2026-2027学年广东省惠州市惠州中学高三上学期9月月考数学试卷（含解析）

/数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.若（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.3.已知平面向量，的夹角为，，，则（）A. B. C. D.4.已知，则函数的解析式为（

）A. B.C.（） D.（）5.已知，则（）A. B. C. D.6.若函数是上的单调函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.记为等比数列的前项和，若，，则的值为（）A.1 B.3 C.9 D.138.定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（）A.B.当时，C.D.随机变量落在与落在的概率相等10.已知数列满足，则（）A. B.C.的前项和为 D.的前10项和为15611.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在上单调递增B.若函数有两个零点，则C.不等式的解集为D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.13.已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________．14.平常我们用的方格纸，都画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离总是相等的．方格纸上两条直线的交点称为格点．右图每个小正方形的边长为，假设方格纸足够大，已知一只蚂蚁从格点出发，沿格子四个方向移动，每次移动距离为，则蚂蚁移动次回到出发点的不同方法总数为________（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.15.已知，，分别为的内角，，的对边，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．16.已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点．（1）写出曲线的方程；（2）若以为直径的圆经过原点，求实数的值．17.如图，是圆锥的底面圆的圆周上三点，且，为劣弧的中点.（1）证明：；（2）若，求二面角的正弦值.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）时，求零点的个数；（3）若时，恒成立，求实数的取值范围．19.小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第n天晨跑的概率为.（1）求，，的值；（2）求数列的通项公式；（3）若X，Y都是离散型随机变量，则，记小明前n天晨跑的天数为X，求.

数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由集合的交集运算求解.解答过程：,则.2.若（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：化简原等式，然后根据复数的乘除运算计算即可.解答过程：因为，所以移项化简得，所以.3.已知平面向量，的夹角为，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，，，，，，因为向量的模长为非负数，所以．4.已知，则函数的解析式为（

）A. B.C.（） D.（）答案：D解析：解答过程：令,则,已知,所以,所以.5.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据诱导公式及二倍角公式求解即可.解答过程.6.若函数是上的单调函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减，函数在上不可能单调递减，故在上单调递增，，解得，的取值范围是．7.记为等比数列的前项和，若，，则的值为（）A.1 B.3 C.9 D.13答案：D解析：思路：根据等比数列的性质可知成等比数列，由此列式计算即可.解答过程：由题意得：成等比数列，所以，所以，化简整理得：，所以，所以或，又，所以，所以，所以.8.定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：构造函数，结合函数单调性，奇偶性和特殊点的函数值得到不等式，求出解集解答过程：为定义在上的奇函数，故，此时，不合要求，当时，设，，所以为偶函数，，时，，，故在上单调递增，当时，，又，故，所以，故，为偶函数，故在上单调递减，时，，又，所以，故，所以不等式的解集为二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（）A.B.当时，C.D.随机变量落在与落在的概率相等答案：BCD解析：思路：根据正态分布的性质一一判断即可.解答过程：对于A：因为，所以，故A错误；对于B：当时，所以，故B正确；对于C：因为，所以,所以，故C正确；对于D：因为，由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与的概率相等，故D正确．故选：BCD．10.已知数列满足，则（）A. B.C.的前项和为 D.的前10项和为156答案：BCD解析：思路：先根据关系式求出通项公式，再根据等差数列求和公式求和即可判定.解答过程：已知①，当时，．当时，②．①－②得，化简得，验证，符合条件，因此通项公式为．选项A：，错误；选项B：通项，正确；选项C：是首项、公差的等差数列，前项和，正确；选项D：，当时，时，前10项和，正确.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在上单调递增B.若函数有两个零点，则C.不等式的解集为D.若，则答案：ACD解析：思路：对于A，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可求解；对于B，利用选项A中结果，结合，即可求解；对于C，分和两种情况，当时，恒成立，当，构造函数，即可求解；对于D，根据条件得到，再结合选项A的结果，即可求解.解答过程：对于选项A，因为，由，得到，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项A正确，对于选项B，若有两个不同的零点，即直线与有两个交点，因为是的极小值点，，因为，且时，所以，当时直线与有两个交点，选项B错误；对于选项C，由，得到，当时，恒成立，当时，由，得到，令，在区间上单调递增，所以，则，综上，不等式的解集为，C选项正确；对于选项D，由，得到，则，由选项A知，在区间上单调递增，所以，则，故选项D正确，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.答案：解析：解答过程：因为，所以，又，所以切线方程为，即.13.已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________．答案：解析：思路：结合双曲线定义可得或，然后由离心率公式求解即可.解答过程：由双曲线定义可知，所以或，当时，则有，所以，又因为，即，所以，所以；同理可得当时，.14.平常我们用的方格纸，都画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离总是相等的．方格纸上两条直线的交点称为格点．右图每个小正方形的边长为，假设方格纸足够大，已知一只蚂蚁从格点出发，沿格子四个方向移动，每次移动距离为，则蚂蚁移动次回到出发点的不同方法总数为________（用数字作答）．答案：解析：思路：对向左、右、上、下移动的步数进行分类讨论，利用排列组合计数原理以及分类加法计数原理可得结果.解答过程：分以下几种情况讨论：①次移动中，有次向左移动一步，次向右移动一步，此时不同的移动方法种数为种；②次移动中，有次向上移动一步，次向下移动一步，此时不同的移动方法种数为种；③次移动中，有次向左移动一步，次向右移动一步，次向上移动一步，次向下移动一步，此时不同的移动方法种数为种；④次移动中，有次向上移动一步，次向下移动一步，次向右移动一步，次向左移动一步，此时不同的移动方法种数为种.综上所述，不同的移动方法种数为种.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.15.已知，，分别为的内角，，的对边，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．答案：（1）（2）20解析：思路：（1）利用正弦定理把边化成角，再借助两角和的正弦公式代换，约去后求出，从而算出角；（2）先用面积公式求出，再结合余弦定理求出，即可求得周长.（1）由已知得，，由正弦定理，得，由于，化简得，由于，则，于是，由于，则，于是，则，故．（2）由（1）及条件知，，得，由余弦定理，得，即，即，故的周长为．16.已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点．（1）写出曲线的方程；（2）若以为直径的圆经过原点，求实数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）曲线上动点满足，得出，求出几何量，即可得到椭圆的方程；（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及，即可求得结论．（1）由题意知曲线是椭圆，设椭圆的焦半距为，则由题设，得，，所以，故所求椭圆的方程为；（2）若以为直径的圆经过原点，设点，，，，将直线的方程代入，并整理，得，则，．因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，所以，即．又，于是，解得，，当时，，符合条件，所以以为直径的圆经过原点，．17.如图，是圆锥的底面圆的圆周上三点，且，为劣弧的中点.（1）证明：；（2）若，求二面角的正弦值.答案：（1）证明：设，因为，所以.因为为劣弧的中点，所以，则，即，所以.连接，则，所以.又平面，所以平面.因为平面，所以.（2）解析：思路：（1）根据线面垂直的判定定理证得平面，再由线面垂直的性质定理即可得证.（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值公式结合同角三角函数的基本关系即可求解.（1）略（2）以为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系.设，则，所以，.设平面的一个法向量为，由得取，则，设平面的一个法向量为，由得取，则，设二面角为，则，，故二面角的正弦值为.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）时，求零点的个数；（3）若时，恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在定义域上单调递减.（2）2（3）解析：思路：（1）求导后，分别在和两种情况下判断导函数的正负，从而得到原函数的单调性；（2）求导并找到函数单调区间后，根据零点的存在性定理可判断；（3）分离参数将问题转变为在上恒成立，令，通过导数可得函数的单调性，进而判断出其最大值，从而得到所求范围.（1）由题意可知：的定义域为，且，当时，，则在定义域上单调递增；当时，令，解得；令，解得；可知在上单调递增，在上单调递减；当时，在上恒成立，所以在定义域上单调递减，综上所述：当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在定义域上单调递减.（2）若，则的定义域为，令，，则，令，解得；令，解得；可知在上单调递增，在内单调递减，则，且，，可知在上各有一个零点，又因为，所以有两个零点.（3）由分离参数可得，即在上恒成立，令，，则，令，，则，因为，则，可知在上单调递减，则，且，可知，满足，即，可得，，当时，，即；当时，，即；可知在上单调递增，在上单调递减，则，可得，所以实数a的取值范围为.19.小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第n天晨跑的概率为.（1）求，，的值；（2）求数列的通项公式；（3）若X，Y都是离散型随机变量，则，记小明前n天晨跑的天数为X，求.答案：（1），，（2）（3）解析：思路：（1）根据已知条件，利用概率的基本性质即可求出，，的值；（2）通过分析与的关系，构造等比数列，进而求出数列的通项公式；（3）利用期望的性质，将转化为