2026-2027学年甘肃省环县第一中学高一上学期知织能力测试数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.《科学》杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文AI模型“星衍”，可探测到距地球超过130亿光年的星星，其中130亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D.2.命题“∃x∈（1，+∞），x2≥x+1”的否定是（）A.∀x∈（1，+∞），x2≥2x+1 B.∀x∈（1，+∞），x2＜x+1C.∃x∈（1，+∞），x2＜x+1 D.∃x∈（1，+∞），x2≥x+13.下列等式正确的是（）A. B.C. D.4.设全集，则（）A. B. C. D.5.《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚到一起称重．聚在一起的雀总重更重，聚在一起的燕总重更轻，若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两），则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y，根据题意，列出的方程组可为（）A. B. C. D.6.已知，，是非零整数，且，则（）A. B. C.0 D.17.如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动，点A第2026次跳动至的坐标为（）A. B. C. D.8.对于两个实数a，b，规定表示a，b中的较大值，当时，，当时，，例如：，则函数的最小值是（）A.1 B. C.2 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.10.在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手骑行的路程y（千米）与时间x（分钟）的关系如图所示，下列结论正确的是（）A.两人到达终点的时间相差5分钟 B.比赛开始24分钟时两人第一次相遇C.本次比赛全程16千米 D.第38分钟时第二次相遇11.通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，例如，下列选项正确的是（）A.若是的小数部分，则的值为B.比较两个二次根式的大小：C.D.若，，且，则正整数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的自变量x的取值范围是______．13.已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______．14.对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如，，，若实数x满足，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）计算：；（2）先化简再求值：，其中．16.已知关于x的方程.（1）若，方程两根分别为，，求和的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围.17.求下列关于x的不等式的解集．（1）；（2）；（3）．18.已知平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，且．（1）求直线的表达式；（2）点P在函数的图象上，连接并延长，交x轴于点C，且．①求点C的坐标；②点Q在函数的图象上，，交线段于点M，连接．如果与相似，求点Q的坐标．19.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，，为二次函数的图象上的两点．（1）求直线BC对应的函数表达式；（2）试判断是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；（3）已知P是二次函数的图象上一点（不与点M、N重合），且点P的横坐标为，作．若直线BC与线段MN、MP分别交于点D、E，且与的面积比为，请求出所有满足条件的m的值．

数学满分150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.《科学》杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文AI模型“星衍”，可探测到距地球超过130亿光年的星星，其中130亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：依据科学记数法的定义，将130亿转化为满足，为整数的形式即可求解.解答过程：科学记数法的表示形式为，其中规定，为整数，首先将130亿改写为阿拉伯数字：，为使满足，取，此时原数的小数点向左移动了10位，因此，即；对剩余选项逐一验证：选项A中，不符合科学记数法的格式要求；选项B中亿，数值与130亿不符；选项D中，不符合科学记数法的格式要求.2.命题“∃x∈（1，+∞），x2≥x+1”的否定是（）A.∀x∈（1，+∞），x2≥2x+1 B.∀x∈（1，+∞），x2＜x+1C.∃x∈（1，+∞），x2＜x+1 D.∃x∈（1，+∞），x2≥x+1答案：B解析：思路：根据存在命题的否定形式，即得解解答过程：根据存在命题的否定形式，命题“∃x∈（1，+∞），x2≥x+1”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2＜x+1故选：B3.下列等式正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：选项A，算术平方根的运算结果为非负数，因此，而非.选项B，根据幂的运算法则，.选项C，根据完全平方差公式，，题干中等式右侧为完全平方和公式的展开式.选项D，提取公因式，.4.设全集，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由补集、交集定义运算即可.解答过程：由题意知，，则，故选：B5.《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚到一起称重．聚在一起的雀总重更重，聚在一起的燕总重更轻，若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两），则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y，根据题意，列出的方程组可为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：∵设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，已知1斤=16两，∴根据“5只雀和6只燕总重1斤”，可得.∵1只雀和1只燕互换位置后两侧重量相等，互换后原放置雀的一侧剩余4只雀和1只燕，原放置燕的一侧剩余5只燕和1只雀，两侧重量相等，∴可得等量关系.综上可列方程组为，对应选项A.6.已知，，是非零整数，且，则（）A. B. C.0 D.1答案：C解析：思路：根据绝对值的性质分类进行讨论．解答过程：因为，且，，是非零整数，则，，一正二负或者一负二正；当，，一正二负时，不妨设，则；当，，一负二正时，不妨设，则；综上．7.如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动，点A第2026次跳动至的坐标为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半进行求解．解答过程：观察发现，第2次跳动至点的坐标是，第4次跳动至点的坐标是，第6次跳动至点的坐标是，第8次跳动至点的坐标是，…则第次跳动至点的坐标是，故第2026次跳动至的坐标为．8.对于两个实数a，b，规定表示a，b中的较大值，当时，，当时，，例如：，则函数的最小值是（）A.1 B. C.2 D.答案：A解析：思路：通过求两函数交点进行分段，确定各区间内较大的函数表达式，再分别求出各段的最小值并比较即可得出全局最小值.解答过程：令，解得或，当或时，，此时，当时取最小值，当时，，此时，因为，所以，，则，即此时,综上，的最小值为1.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.答案：AC解析：解答过程：选项A，因为，所以.选项B，若，，满足，但不满足.选项C，因为，所以，则，所以.选项D，若，，不满足.10.在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手骑行的路程y（千米）与时间x（分钟）的关系如图所示，下列结论正确的是（）A.两人到达终点的时间相差5分钟 B.比赛开始24分钟时两人第一次相遇C.本次比赛全程16千米 D.第38分钟时第二次相遇答案：ABD解析：解答过程：两人到达终点的时间相差分钟，故A正确；，则直线的方程为，令，得，故比赛开始24分钟时两人第一次相遇，故B正确；因为，所以直线的方程为，则本次比赛全程千米，故C错误；，则直线的方程为，联立，得，故第38分钟时第二次相遇，故D正确.11.通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，例如，下列选项正确的是（）A.若是的小数部分，则的值为B.比较两个二次根式的大小：C.D.若，，且，则正整数答案：BD解析：思路：分析可知，利用分母有理化计算出的值，可判断A选项；利用分母有理化结合不等式的基本性质可判断B选项；利用裂项相消法可判断C选项；化简、的表达式，结合可化简求得正整数的值.解答过程：对于A选项，因为是的小数部分，则，所以，A错；对于B选项，因为，，因为，，所以，即，B对；对于C选项，对任意的正整数，，故，C错；对于D选项，因为，，故，因为，即，所以，所以，即，因为为正整数，则，即，所以，解得，D对.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的自变量x的取值范围是______．答案：且（或写成）解析：思路：根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式组，求解得到自变量的取值范围.解答过程：要使函数有意义，需同时满足两类定义域约束：对于二次根式，被开方数需满足非负要求，即，解该不等式得；对于分式，分母不能为0，即.综合上述两个约束条件，可得自变量的取值范围为且.13.已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______．答案：解析：解答过程：因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集，则，且两个等号不同时成立，得，故实数m的取值范围是.14.对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如，，，若实数x满足，则______．答案：或解析：思路：设，将原方程变形为用表示的形式，然后将其代入取整函数的定义不等式中解出整数，最后再反求出.解答过程：，且必是整数，设，则有，由题意得，进而，，，即，因为是整数，所以或，当时，，当时，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）计算：；（2）先化简再求值：，其中．答案：(1)(2)解析：解答过程：（1）原式.（2），当时，.16.已知关于x的方程.（1）若，方程两根分别为，，求和的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围.答案：（1），（2）解析：思路：（1）由，，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.解答过程：（1）当时，即：因此：（2）方法提示：本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.17.求下列关于x的不等式的解集．（1）；（2）；（3）．答案：（1）.（2）.（3）时解集为；时解集为；时解集为；解析：（1）即为，故或，故不等式的解集为.（2）即为，故或，所以或，故不等式的解集为.（3）即为，若，则不等式的解集为；若，则不等式的解集为；若，则不等式的解集为；综上，不等式的解集为：时解集为；时解集为；时解集为；18.已知平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，且．（1）求直线的表达式；（2）点P在函数的图象上，连接并延长，交x轴于点C，且．①求点C的坐标；②点Q在函数的图象上，，交线段于点M，连接．如果与相似，求点Q的坐标．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）首先确定点，利用比例式可得，即，然后利用待定系数法求解即可；（2）①如图：过点P作轴于点H，设点，根据题意可得，证明，由相似三角形的性质解得x的值，即可确定点P坐标，进而可得，然后结合平行线分线段成比例定理解得，即可确定点C的坐标；②过点Q作轴，设，则，然后分和两种情况解答即可．（1）直线与轴交于点A，令，可得，即，∴，∵，∴，∵直线与轴正半轴交于点，∴将点代入直线，可得，解得，∴直线的表达式为．（2）①如图：过点P作轴于点H，设点，则，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∴，又，解得∶，又∵点在轴的负半轴上，∴点的坐标为；②如图：过点作轴，设，∵交线段于点，∴，∵，，，∴，，，，∴，即为等腰三角形，∵，∴，不妨认为点与点对应，当时，，∵轴，∴，∴，∴点Q的横坐标为，∵点Q在函数的图像上，∴，即，∴，∵，∴，整理可得∶，解得：或，∴或（舍去）或（舍去）或（舍去），∴．当时，因为，则点在直线上，，整理得，，方程无解，∴这种情况不存在．综上，．19.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，，为二次函数的图象上的两点．（1）求直线BC对应的函数表达式；（2）试判断是否存在实数m