2026-2027学年福建省厦门市厦门第六中学高三上学期第一阶段考试数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.2.使得“”成立的充分不必要条件可以是（）A. B. C. D.3.已知随机变量，且，则的值为（）A.0.2 B.0.4 C.0.7 D.0.354.的展开式中的常数项为（）A.60 B.120 C.160 D.2405.在数列中，，，，则（）A. B. C. D.56.已知，均为正实数，则的最小值为（）A.3 B.7 C.8 D.97.已知函数，，则方程的所有实数解的和是（）A.6 B.4 C.2 D.18.高斯，著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称，函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中正确的是（）A.FM与BC1所成角为45°B.BM⊥平面CC1FC.存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD.三棱锥B﹣CFE的体积为定值11.已知函数的定义域为，当且仅当时，，且，则（）A. B.C.在上单调递减 D.是偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为______________．13.已知双曲线的两个焦点为是此双曲线上的一点，且，则该双曲线的离心率是___________.14.设，函数，当时，的值域为______；若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列中，，.（1）证明：是等差数列；（2）求数列的前项和.16.在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.已知一个不透明的箱子内装有大小质地一样，只有颜色不同的6个小球，其中4个红球，2个白球，现从箱子内不放回地逐一依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时就停止取球.用表示停止取球时取出的小球的总数，用表示停止取球时箱子内剩余的白球个数.（1）求；（2）求；（3）求的分布列及期望.18.已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）记椭圆左、右顶点分别为，为坐标原点．过点的直线与交于两点．（i）若的面积为，求；（ii）设直线与交于点，证明：点在定直线上．19.已知函数，.（1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程；（2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：函数有两个零点，（），且满足.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：等价于，解得，则集合，所以.2.使得“”成立的充分不必要条件可以是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：对于A选项，取，满足，但不满足，此时不能得出，所以A选项不符合题意；对于B选项，取，满足，但不满足，此时不能得出，所以B选项不符合题意；对于C选项，要求，可推出；但时，若，则无意义，推不出，故是的充分不必要条件，所以C选项符合题意；对于D选项，取，满足，但不满足，此时不能得出，所以D选项不符合题意．3.已知随机变量，且，则的值为（）A.0.2 B.0.4 C.0.7 D.0.35答案：B解析：思路：利用正态分布曲线的对称性求概率即可.解答过程：由题设，且，则，由正态分布曲线关于对称，则.故选：B4.的展开式中的常数项为（）A.60 B.120 C.160 D.240答案：D解析：解答过程：共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择，则的展开式中的常数项为.5.在数列中，，，，则（）A. B. C. D.5答案：A解析：解答过程：由题意，对任意，有，因此，所以，所以数列是周期为4的周期数列，代入初始值计算得：，因为，所以；，因此，因此．6.已知，均为正实数，则的最小值为（）A.3 B.7 C.8 D.9答案：D解析：解答过程：由题意得，而，均为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时取等，即时取等，此时可得的最小值为，故D正确.7.已知函数，，则方程的所有实数解的和是（）A.6 B.4 C.2 D.1答案：C解析：思路：令，得的图象关于点对称，利用导数知在上有且只有一个零点，则在上有且只有一个零点，故.解答过程：令，其定义域为，令，显然是奇函数，则其图象关于原点对称，所以的图象关于点对称.先讨论在上方程的所有实数解的情况，即函数的零点情况，因为，，，所以，所以在上单调递减，又时，，，所以在上有且只有一个零点，又的图象关于点对称，所以在上有且只有一个零点，且，即方程的所有实数解的和是2.故选：C方法提示：关键点点睛：令，得的图象关于点对称，利用对称性求零点和.8.高斯，著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称，函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用题设定义，分，，，和五种情况讨论，即可求解.解答过程：若，则，即，又，此时不等式无解，若时，则，由，得到，解得，所以，若时，则，由，得到，解得，所以，若时，则，由，得到，解得，此时，当时，，又，而，由，得到，所以时，不等式无解，综上所述，或，故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：BC解析：思路：根据条件概率公式分别计算各个选项即可.解答过程：因为，所以，所以B正确，不能确定，A不正确；因为，所以C正确，不能确定，D不正确．故选：BC.10.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中正确的是（）A.FM与BC1所成角为45°B.BM⊥平面CC1FC.存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD.三棱锥B﹣CFE的体积为定值答案：BD解析：思路：对A,根据线线角的求法，取FM的平行线A1C1分析A1C1与BC1所成角即可；对B,利用平面几何方法证明再证明平面即可.对C,根据与平面有交点判定即可.对D,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.解答过程：在A中,因为分别是的中点,所以,根据正方体的性质可得为正三角形，故FM与BC1所成角为60°，故A错误;在B中,因为,,故,故.故,又有,所以平面,故B正确；在C中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故C错误.在D中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故D正确.故选：BD.11.已知函数的定义域为，当且仅当时，，且，则（）A. B.C.在上单调递减 D.是偶函数答案：ABD解析：思路：推导的解析式，代入解析式求参数，逐一判断选项.解答过程：令，，即，，不恒为零，所以.选项A，，，正确；选项B，，正确；选项C，在上单调递增，错误；选项D，是偶函数，正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为______________．答案：－1解析：解答过程：由题意可得g(x)＝ex＋ae－x为奇函数，由g(0)＝0，得a＝－1.13.已知双曲线的两个焦点为是此双曲线上的一点，且，则该双曲线的离心率是___________.答案：解析：思路：根据勾股定理可得：，结合条件可得，进而可得离心率.解答过程：由，根据勾股定理可得：可得又，所以，所以所以，该双曲线的离心率是故14.设，函数，当时，的值域为______；若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是______．答案：①.②.解析：思路：分别求出时的函数值域与时函数的值域即得；分、及进行讨论即得.解答过程：当时，，当时，，当时，，故此时的值域为；若关于x的方程恰有一个根，当时，可得，即，则，解得，不合题意，舍去；当时，可得，即，令，，则恒成立，故在上单调递增，又，，故当时，该方程在上有一个根；当时，可得，即，则，解得，令，可得，令，可得，故当时，该方程在上有两个根，当时，该方程在上有一个根，当时，该方程在上无根；综上可得：当时，该方程无根；当时，该方程恰有一个根；当时，该方程有两个根；当时，该方程有三个根；当时，该方程有两个根.故的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列中，，.（1）证明：是等差数列；（2）求数列的前项和.答案：（1）因为，所以，而，则，即，得到是首项为，公差为的等差数列.（2）解析：思路：（1）运用取倒数法，结合等差数列的定义进行运算证明即可；（2）运用裂项相消法进行运算求解即可.（1）略（2）由（1）可得，即，则，得到16.在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析.（2）解析：（1）证明：在平行四边形中，为中点，又为的中点，在中，，平面，平面，平面.（2），为中点，，又，，平面，平面，平面，，，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴，过且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在中，，为中点，，由题意得，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，解得，，，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知一个不透明的箱子内装有大小质地一样，只有颜色不同的6个小球，其中4个红球，2个白球，现从箱子内不放回地逐一依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时就停止取球.用表示停止取球时取出的小球的总数，用表示停止取球时箱子内剩余的白球个数.（1）求；（2）求；（3）求的分布列及期望.答案：（1）（2）（3）分布列见解析；解析：思路：（1）事件“”包含箱子内剩余2个白球或剩余2个红球，利用古典概型公式即可求解；（2）先分析的情况，再求概率即可求解；（3）的可能取值为，求出对应的概率，进而求解.（1）由题意得：事件“”包含箱子内剩余2个白球或剩余2个红球，（方法一）考虑2个白球的位置，剩余2个白球（最后两次取白球）的概率为：，剩余2个红球（前3次中有一次取白球，第4次取白球）的概率为.（方法二）考虑前4次取球的排列情况，剩余2个白球（前4次取出的都是红球）的概率为：，剩余2个红球（前4次取出2个白球2个红球，且前3次中有一次取白球，第4次取白球）的概率为.所以；（2）由题意知，当时，满足题意，当时，，不满足题意，当时，，不满足题意，所以表示取出2个白球，剩余4个红球，所以，表示取出3个球，且前两次取出1白1红，第3次取出的是白球，剩余3个红球，所以，表示取出4个球，且前3次取出1白2红，第4次取出的是白球，剩余2个红球，所以，表示取出5个球，且前4次取出1白3红，第5次取出的是白球，剩余1个红球，所以，所以；（3）的可能取值为，由（2）知，当时，，表示取出5个球，且前4次取出1白3红，第5次取出红球，剩1个白球，则，当时，，表示前4次取出4个红球，剩余2个白球，，所以的分布列为：所以.18.已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）记椭圆左、右顶点分别为，为坐标原点．过点的直线与交于两点．（i）若的面积为，求；（ii）设直线与交于点，证明：点在定直线上．答案：（1）（2）（i）；（ii）椭圆左顶点，右顶点，直线的方程为，直线的方程为，设，则，即，由，代入可得，又，则，，代入可得，化简可得，解得，所以点在定直线上.解析：思路：（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）（i）根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，可得，由面积公式可得，解出，然后由弦长公式，即可得到结果；（ii）设直线的方程为，直线的方程为，可得，即，代入运算，即可证明.（1）由可得，所以椭圆方程为.（2）（i）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程可得，消去可得，由韦达定理可得，且，即，即，即，化简可得，即，化简可得，所以，所以；（ii）略19.已知函数，.（1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程；（2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：函数有两个零点，（），且满足.答案：（1）（2）（3），令，解得，当时，；当时，；所以在上单调递减，