，又因为，所以，即，所以是等腰三角形，故选：A.5.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用二倍角的正余弦公式求出，再利用二倍角的正切公式计算即得.解答过程：由，得，而，即，则，所以.故选：C6.已知函数（）在内有且仅有3个零点，则的值可以是（）A.3 B.5 C.7 D.9答案：B解析：思路：根据条件将问题转化为与直线在内恰有三个交点，设令，进而将问题转化为与直线在（）内恰有三个交点，结合正弦函数的图象与性质得到，即可求解.解答过程：由于（）在内有且仅有3个零点，所以方程（）在内恰有三个不相等的实数根，即与直线在内恰有三个交点.令，则，则与直线在（）内恰有三个交点.令，解得：（）或（），又，且满足条件的恰有三个值，则，解得：，故选：B.7.若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先利用导数判断函数在给定区间上的单调性，再根据题设条件，结合零点存在定理得到不等式组，求解即得.解答过程：由在区间上恒为正可得，函数在区间上为增函数，依题意，函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得，且，解得.故选：C.8.已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分析函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.解答过程：对任意的，，所以，函数的定义域为，因为，即函数为奇函数，又因为，且函数在上为增函数，所以，函数在上为增函数，对任意的正数、，满足，则，所以，，即，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.下列说法不正确的是（）A.若，则为第一象限角B.将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是C.终边经过点的角的集合是D.在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为答案：ABD解析：思路：A选项，根据同号，确定角所在象限；B选项，根据顺时针转动形成负角判断；C选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D选项，由扇形面积公式进行求解.解答过程：A选项，若，则为第一象限角或第三象限角，故错误；B选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动，故分针转过的角度是，故错误；C选项，终边经过点的角的终边在直线上，故角的集合是，故C正确；D选项，扇形面积为，故错误，故选：ABD.10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.函数的一条对称轴为B.在区间上单调递增C.的图象可由的图象向右平移个单位得到D.方程在区间上恰有三个不等的实根答案：AC解析：思路：，选项可结合的性质判断；根据函数图象平移的规律可判断；通过解方程，结合的取值范围即可判断.解答过程：因为，令，所以的对称轴方程为，当时，，故正确；由得，又，所以在上不单调，故错误；将的图象向右平移个单位可得，故正确；由，得，即或，，因为，所以，，，，所以有4个不等实根，故错误.故选.11.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（）A. B.在区间上单调递增C.的图象关于直线对称 D.函数有5个零点答案：ACD解析：思路：A先由条件得出，即可得出的一个周期为4，再结合题中给出的解析式以及周期性即可求解；B先证明是偶函数，再结合周期性以及在上的单调性即可；C利用偶函数以及周期性可得；D画出与的图象，判断两个图象的交点个数即可.解答过程：为奇函数，故，即①，又为偶函数，故②，则由①②可得，，则，则的一个周期为4，在①中令有，又当时，，则，则，所以，故A正确；由②可得，，则，即函数是定义在上的偶函数，因时，，则是上的增函数，则是上的减函数，因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误；因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以的图象关于直线对称，故C正确；函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，由题意得与的图象如下：当时，，当时，，当时，，结合图象可知，函数在上存在1个零点，当时，，当时，，由此可得与的图象有5个交点，所以有5个零点，故D正确．故选：ACD．第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是______．答案：2解析：思路：利用扇形的面积、弧长公式求圆心角的弧度即可.解答过程：令扇形的圆心角的弧度数为，半径为，则，即，又，故.故2.13.__________．答案：解析：思路：利用三角恒等变换先化简，结合诱导公式即可求解.解答过程：由题意得：.故答案为.14.已知恒成立，则t的取值范围是__________．答案：解析：思路：由已知不等式变形为，构造函数，借助函数单调性，可得恒成立，通过分离参数，以及构造导数求得t的取值范围.解答过程：由，得，所以，即，即恒成立，构造函数，上式即为恒成立，因为，所以在R上单调递增，则可得恒成立，所以，即，再设，因为，所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以，从而，即t的取值范围是.故方法提示：方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求角A；（2）若，求三角形面积的最大值.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用正弦定理，将已知条件中的边化角，求得，即可求得；（2）利用余弦定理，结合基本不等式，求得的最大值，即可求得面积的最大值.（1）由，结合正弦定理，得，所以，又因为，所以（2）由余弦定理，得即（当且仅当等号成立）所以，即当时，三角形面积的最大值为.16.在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中．（1）求的值．（2）记点B的横坐标为，若，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助三角函数定义可得，再利用诱导公式与三角函数商数关系，将弦化为切后计算即可得.（2）利用三角函数定义可得，则可得，再利用同角三角函数基本关系与诱导公式计算即可得.（1）由于点在单位圆上，则，又是锐角，可得，所以，，所以；（2）由（1）可知，且为锐角，可得，根据三角函数定义可得：，因为，且，因此，所以，所以.17.函数在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数解析式；（2）求的单调递增区间；（3）当时，求的最大值和最小值．答案：（1）；（2），；（3）最大值为，最小值为．解析：思路：（1）由“五点法”，结合图象分别求出即可求解；（2）利用整体代换法计算即可求解；（3）结合正弦函数的图象与性质计算即可求解.（1）由图象知，，，即．由图象过点，代入函数，即，因为，则，所以；（2）令，，解得，故函数的单调递增区间为，；（3）因为，所以，当时，即时，取最大值，最大值为，当时，即时，取最小值，最小值为，所以的最大值为，最小值为．18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求；（2）为边上一点，若，且，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）方法一，先根据正弦定理把边化角，再根据三角形中，利用和角正弦公式展开，化简得到，再结合角的范围即可求出角；方法二，根据余弦定理把角化边，再次利用余弦定理即可求出的值，再结合角的范围，即可求出角；（2）方法一，在，中，根据正弦定理分别列出关系式，整理可得，在中，由余弦定理得到，再由三角形的面积公式求解即可；方法二，过作，垂足为，得到，通过和相似，得到，后同方法一；方法三，分别利用底高和，得到与的面积比，从而得到，后同方法一.（1）方法一：因为，所以由正弦定理可得，，又因为，所以，由于，所以，所以，因为，所以；方法二：因为，所以由余弦定理可得，整理可得，所以，因为，所以；（2）方法一：由（1）及题设知，，，.在中，由正弦定理得，.在中，由正弦定理得，.两式相除可得，即，在中，由余弦定理可得，即所以的面积；方法二：如图所示，过作，垂足为.在中，，所以.由于，所以，所以，即，得，后同方法一；方法三：由（1）及题设知，，.因为两个三角形的高相同，所以与的面积之比等于，又因为与的面积之比还等于，所以，，后同方法一.19.已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，若对于任意，不等式恒成立，求a的取值范围．答案：（1）（2）时，的单调递减区间为和，单调递增区间为；时，的单